Конустун аянты үчүн формуланын туундусу. Проблеманы чечүүнүн мисалы

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2023-12-17 05:34

Практикалык маселелерди чечүүдө мейкиндик фигураларынын касиеттерин изилдөө маанилүү роль ойнойт. Космостогу фигуралар менен алектенген илим стереометрия деп аталат. Бул макалада, катуу геометриянын көз карашынан алганда, биз конусту карап чыгабыз жана конустун аянтын кантип табууга болорун көрсөтөбүз.

Тегерек негизи бар конус

Жалпы учурда, конус – бул бардык чекиттери мейкиндикте бир чекити бар сегменттер менен туташтырылган кандайдыр бир тегиздик ийри сызыгында курулган бет. Акыркысы конустун чокусу деп аталат.

Жогорудагы аныктамадан ийри сызыктын параболикалык, гиперболалык, эллиптикалык ж.б. Ошентсе да, практикада жана геометрия маселелери боюнча, ал көп жолуккан тегерек конус болуп саналат. Ал төмөнкү сүрөттө көрсөтүлгөн.

Бул жерде r символу фигуранын түбүндө жайгашкан тегеректин радиусун билдирет, h - фигуранын чокусунан тартылган тегерек тегиздигине перпендикуляр. Ал бийиктик деп аталат. s мааниси конустун генератрисы же анын генератрисы.

Бул r, h жана s сегменттери экенин көрүүгө болоттик бурчтук түзүшөт. Эгерде ал буттун айланасында айланса h, анда s гипотенузасы конус бетин сүрөттөйт, ал эми r буту фигуранын тегерек негизин түзөт. Ушул себептен улам, конус революциянын фигурасы болуп эсептелет. Үч аталган сызыктуу параметр теңдик менен байланышкан:

s²=r²+ h²

Берилген теңдик тегерек түз конус үчүн гана жарактуу экенин эске алыңыз. Түз фигура, эгерде анын бийиктиги так негизги тегеректин борборуна туура келсе гана болот. Бул шарт аткарылбаса, анда фигура кыйгач деп аталат. Түз жана кыйгач конустардын айырмасы төмөнкү сүрөттө көрсөтүлгөн.

Форманы өнүктүрүү

Конустун бетинин аянтын изилдөө, аны учакта эске алуу менен жүргүзүү ыңгайлуу. Космостогу фигуралардын бетин чагылдыруунун мындай жолу алардын өнүгүшү деп аталат. Конус үчүн бул өнүгүү төмөнкүчө алынышы мүмкүн: сиз, мисалы, кагаздан жасалган фигураны алышыңыз керек. Андан кийин, кайчы менен тегерек негизин тегерете кесип. Андан кийин, генатрикс боюнча, конус бетинин кесилишин жасап, аны тегиздикке айлантыңыз. Бул жөнөкөй операциялардын натыйжасы төмөнкү сүрөттө көрсөтүлгөн конустун иштеп чыгуусу болот.

Көрүп тургандай, конустун бетин чындап эле тегиздикте көрсөтүүгө болот. Ал төмөнкү эки бөлүктөн турат:

• фигуранын негизин билдирген r радиусу бар тегерек;
• радиусу g менен тегерек сектор, ал конус сымал бет.

Конустун аянтынын формуласы эки бүктөлбөгөн беттердин аянттарын табууну камтыйт.

Фигуранын бетинин аянтын эсептөө

Тапшырманы эки этапка бөлөлү. Алгач конустун негизинин аянтын, андан кийин конус бетинин аянтын табабыз.

Маселенин биринчи бөлүгүн чечүү оңой. r радиусу берилгендиктен, негиздин аянтын эсептөө үчүн тегеректин аянтына тиешелүү туюнтманы эстеп калуу жетиштүү. Аны жазып алалы:

S_o=pi × r²

Эгер радиус белгисиз болсо, анда аны алгач анын, бийиктиктин жана генератордун ортосундагы байланыш формуласы аркылуу табышыңыз керек.

Конустун аянтын табуу маселесинин экинчи бөлүгү бир аз татаалыраак. Көңүл буруңуз, тегерек сектор генатрикстин радиусу g боюнча курулган жана узундугу тегеректин айланасына барабар болгон жаа менен чектелген. Бул факт пропорцияны жазууга жана каралып жаткан сектордун бурчун табууга мүмкүндүк берет. Аны гректин φ тамгасы менен белгилейли. Бул бурч төмөнкүгө барабар болот:

2 × pi=>2 × pi × g;

φ=> 2 × pi × r;

φ=2 × pi × r / g

Тегерек сектордун борбордук бурчун φ билип, анын аянтын табуу үчүн тиешелүү пропорцияны колдонсоңуз болот. Аны S_b белгиси менен белгилейли. Бул төмөнкүгө барабар болот:

2 × pi=>pi × g²;

φ=> S_b;

S_b=pi × g² × φ / (2 × pi)=pi × r × g

Башкача айтканда, конус бетинин аянты g генератрисасынын, r негизинин радиусунун жана Pi санынын көбөйтүндүсүнө туура келет.

Экөөнүн тең аймактарын билүүбеттер каралса, конустун аянты үчүн акыркы формуланы жаза алабыз:

S=S_o+ S_b=pi × r²+ pi × r × g=pi × r × (r + g)

Жазылган туюнтма S эсептөө үчүн конустун эки сызыктуу параметрин билүүнү болжолдойт. Эгерде g же r белгисиз болсо, анда аларды h бийиктиги аркылуу табууга болот.

Конустун аянтын эсептөө маселеси

Тегерек түз конустун бийиктиги анын диаметрине барабар экени белгилүү. Анын негизинин аянты 50 см² экенин билип, фигуранын аянтын эсептөө керек.

Айлананын аянтын билүү менен фигуранын радиусун таба аласыз. Бизде:

S_o=pi × r²=>

r=√(S_o /pi)

Эми h жана r жагынан g генераторун табалы. Шартка ылайык, фигуранын h бийиктиги эки r радиусуна барабар, анда:

h=2 × r;

g²=(2 × r)²+ r²=>

g=√5 × r=√(5 × S_o / pi)

Табылган g жана r формулалары конустун бардык аянтынын туюнтмасына алмаштырылышы керек. Биз алабыз:

S=S_o+ pi × √(S_o / pi) × √(5 × S _o /pi)=S_o × (1 + √5)

Натыйжадагы туюнтмага негиздин аянтын S_o алмаштырып, жоопту жазабыз: S ≈ 161,8 см².