Геометрия – мейкиндиктеги түзүлүштөрдү жана алардын ортосундагы байланышты изилдөөчү математиканын бир бөлүмү. Өз кезегинде ал да бөлүмдөрдөн турат жана алардын бири стереометрия. Ал мейкиндикте жайгашкан көлөмдүк фигуралардын касиеттерин изилдөөнү карайт: куб, пирамида, шар, конус, цилиндр ж.б.
Конус – бул Евклид мейкиндигиндеги конус бети менен генераторлорунун учтары жаткан тегиздикти чектеген дене. Анын пайда болушу тик бурчтуу үч бурчтуктун кайсы бир бутунун айланасында айлануу процессинде пайда болот, ошондуктан ал революциянын телолоруна кирет.
Конус компоненттери
Конустардын төмөнкү түрлөрү айырмаланат: кыйгач (же кыйгач) жана түз. Кыйшык - огу анын негизинин борбору менен туура эмес кесилишкен. Ушул себептен улам, мындай конустагы бийиктик огу менен дал келбейт, анткени ал дененин чокусунан тегиздигине чейин түшүрүлгөн сегмент.негизи 90°.
Огунун негизине перпендикуляр болгон конус түз конус деп аталат. Мындай геометриялык дененин огу менен бийиктиги дал келет, себеби андагы чоку базанын диаметринин борборунан жогору жайгашкан.
Конус төмөнкү элементтерден турат:
- Анын негизи болгон тегерек.
- Капта.
- Негиздин тегиздигинде жатпаган чекит конустун чокусу деп аталат.
- Геометриялык дененин негизинин тегерек чекиттери менен анын чокусун бириктирүүчү сегменттер.
Бул сегменттердин баары конустун генераторлору. Алар геометриялык дененин негизине жантайт, ал эми оң конус учурда алардын проекциялары бирдей, анткени чокусу негизи тегеректин чекиттеринен бирдей алыстыкта жайгашкан. Ошентип, биз регулярдуу (түз) конуста генераторлор бирдей, башкача айтканда, алардын узундугу бирдей жана огу (же бийиктиги) жана негизи менен бирдей бурчтарды түзүшөт деген тыянак чыгарууга болот.
Революциянын кыйгач (же жантык) денесинде чоку негизги тегиздиктин борборуна салыштырмалуу жылгандыктан, мындай денедеги генераторлор ар кандай узундукка жана проекцияга ээ, анткени алардын ар бири ар башка аралыкта жайгашкан. негизги айлананын каалаган эки чекитинен. Мындан тышкары, алардын ортосундагы бурчтар менен конустун бийиктиги да ар кандай болот.
Оң конустагы генераторлордун узундугу
Мурда жазылгандай, түз айлануучу геометриялык денедеги бийиктик негиздин тегиздигине перпендикуляр. Ошентип, негиздин генератрисасы, бийиктиги жана радиусу конустун ичинде тик бурчтукту түзөт.
Башкача айтканда, базанын радиусун жана бийиктигин билип, Пифагор теоремасынын формуласын колдонуп, генератриканын узундугун эсептей аласыз, ал базанын радиусу менен квадраттарынын суммасына барабар болот. бийиктиги:
l2 =r2+ h2 же l=√r 2 + h2
бул жерде l - генератрица;
r – радиус;
с – бийиктик.
Кийилген конустагы генератив
Кийик же кыйгач конуста генераторлор бирдей узундукта эмес экендигине таянып, аларды кошумча конструкцияларсыз жана эсептөөлөрсүз эсептөө мүмкүн эмес.
Биринчиден, сиз бийиктигин, огунун узундугун жана негиздин радиусун билишиңиз керек.
Бул маалыматтарга ээ болуу менен, Пифагор теоремасынын формуласын колдонуп, радиустун огу менен бийиктиктин ортосундагы бөлүгүн эсептей аласыз:
r1=√k2 - h2
бул жерде r1 – ог менен бийиктиктин ортосундагы радиустун бөлүгү;
k – октун узундугу;
с – бийиктик.
Радиусту (r) жана анын ог менен бийиктиктин ортосунда жаткан бөлүгүн (r1) кошуунун натыйжасында оң тараптын толук тарабын биле аласыз конустун генатрицасынан түзүлгөн үч бурчтук, анын бийиктиги жана диаметри:
R=r + r1
мында R - бийиктиктен, генатрицадан жана негиздин диаметринин бир бөлүгүнөн түзүлгөн үч бурчтуктун буту;
r – базалык радиус;
r1 – ог менен бийиктиктин ортосундагы радиустун бир бөлүгү.
Пифагор теоремасындагы ошол эле формуланы колдонуп, конустун генатрицасынын узундугун таба аласыз:
l=√h2+ R2
же R өзүнчө эсептебестен, эки формуланы бир формулага бириктириңиз:
l=√h2 + (r + r1)2.
Ал түз же кыйгач конус экендигине жана кандай киргизүү маалыматтарына карабастан, генератриканын узундугун табуу үчүн бардык ыкмалар дайыма бир жыйынтыкка келет - Пифагор теоремасын колдонуу.
Конус бөлүмү
Конустун октук кесилиши – анын огу же бийиктиги боюнча өткөн тегиздик. Оң конуста мындай кесилиш тең жактуу үч бурчтук болуп саналат, анда үч бурчтуктун бийиктиги дененин бийиктиги, анын капталдары генераторлор, ал эми негизи негиздин диаметри. Тең жактуу геометриялык денеде октук кесим тең жактуу үч бурчтук болуп саналат, анткени бул конуста негиз менен генераторлордун диаметри бирдей.
Түз конустагы октук кесимдин тегиздиги анын симметрия тегиздиги болуп саналат. Мунун себеби, анын үстү негизинин борборунан жогору турат, башкача айтканда, октук кесимдин тегиздиги конусту эки бирдей бөлүккө бөлөт.
Жаңтайган денеде бийиктик менен огу дал келбегендиктен, октук бөлүмдүн тегиздиги бийиктикти камтыбашы мүмкүн. Эгерде мындай конустун ичинде октук кесимдердин жыйындысын куруу мүмкүн болсо, бул үчүн бир гана шарт сакталышы керек - ал огу аркылуу гана өтүшү керек, анда тегиздиктин бийиктигине тиешелүү болгон бир гана октук кесилиши керек. бул конустун чийилиши мүмкүн, анткени шарттардын саны көбөйөт жана белгилүү болгондой, эки сызык (бирге) таандык болушу мүмкүн.бир гана учак.
Бөлүм аймагы
Жогорда айтылган конустун октук кесилиши үч бурчтук. Мунун негизинде анын аянты үч бурчтуктун аянты формуласы менен эсептелсе болот:
S=1/2dч же S=1/22rh
бул жерде S - кесилиш аянты;
d – базанын диаметри;
r – радиус;
с – бийиктик.
Ийилген же кыйгач конустун огу боюнча кесилиши да үч бурчтук болгондуктан, андагы кесилиш аянты да ушундай эле эсептелет.
Көлөм
Конус үч өлчөмдүү мейкиндикте үч өлчөмдүү фигура болгондуктан, анын көлөмүн эсептей алабыз. Конустун көлөмү бул денени көлөм бирдигинде, башкача айтканда, m3 менен мүнөздөгөн сан. Эсептөө анын түз же кыйгач (кыйык) экендигине көз каранды эмес, анткени дененин бул эки түрү үчүн формулалар айырмаланбайт.
Мурда айтылгандай, тик конустун пайда болушу тик бурчтуктун бир бутунун боюнда айлануусунан пайда болот. Жантайган же жантайыңкы конус башкача түзүлөт, анткени анын бийиктиги дененин негизги тегиздигинин борборунан алыстап кеткен. Бирок структурадагы мындай айырмачылыктар анын көлөмүн эсептөө ыкмасына таасир этпейт.
Көлөмдү эсептөө
Кандайдыр бир конустун көлөмүнүн формуласы мындай көрүнөт:
V=1/3πчr2
бул жерде V - конустун көлөмү;
с – бийиктик;
r – радиус;
π - туруктуу 3, 14 барабар.
Конустун көлөмүн эсептөө үчүн сизде дененин негизинин бийиктиги жана радиусу боюнча маалыматтар болушу керек.
Дененин бийиктигин эсептөө үчүн негиздин радиусун жана анын генератрисасынын узундугун билүү керек. Радиус, бийиктик жана генератрица тик бурчтуу үч бурчтукка бириктирилгендиктен, бийиктикти Пифагор теоремасынын формуласы менен эсептесе болот (a2+ b2=c 2 же биздин учурда h2+ r2=l2 , мында l - generatrix). Бул учурда, бийиктик гипотенузанын жана башка бутунун квадраттарынын ортосундагы айырманын квадрат тамырын алуу менен эсептелет:
a=√c2- b2
Башкача айтканда, конустун бийиктиги генератриканын узундугунун квадраты менен негиздин радиусунун квадратынын ортосундагы айырмадан квадрат тамырды чыгаргандан кийин алынган мааниге барабар болот:
h=√l2 - r2
Бул ыкманы колдонуу менен бийиктикти эсептөө жана анын негизинин радиусун билүү менен конустун көлөмүн эсептей аласыз. Бул учурда генератрица маанилүү ролду ойнойт, анткени ал эсептөөдө көмөкчү элемент катары кызмат кылат.
Ошондой эле, эгер сиз дененин бийиктигин жана анын тукумунун узундугун билсеңиз, генератриканын квадраты менен бийиктиктин квадратынын ортосундагы айырманын квадрат тамырын алуу менен анын негизинин радиусун таба аласыз:
r=√l2 - h2
Андан кийин, жогорудагы формуланы колдонуп, конустун көлөмүн эсептеңиз.
Жаңайтылган конус көлөмү
Конустун көлөмүнүн формуласы айлануу денесинин бардык түрлөрү үчүн бирдей болгондуктан, аны эсептөөдөгү айырма бийиктикти издөө болуп саналат.
Жаңтайган конустун бийиктигин билүү үчүн киргизилген маалыматтар генератриканын узундугун, негиздин радиусун жана борбордун ортосундагы аралыкты камтууга тийиш.негизи жана дененин бийиктигинин анын негизинин тегиздиги менен кесилиши. Муну билип туруп, сиз тик бурчтуу үч бурчтуктун негизи боло турган базанын диаметринин ошол бөлүгүн оңой эсептей аласыз (бийиктик, генератрица жана негиздин тегиздиги менен түзүлгөн). Анан дагы Пифагор теоремасын колдонуп, конустун бийиктигин жана андан кийин анын көлөмүн эсептегиле.
