Мектептеги геометрия курсу эки чоң бөлүмгө бөлүнөт: планиметрия жана катуу геометрия. Стереометрия мейкиндик фигураларды жана алардын мүнөздөмөлөрүн изилдейт. Бул макалада биз түз призма деген эмне экенин карап чыгабыз жана анын диагоналдык узундуктары, көлөмү жана бетинин аянты сыяктуу касиеттерин сүрөттөгөн формулаларды беребиз.
Призма деген эмне?
Мектеп окуучуларынан призманын аныктамасын атагыла деп сурашканда, алар бул фигура эки бирдей параллелдүү көп бурчтук, алардын капталдары параллелограммдар менен байланышкан деп жооп беришет. Бул аныктама мүмкүн болушунча жалпы болуп саналат, анткени ал көп бурчтуктардын формасына, алардын параллелдүү тегиздикте өз ара жайгашуусуна шарт койбойт. Мындан тышкары, ал бириктирүүчү параллелограммдардын болушун билдирет, алардын классына квадрат, ромб жана тик бурчтук да кирет. Төмөндө төрт бурчтуу призма эмне экенин көрө аласыз.
Призма n + 2ден турган көп жүздүү (көп жүздүү) экенин көрөбүз.тараптар, 2 × n чокулары жана 3 × n четтери, мында n - көп бурчтуктардын биринин капталдарынын (чоңдорунун) саны.
Эки көп бурчтук тең адатта фигуранын негиздери деп аталат, калган беттери призманын капталдары.
Түз призма түшүнүгү
Призмалардын ар кандай түрлөрү бар. Ошентип, алар туура жана туура эмес фигуралар жөнүндө, үч бурчтуу, беш бурчтук жана башка призмалар жөнүндө сүйлөшөт, томпок жана ойгон фигуралар бар, акырында, алар жантайыңкы жана түз. Келгиле, акыркысы жөнүндө кененирээк сүйлөшөлү.
Туура призма – көп жүздүүлөрдүн изилденген классынын фигурасы, анын бардык каптал төрт бурчтуктары тик бурчтуу. Мындай төрт бурчтуктун эки гана түрү бар - тик бурчтук жана квадрат.
Фигуранын каралып жаткан формасы маанилүү касиетке ээ: түз призманын бийиктиги анын каптал кырынын узундугуна барабар. Фигуранын бардык каптал четтери бири-бирине барабар экендигине көңүл буруңуз. Каптал беттерине келсек, жалпы учурда алар бири-бирине тең келбейт. Алардын теңдиги мүмкүн, эгерде призма түз болгонуна кошумча, ал дагы туура болот.
Төмөндөгү сүрөттө беш бурчтуу негизи бар түз фигура көрсөтүлгөн. Анын бардык каптал беттери тик бурчтуу экени көрүнүп турат.
Призма диагоналдары жана анын сызыктуу параметрлери
Ар кандай призманын негизги сызыктуу мүнөздөмөсү болуп анын бийиктиги h жана анын негизинин капталдарынын узундугу ai, мында i=1, …, n. Эгерде негиз регулярдуу көп бурчтук болсо, анда анын касиеттерин сүрөттөө үчүн бир тараптын a узундугун билүү жетиштүү. Белгиленген сызыктуу параметрлерди билүү бизге ачык-айкын мүмкүнчүлүк беретфигуранын көлөмү же бети сыяктуу касиеттерин аныктаңыз.
Түз призманын диагоналдары – бул каалаган эки чектеш эмес чокуларды бириктирүүчү сегменттер. Мындай диагоналдар үч түрдүү болушу мүмкүн:
- базалык тегиздикте жатып;
- каптал тик бурчтуктардын тегиздигинде жайгашкан;
- томго тиешелүү цифралар.
Негизге тиешелүү диагоналдардын узундугу n-гондун түрүнө жараша аныкталышы керек.
Каптал тик бурчтуктардын диагоналдары төмөнкү формула менен эсептелет:
d1i=√(ai2+ h2).
Көлөмдүн диагоналдарын аныктоо үчүн, тиешелүү базанын диагоналынын жана бийиктигинин узундугунун маанисин билишиңиз керек. Эгерде негиздин кээ бир диагоналы d0i тамгасы менен белгиленсе, анда көлөмдүн диагоналы d2i төмөнкүчө эсептелет:
d2i=√(d0i2+ h2).
Мисалы, кадимки төрт бурчтуу призмада көлөмдүн диагоналынын узундугу:
d2=√(2 × a2+ h2).
Түк бурчтуу үч бурчтук призмада диагоналдардын аталган үч түрүнүн бирөө гана бар экенин эске алыңыз: каптал диагоналы.
Изилденген формалар классынын бети
Беттин аянты – фигуранын бардык беттеринин аянттарынын суммасы. Бардык жүздөрдү элестетүү үчүн призманы сканерлөө керек. Мисал катары, беш бурчтуу фигура үчүн мындай шыпыруу төмөндө көрсөтүлгөн.
Тегиз фигуралардын саны n + 2, ал эми n тик бурчтуктар экенин көрөбүз. Бүт шыпыруунун аянтын эсептөө үчүн эки бирдей негиздин аянттарын жана бардык тик бурчтуктардын аянттарын кошуңуз. Анда тиешелүү формула төмөнкүдөй болот:
S=2 × So+ h × ∑i=1n (ai).
Бул теңдик изилденүүчү призманын түрү үчүн каптал бетинин аянты фигуранын бийиктиги менен анын негизинин периметринин көбөйтүндүсүнө барабар экенин көрсөтөт.
So негизги аянты тиешелүү геометриялык формуланы колдонуу менен эсептелсе болот. Мисалы, туура призманын негизи тик бурчтук болсо, анда биз төмөнкүнү алабыз:
So=a1 × a2 / 2.
Бул жерде a1 жана a2 үч бурчтуктун каттуулары.
Эгер негиз бирдей бурчтары жана тараптары бар n-бурч болсо, анда төмөнкү формула туура болот:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Көлөм формуласы
Эгер призманын негизги аянты So жана h бийиктиги белгилүү болсо, кандайдыр бир призманын көлөмүн аныктоо кыйын иш эмес. Бул маанилерди чогуу көбөйтүү менен биз фигуранын V көлөмүн алабыз, башкача айтканда:
V=So × с.
Түз призманын h параметри каптал кырынын узундугуна барабар болгондуктан, көлөмдү эсептөө маселеси So аянтын эсептөөгө келет. Бизден жогорумурунтан эле бир нече сөз айтты жана So аныктоо үчүн бир нече формулаларды берди. Бул жерде биз бир гана белгилей кетүү керек, ыктыярдуу формада негиз болгон учурда, аны жөнөкөй сегменттерге (үч бурчтуктар, тик бурчтуктар) бөлүп, ар биринин аянтын эсептеп, андан кийин S алуу үчүн бардык аймактарды кошуу керек. o.
