Түз бурчтуу призма. Көлөмү жана бетинин аянты үчүн формулалар. Геометриялык маселени чечүү

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2024-01-02 17:51

Орто мектепте фигуралардын тегиздиктеги касиеттерин үйрөнгөндөн кийин призмалар, шарлар, пирамидалар, цилиндрлер жана конустар сыяктуу мейкиндик геометриялык объектилерди кароого өтүшөт. Бул макалада биз түз үч бурчтук призманын эң толук сүрөттөлүшүн беребиз.

Үч бурчтук призма деген эмне?

Макаланы мындан ары карай турган фигуранын аныктамасынан баштайлы. Геометрия көз карашынан алганда призма – мейкиндиктеги параллелдүү тегиздикте жайгашкан, бирдей бурчтары түз сызык кесиндилери менен байланышкан эки бирдей n-гондон түзүлгөн фигура. Бул сегменттер каптал кабыргалар деп аталат. Негиздин капталдары менен бирге алар жалпысынан параллелограммдар менен берилген каптал бетти түзөт.

Эки n-гон фигуранын негизи. Эгерде каптал четтери аларга перпендикуляр болсо, анда алар түз призма жөнүндө айтышат. Ушуга ылайык, эгерде көп бурчтуктун негиздериндеги n капталдарынын саны үч болсо, анда мындай фигура үч бурчтук призма деп аталат.

Үч бурчтук түз призма жогоруда сүрөттө көрсөтүлгөн. Бул фигураны регулярдуу деп да аташат, анткени анын негиздери тең жактуу үч бурчтуктар. Сүрөттөгү h тамгасы менен көрсөтүлгөн фигуранын каптал четинин узундугу анын бийиктиги деп аталат.

Сүрөт үч бурчтуу негизи бар призманы беш тараптан түзөөрүн көрсөтүп турат, алардын экөө тең жактуу үч бурчтук жана үчөө бирдей тик бурчтук. Призманын беттеринен тышкары негиздеринде алты чокусу жана тогуз чети бар. Каралып жаткан элементтердин сандары бири-бири менен Эйлер теоремасы менен байланышкан:

четтердин саны=чокулардын саны + тараптардын саны - 2.

Тик бурчтуу үч бурчтук призманын аянты

Биз жогоруда каралып жаткан фигура эки түрдөгү беш жүздөн (эки үч бурчтук, үч тик бурчтук) түзүлгөнүн билдик. Бул беттердин баары призманын толук бетин түзөт. Алардын жалпы аянты фигуранын аянты болуп саналат. Төмөндө үч бурчтуу призма ачылып жатат, аны алгач фигуранын эки негизин кесип, андан кийин бир четин кесип жана каптал бетин ачуу аркылуу алууга болот.

Бул шыпыруунун бетинин аянтын аныктоо үчүн формулаларды берели. Тик бурчтуу үч бурчтук призманын негиздеринен баштайлы. Алар үч бурчтуктарды чагылдыргандыктан, алардын ар биринин S_{3 аянтын төмөнкүчө тапса болот:}

S₃=1/2ah_a.

Бул жерде a - үч бурчтуктун тарабы, h_{a - үч бурчтуктун чокусунан ушул тарапка түшүрүлгөн бийиктик.}

Эгер үч бурчтук тең жактуу болсо (регулярдуу), анда S_{3 формуласы бир гана параметрге көз каранды a. Төмөнкүдөй көрүнөт:}

S₃=√3/4a^2.

Бул туюнтманы a, a/2, h_{a сегменттеринен түзүлгөн тик бурчтукту карап чыгуу менен алса болот.}

Негиздердин аянты S_o кадимки фигура үчүн S_{3 маанисинен эки эсе көп:}

S_o=2S₃=√3/2a^2.

С_{b каптал бетинин аянтына келсек, аны эсептөө кыйын эмес. Бул үчүн, а жана h тарабында түзүлгөн бир тик бурчтуктун аянтын үчкө көбөйтүү жетиштүү. Тиешелүү формула:}

S_b=3aс.

Ошентип, үч бурчтуу негизи бар регулярдуу призманын аянты төмөнкү формула менен табылат:

S=S_o+ S_b=√3/2a^{2+ 3 ah.}

Эгер призма түз, бирок туура эмес болсо, анда анын аянтын эсептөө үчүн бири-бирине барабар эмес тик бурчтуктардын аймактарын өзүнчө кошуу керек.

Фигуранын көлөмүн аныктоо

Призманын көлөмү деп анын капталдары (беттери) менен чектелген мейкиндик түшүнүлөт. Тик бурчтуу үч бурчтуу призманын көлөмүн эсептөө анын бетинин аянтын эсептөөгө караганда алда канча жеңил. Бул үчүн, базанын аянтын жана фигуранын бийиктигин билүү жетиштүү. Түз фигуранын h бийиктиги анын каптал четинин узундугу болгондуктан, базанын аянтын кантип эсептөө керек, биз мурункупункту, андан кийин каалаган көлөмдү алуу үчүн бул эки маанини бири-бирине көбөйтүү керек. Анын формуласы:

V=S_3с.

Бир негиздин аянты менен бийиктиктин көбөйтүлүшү түз призманын гана эмес, кыйгач фигуранын, жада калса цилиндрдин да көлөмүн берерин эске алыңыз.

Маселени чечүү

Айнек үч бурчтуу призмалар оптикада дисперсия кубулушуна байланыштуу электромагниттик нурлануунун спектрин изилдөө үчүн колдонулат. Кадимки айнек призманын негизинин капталынын узундугу 10 см, четинин узундугу 15 см экени белгилүү. Анын айнек беттеринин аянты канча жана ал кандай көлөмдү камтыйт?

Аянтты аныктоо үчүн макалада жазылган формуланы колдонобуз. Бизде:

S=√3/2a²+ 3ah=√3/210² + 3 1015=536,6см^2.

V көлөмүн аныктоо үчүн жогорудагы формуланы да колдонобуз:

V=S₃h=√3/4a²h=√3/410 2^{15=649,5 см}3^.

Призмасынын четтери 10 см жана 15 см узундугуна карабастан, фигуранын көлөмү болгону 0,65 литрди түзөт (10 см капталындагы кубдун көлөмү 1 литр).