Баарыбыз мектепте алгебра сабагынан арифметикалык квадрат тамырларды окучубуз. Эгерде билим жаңыланбаса, анда ал бат эле унутулуп калат, тамыры менен. Бул макала бул жаатта билимин жаңырткысы келген сегизинчи класстын окуучулары жана башка мектеп окуучулары үчүн пайдалуу болот, анткени биз 9, 10 жана 11-класстарда тамыр менен иштейбиз.
Тамырдын жана даражанын тарыхы
Байыркы убакта, тагыраак айтканда, Байыркы Египетте адамдарга сандар менен операцияларды жасоо үчүн даража керек болгон. Мындай түшүнүк жок болгондо, египеттиктер ошол эле сандын көбөйтүндүсүн жыйырма жолу жазышкан. Бирок көп өтпөй маселенин чечими ойлоп табылды – анын үстүндөгү жогорку оң бурчка санды өзүнө канча жолу көбөйтүү керектиги жазыла баштады жана бул жазуу формасы бүгүнкү күнгө чейин сакталып калды.
Ал эми чарчы тамырдын тарыхы болжол менен 500 жыл мурун башталган. Ал ар кандай жолдор менен белгиленген жана XVII кылымда гана Рене Декарт мындай белгини киргизген, аны биз бүгүнкү күнгө чейин колдонуп жатабыз.
Квадрат тамыр деген эмне
Келгиле, квадрат тамыр деген эмне экенин түшүндүрүүдөн баштайлы. Кээ бир c санынын квадрат тамыры терс эмес сан болуп саналат, ал квадрат болгондо сга барабар болот. Бул учурда, c нөлдөн чоң же барабар.
Тамырдын астына санды алып келүү үчүн, аны квадраттап, үстүнө тамыр белгисин коебуз:
32=9, 3=√9
Ошондой эле, биз терс сандын квадрат тамырынын маанисин ала албайбыз, анткени квадраттагы бардык сан оң, башкача айтканда:
c2 ≧ 0, эгерде √c терс сан болсо, анда c2 < 0 - эрежеге карама-каршы келет.
Квадрат тамырларды тез эсептөө үчүн, сандардын квадраттарынын таблицасын билишиңиз керек.
Касиеттер
Квадрат тамырдын алгебралык касиеттерин карап көрөлү.
1) Продукциянын квадрат тамырын алуу үчүн ар бир фактордун тамырын алышыңыз керек. Башкача айтканда, аны факторлордун тамырынын натыйжасы катары жазууга болот:
√ac=√a × √c, мисалы:
√36=√4 × √9
2) Бөлчөктөн тамырды алууда, алымдан жана бөлүүчүдөн бөлөк бөлүп алуу керек, башкача айтканда, алардын тамырларынын бөлүгү катары жазуу керек.
3) Сандын квадрат тамырын алуу менен алынган маани ар дайым бул сандын модулуна барабар, анткени модулу оң гана болушу мүмкүн:
√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.
4) Ар кандай күчкө тамыр көтөрүү үчүн, биз ага көтөрөбүзрадикалдуу туюнтма:
(√с)4=√с4, мисалы:
(√2)6 =√26=√64=8
5) c арифметикалык тамырынын квадраты ушул сандын өзүнө барабар:
(√s)2=с.
Иррационал сандардын тамырлары
Он алтынын тамыры оңой дейли, бирок 7, 10, 11 сыяктуу сандардын тамырын кантип алуу керек?
Тамыры чексиз мезгилдүү эмес бөлчөк болгон сан иррационал деп аталат. Биз андан өз алдынча тамыр ала албайбыз. Биз аны башка сандар менен гана салыштыра алабыз. Мисалы, 5тин тамырын алып, аны √4 жана √9 менен салыштырыңыз. √4 < √5 < √9, андан кийин 2 < √5 < 3. Бул бештин тамырынын мааниси эки менен үчтүн ортосунда экенин, бирок алардын ортосунда ондук бөлчөктөр көп экенин жана ар бирин тандоо - тамырды табуунун шектүү жолу.
Сиз бул операцияны калькулятордо жасай аласыз - бул эң оңой жана эң тез жол, бирок 8-класста сизден арифметикалык квадрат тамырдан иррационал сандарды чыгаруу эч качан талап кылынбайт. Сиз болгону экинин тамырынын жана үчтүн тамырынын болжолдуу маанилерин эстеп калууңуз керек:
√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.
Мисалдар
Эми квадрат тамырдын касиеттерине таянып, биз бир нече мисалдарды чечебиз:
1) √172 - 82
Квадраттардын айырмасынын формуласын эстеңиз:
√(17-8) (17+8)=√9 ×25
Биз квадраттык арифметикалык тамырдын касиетин билебиз - продукттан тамырды алуу үчүн, аны ар бир фактордон бөлүп алышыңыз керек:
√9 × √25=3 × 5=15
2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36
Тамырдын башка касиетин колдонуңуз - сандын арифметикалык тамырынын квадраты ушул сандын өзүнө барабар:
2 × 3 + 6=12
Маанилүү! Көбүнчө, иштей баштаганда жана арифметикалык квадрат тамыры бар мисалдарды чечүүдө окуучулар төмөнкүдөй ката кетиришет:
√12 + 3=√12 + √3 - муну кыла албайсыз!
Ар бир терминдин тамырын ала албайбыз. Андай эреже жок, бирок ар бир фактордун тамырын алуу менен чаташтырылган. Эгер бизде бул жазуу бар болсо:
√12 × 3, анда √12 × 3=√12 × √3 деп жазса туура болмок.
Ошентип биз бир гана жаза алабыз:
√12 + 3=√15
