Космостогу фигураларды карап жатканда алардын бетинин аянтын аныктоодо көйгөйлөр көп кездешет. Мындай фигуралардын бири конус. Макалада негизи тегерек конустун, ошондой эле кесилген конустун каптал бети кандай экенин карап көрөлү.
Тегерек негизи бар конус
Конустун каптал бетин кароого өтүүдөн мурун анын кандай фигура экенин жана аны геометриялык ыкмалар менен кантип алуу керектигин көрсөтөбүз.
Тик бурчтуу ABC үч бурчтугун алалы, мында AB жана AC - каттуу. Келгиле, бул үч бурчтукту AC бутуна коюп, аны AB бутунун айланасында айланталы. Натыйжада, AC жана BC тараптар төмөндө көрсөтүлгөн фигуранын эки бетин сүрөттөйт.
Айланууда алынган фигураны тегерек түз конус деп аташат. Ал тегерек, анткени анын негизи тегерек, ал эми түз, анткени фигуранын чокусунан тартылган перпендикуляр (В чекити) анын борборундагы тегеректи кесип өтөт. Бул перпендикулярдын узундугу бийиктик деп аталат. Албетте, ал AB бутуна барабар. Бийиктик адатта h тамгасы менен белгиленет.
Бийиктиктен тышкары каралып жаткан конус дагы эки сызыктуу мүнөздөмө менен сүрөттөлөт:
- генерациялоо же генератрикс (гипотенуза BC);
- базалык радиус (бут AC).
Радиус r тамгасы менен, ал эми генераторатриса g менен белгиленет. Анда Пифагор теоремасын эске алып, каралып жаткан фигура үчүн маанилүү теңдикти жазсак болот:
g2=h2+ r2
Конустук бет
Бардык генатрицалардын жыйындысы конустун конус же каптал бетин түзөт. Сырткы көрүнүшү боюнча ал кайсы жалпак фигурага туура келерин айтуу кыйын. Акыркы конус бетинин аянтын аныктоодо билүү маанилүү. Бул көйгөйдү чечүү үчүн шыпыруу ыкмасы колдонулат. Ал төмөндөгүлөрдөн турат: бет ыктыярдуу генатрикс боюнча ой менен кесилип, андан кийин тегиздикте ачылат. Бул шыпырып алуу ыкмасы менен төмөнкү жалпак фигура түзүлөт.
Сиз ойлогондой, тегерек негизге туура келет, бирок тегерек сектор - бул конус бети, анын аянты бизди кызыктырууда. Сектор эки генатрица жана жаа менен чектелген. Акыркысынын узундугу негиздин айланасынын периметрине (узундугуна) так барабар. Бул мүнөздөмөлөр тегерек сектордун бардык касиеттерин уникалдуу аныктайт. Биз орто математикалык эсептөөлөрдү бербейбиз, бирок дароо конустун каптал бетинин аянтын эсептей турган акыркы формуланы жазабыз. Формула:
Sb=pigr
Конустук беттин аянты Sb эки параметр менен Pi көбөйтүндүсүнө барабар.
Кесилген конус жана анын бети
Кадимки конусту алып, анын үстүн параллелдүү тегиздик менен кесип алсак, калган фигура кесилген конус болот. Анын каптал бети эки тегерек негиз менен чектелген. Алардын радиустарын R жана r деп белгилейли. Фигуранын бийиктигин h, ал эми генератрисасын g менен белгилейбиз. Төмөндө бул цифра үчүн кесилген кагаз.
Каптал бети тегерек сектор болбой калганын көрүүгө болот, ал борбордук бөлүгү андан кесилгендиктен аянты боюнча кичирээк. Иштеп чыгуу төрт сызык менен чектелген, алардын экөө түз сызык сегменттери-генераторлор, калган экөө кесилген конустун негиздеринин тиешелүү тегеректеринин узундугу менен жаалар.
Каптал бети Sbтөмөнкүдөй эсептелген:
Sb=pig(r + R)
Generatrix, радиустар жана бийиктиктер төмөнкү теңчилик менен байланышкан:
g2=h2+ (R - r)2
Сифралардын аймактарынын бирдейлигине байланыштуу көйгөй
Бийиктиги 20 см жана негизинин радиусу 8 см болгон конус берилген. Каптал бети ушул конус менен бирдей болгон кесилген конустун бийиктигин табуу керек. Кесилген фигура ошол эле негизге курулган, ал эми үстүнкү негизинин радиусу 3 см.
Биринчиден, конус менен кесилген фигуранын аянттарынын теңдик шартын жазып алалы. Бизде:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
Эми ар бир форманын генераторлору үчүн туюнтмаларды жазалы:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
Бирдей аянттар үчүн формулага g1 жана g2 коюңуз жана сол жана оң жактарын квадрат кылыңыз:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
H2 туюнтмасын кайдан алабыз:
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
Биз бул теңчиликти жөнөкөйлөтпөйбүз, жөн гана шартта белгилүү болгон маалыматтарды алмаштырабыз:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14,85 см
Ошентип, фигуралардын каптал беттеринин аянттарын теңдөө үчүн кесилген конус төмөнкүдөй параметрлерге ээ болушу керек: R=8 см, r=3 см, h2≈ 14, 85 см.
