Конустун көлөмүн аныктоо формуласы. Проблеманы чечүүнүн мисалы

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2023-12-17 05:34

Орто мектепте стереометрияны изилдөөдө ар бир окуучу конуска туш болгон. Бул мейкиндик фигуранын эки маанилүү мүнөздөмөсү бетинин аянты жана көлөмү болуп саналат. Бул макалада биз тегерек конустун көлөмүн кантип тапса болорун көрсөтөбүз.

Тегерек конус тик бурчтуктун айлануу фигурасы катары

Макаланын темасына түз өтүүдөн мурун конусту геометриялык көз караштан сүрөттөп берүү зарыл.

Бир аз тик бурчтук болсун. Эгер сиз аны буттардын биринин тегерегине айлантсаңыз, анда бул аракеттин натыйжасы төмөнкү сүрөттө көрсөтүлгөн каалаган фигура болот.

Бул жерде AB буту конустун огунун бир бөлүгү жана анын узундугу фигуранын бийиктигине туура келет. Экинчи буту (сегмент CA) конустун радиусу болот. Айлануу учурунда ал фигуранын негизин чектеген айлананы сүрөттөйт. BC гипотенузасы фигуранын генератрисы же анын генератрисы деп аталат. В чекити конустун жалгыз чокусу.

ABC үч бурчтугунун касиеттерин эске алып, генератрица g, радиусу r жана h бийиктигинин ортосундагы байланышты төмөнкүчө жазсак болот.теңдик:

g²=h²+ r²

Бул формула каралып жаткан фигура менен көптөгөн геометриялык маселелерди чечүүдө пайдалуу.

Конус көлөмүнүн формуласы

Кандайдыр бир мейкиндик фигуранын көлөмү бул фигуранын беттери менен чектелген мейкиндиктин аянты. Конустун эки бети бар:

1. Каптал же конус сымал. Ал бардык генерациялар тарабынан түзүлгөн.
2. Фонд. Бул учурда, бул тегерек.

Конустун көлөмүн аныктоо формуласын алыңыз. Бул үчүн, биз аны негизге параллелдүү көптөгөн катмарларга ой жүгүртүү менен кесип алабыз. Ар бир катмардын калыңдыгы dx, ал нөлгө барабар. Кабаттын S_x аймагы фигуранын чокусунан x аралыкта төмөнкү туюнтмага барабар:

S_x=pir²x²/h ²

Бул туюнтумдун тууралыгын x=0 жана x=h маанилерин алмаштыруу аркылуу интуитивдик түрдө текшерүүгө болот. Биринчи учурда биз нөлгө барабар аянтты алабыз, экинчи учурда ал тегерек базанын аянтына барабар болот.

Конустун көлөмүн аныктоо үчүн ар бир катмардын кичинекей "көлөмдөрүн" кошуу керек, башкача айтканда, интегралдык эсептөөнү колдонуш керек:

V=∫₀^h(pir²x ²/h²dx)=pir²/h² ∫₀^h(x²dx)

Бул интегралды эсептөө менен тегерек конустун акыркы формуласына келебиз:

V=1/3pir²h

Бул формула ыктыярдуу пирамиданын көлөмүн эсептөө үчүн колдонулган формулага толугу менен окшош экендигин белгилей кетүү кызыктуу. Бул кокустук кокустук эмес, анткени ар кандай пирамида четтеринин саны чексиздикке жеткенде конуска айланат.

Көлөмдү эсептөө маселеси

V тому үчүн алынган формуланы колдонууну көрсөтө турган маселени чечүүнүн мисалын берүү пайдалуу.

Негизги аянты 37 см² болгон тегерек конус берилген, ал эми фигуранын генератору радиустан үч эсе чоң. Конустун көлөмү канча?

Эгер эки чоңдукту билсек, көлөм формуласын колдонууга укугубуз бар: бийиктик h жана радиус r. Аларды маселенин шартына ылайык аныктаган формулаларды табалы.

Радиустун S_o тегеректин аянтын билүү менен эсептесе болот, бизде:

S_o=pir²=>

r=√(S_o/pi)

Маселенин шартын колдонуп, генератордун теңдигин жазабыз g:

g=3r=3√(S_o/pi)

r жана g үчүн формулаларды билип, h бийиктигин эсептеңиз:

h=√(g²- r²)=√(9S_o /pi - S_o/pi)=√(8S_o/pi)

Биз бардык керектүү параметрлерди таптык. Эми аларды V формуласына кошууга убакыт келди:

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

Алмаштыруу калдыбазалык аймак S_o жана көлөмдүн маанисин эсептеңиз: V=119,75 см³.