Мекендик фигуралардын көлөмүн аныктоо жөндөмү геометриялык жана практикалык маселелерди чечүү үчүн маанилүү. Бул фигуралардын бири призма. Биз макалада анын эмне экенин карап чыгабыз жана жантайыңкы призманын көлөмүн кантип эсептөө керектигин көрсөтөбүз.
Геометрияда призма деген эмнени билдирет?
Бул параллелдүү тегиздикте жайгашкан эки бирдей негиздер жана белгиленген негиздерди бириктирген бир нече параллелограммдардан түзүлгөн кадимки көп жактуу көп жактуу.
Призма негиздери үч бурчтук, төрт бурчтук, жети бурчтук ж.б. сыяктуу ыктыярдуу көп бурчтуктар болушу мүмкүн. Мындан тышкары, көп бурчтуктун бурчтарынын (капталдарынын) саны фигуранын атын аныктайт.
Н-бурчтуу негизи бар ар кандай призма (n - тараптардын саны) n+2 бетинен, 2 × n чокусунан жана 3 × n четинен турат. Берилген сандардан призманын элементтеринин саны Эйлердин теоремасына туура келерин көрүүгө болот:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
Төмөнкү сүрөттө айнектен жасалган үч бурчтуу жана төрт бурчтуу призмалар кандай болоору көрсөтүлгөн.
Фигуранын түрлөрү. Ийилген призма
Жогоруда призманын аталышы көп бурчтуктун негизиндеги тараптардын саны менен аныктала тургандыгы айтылган. Бирок анын түзүлүшүндө фигуранын касиеттерин аныктаган башка өзгөчөлүктөр бар. Демек, призманын каптал бетин түзгөн бардык параллелограммдар тик бурчтуктар же квадраттар менен көрсөтүлсө, анда мындай фигура түз сызык деп аталат. Түз призма үчүн негиздердин ортосундагы аралык каалаган тик бурчтуктун каптал четинин узундугуна барабар.
Эгер капталдардын кээ бирлери же баары параллелограммдар болсо, анда биз жантайыңкы призма жөнүндө сөз болуп жатат. Анын бийиктиги каптал кабыргасынын узундугунан мурунтан эле азыраак болот.
Карастырылып жаткан фигуралардын классификациясынын дагы бир критерийи бул көп бурчтуктун негизиндеги тараптардын узундугу жана бурчтары. Эгерде алар бири-бирине барабар болсо, анда көп бурчтук туура болот. Негизинде туура көп бурчтуу түз фигура регулярдуу деп аталат. Бетинин аянтын жана көлөмүн аныктоодо аны менен иштөө ыңгайлуу. Бул жагынан ийилген призма кээ бир кыйынчылыктарды жаратат.
Төмөнкү сүрөттө негизи чарчы болгон эки призма көрсөтүлгөн. 90° бурч түз жана кыйгач призманын ортосундагы негизги айырманы көрсөтөт.
Фигуранын көлөмүн аныктоо формуласы
Призманын беттери менен чектелген мейкиндиктин бөлүгү анын көлөмү деп аталат. Ар кандай түрдөгү каралып жаткан цифралар үчүн бул маани төмөнкү формула менен аныкталышы мүмкүн:
V=h × So
Бул жерде h символу призманын бийиктигин билдирет,бул эки базанын ортосундагы аралыктын өлчөмү. So белгиси - бир негизги квадрат.
Базалык аймакты табуу оңой. Көп бурчтуктун регулярдуу же туура эмес экендигин эске алып, анын тараптарынын санын билип туруп, тиешелүү формуланы колдонуп, So алышыңыз керек. Мисалы, капталынын узундугу a болгон кадимки n-бурч үчүн аймак төмөнкүдөй болот:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Эми h бийиктигине өтөбүз. Түз призма үчүн бийиктикти аныктоо кыйын эмес, ал эми кыйшык призма үчүн бул оңой иш эмес. Аны конкреттүү баштапкы шарттардан баштап, ар кандай геометриялык ыкмалар менен чечүүгө болот. Бирок фигуранын бийиктигин аныктоонун универсалдуу жолу бар. Аны кыскача сүрөттөп берели.
Идея мейкиндиктеги чекиттен тегиздикке чейинки аралыкты табуу. Тегиздик төмөнкү теңдеме менен берилген деп ойлойлу:
A × x+ B × y + C × z + D=0
Андан кийин учак алыста болот:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
Эгер координата октору (0; 0; 0) чекит призманын төмөнкү негизинин тегиздигинде жаткыдай кылып жайгаштырылса, анда базалык тегиздиктин теңдемесин төмөнкүчө жазууга болот:
z=0
Бул бийиктиктин формуласы жазылат дегенди билдиретошондуктан:
h=z1
Фигуранын бийиктигин аныктоо үчүн үстүнкү негиздин каалаган чекитинин z-координатын табуу жетиштүү.
Маселени чечүү мисалы
Төмөндөгү сүрөттө төрт бурчтуу призма көрсөтүлгөн. Жантайган призманын негизи капталы 10 см болгон квадрат болуп саналат. Эгер каптал кырынын узундугу 15 см, ал эми фронталдык параллелограммдын курч бурчу 70° экени белгилүү болсо, анын көлөмүн эсептөө керек.
Фигуранын h бийиктиги да параллелограммдын бийиктиги болгондуктан, h табуу үчүн анын аянтын аныктоо үчүн формулаларды колдонобуз. Параллелограммдын тараптарын төмөнкүчө белгилейли:
a=10см;
b=15см
Анда Sp аянтын аныктоо үчүн төмөнкү формулаларды жазсаңыз болот:
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
Кайдан алабыз:
h=b × sin (α)
Бул жерде α - параллелограммдын курч бурчу. Негизги квадрат болгондуктан, жантайыңкы призманын көлөмүнүн формуласы төмөнкү форманы алат:
V=a2 × b × sin (α)
Шарттагы маалыматтарды формулага алмаштырып, жооп алабыз: V ≈ 1410 cm3.
