Планиметрия - геометриянын тегиз фигуралардын касиеттерин изилдөөчү тармагы. Аларга белгилүү үч бурчтуктар, квадраттар, тик бурчтуктар гана эмес, түз сызыктар жана бурчтар да кирет. Планиметрияда тегеректеги бурчтар: борбордук жана чегилген деген түшүнүктөр да бар. Бирок алар эмнени билдирет?
Борбордук бурч деген эмне?
Борбордук бурч эмне экенин түшүнүү үчүн тегеректи аныкташ керек. Айлана - бул берилген чекиттен (тегеректин борбору) бирдей алыстыкта жайгашкан бардык чекиттердин жыйындысы.
Аны тегеректен айырмалоо абдан маанилүү. Тегерек - бул жабык сызык, ал эми тегерек - тегиздиктин аны менен чектелген бөлүгү экенин эстен чыгарбоо керек. Көп бурчтук же бурч тегерекчеге жазылса болот.
Борбордук бурч – бул чокусу тегеректин борборуна дал келген жана капталдары тегеректи эки чекитте кескен бурч. Бурч кесилишкен чекиттер менен чектелүүчү жаа берилген бурч жаткан жаа деп аталат.
1-мисалды карап көрөлү.
Сүрөттө AOB бурчу борбордук, анткени бурчтун чокусу менен тегеректин борбору бир О чекити. Ал AB жаасына таянат, анда С чекити жок.
Чызылган бурч борбордук бурчтан эмнеси менен айырмаланат?
Бирок, борбордук бурчтардан тышкары, чегилген бурчтар да бар. Алардын айырмасы эмнеде? Борбордук бурч сыяктуу эле, тегерекчеге чегилген бурч белгилүү бир жаага таянат. Бирок анын чокусу тегеректин борборуна дал келбейт, бирок анын үстүндө жатат.
Төмөнкү мисалды алалы.
ACB бурчу борбору О чекитинде жайгашкан айланага чегилген бурч деп аталат. С чекити тегерекке таандык, башкача айтканда, анын үстүндө жатат. Бурч AB жаасына таянат.
Борбордук бурч кандай
Геометриядагы көйгөйлөрдү ийгиликтүү чечүү үчүн, чегилген жана борбордук бурчтарды айырмалай билүү жетишсиз. Эреже катары, аларды чечүү үчүн тегеректеги борбордук бурчту кантип табуу керектигин так билүү жана анын маанисин градус менен эсептей билүү керек.
Демек, борбордук бурч ал таянган жаанын градустук өлчөмүнө барабар.
Сүрөттө AOB бурчу 66° га барабар AB жаасына таянат. Демек, AOB бурчу да 66° ге барабар.
Ошентип, бирдей жааларга негизделген борбордук бурчтар бирдей.
Сүрөттө DC жаасы AB жаасына барабар. Демек, AOB бурчу DOC бурчуна барабар.
Чызылган бурчту кантип тапса болот
Тегерекке жазылган бурч борбордук бурчка барабар окшойт,ошол эле жаага таянат. Бирок, бул одоно ката. Чындыгында, бул бурчтарды бир-бири менен салыштырып, чиймени карап туруп, алардын даражалык көрсөткүчтөрүнүн ар кандай мааниге ээ болорун көрүүгө болот. Ошентип, тегерекчеге кандай бурч жазылган?
Чызылган бурчтун градустук өлчөмү ал таянган жаанын жарымы же бир жаага таянса, борбордук бурчтун жарымы.
Мисалга карап көрөлү. ACB бурчу 66°ка барабар жаага негизделген.
Демек бурч DIA=66°: 2=33°
Бул теореманын кээ бир натыйжаларын карап көрөлү.
- Жазылган бурчтар, эгерде алар бир жаага, аккордага же бирдей жааларга негизделсе, бирдей.
- Эгерде чегилген бурчтар бир аккордага негизделсе, бирок алардын чокулары анын карама-каршы тарабында жатса, мындай бурчтардын градустук өлчөмдөрүнүн суммасы 180° болот, анткени бул учурда эки бурч тең жааларга негизделген, анын жалпы даражасы 360° (бүтүн тегерек), 360°: 2=180°
- Эгер чегилген бурч берилген тегеректин диаметрине негизделсе, анын даражасы 90° болот, анткени диаметр 180°, 180° га барабар жааны камтыган: 2=90°
- Эгер тегеректеги борбордук жана чегилген бурчтар бир жаа же хордага негизделсе, анда чегилген бурч борбордук бурчтун жарымына барабар болот.
Бул темадагы көйгөйлөрдү кайдан тапса болот? Алардын түрлөрү жана чечимдери
Тегерек жана анын касиеттери геометриянын, өзгөчө планиметриянын эң маанилүү бөлүмдөрүнүн бири болгондуктан, тегеректеги чегилген жана борбордук бурчтар кеңири жана деталдуу тема болуп саналат.мектеп программасында окуган. Алардын касиеттерине арналган тапшырмалар негизги мамлекеттик экзаменде (OGE) жана бирдиктүү мамлекеттик экзаменде (USE) кездешет. Эреже катары, бул маселелерди чечүү үчүн тегеректеги бурчтарды градус менен табышыңыз керек.
Бир эле жаага негизделген бурчтар
Маселенин бул түрү, балким, эң оңойлордун бири, анткени аны чечүү үчүн эки гана жөнөкөй касиетти билүү керек: эки бурч тең чегилген жана бир аккордго таянса, алар бирдей, эгерде алардын бири болсо. борбордук, анда тиешелүү чегилген бурч анын жарымына барабар. Бирок, аларды чечүүдө өтө этият болуу керек: кээде бул касиетти байкап калуу кыйынга турат жана окуучулар мындай жөнөкөй маселелерди чечүүдө туюкка кептелет. Мисалга карап көрөлү.
Маселе 1
О чекитинде борборлоштурулган айлана берилген. AOB бурчу 54°. DIA бурчунун градустук өлчөмүн табыңыз.
Бул милдет бир кадам менен чечилет. Ага тез арада жооп табуу үчүн сизге керек болгон бир гана нерсе - бул эки бурчу тең жайгашкан жаа жалпы болуп саналат. Муну көрүп, сиз буга чейин тааныш болгон мүлктү колдоно аласыз. ACB бурчу - AOB бурчунун жарымы. Ошентип
1) AOB=54°: 2=27°.
Жооп: 54°.
Бир эле тегеректин ар кандай жааларына негизделген бурчтар
Кээде талап кылынган бурч жаткан жаанын өлчөмү маселенин шарттарында түз көрсөтүлбөйт. Аны эсептөө үчүн бул бурчтардын чоңдугун талдап, аларды айлананын белгилүү касиеттери менен салыштырышыңыз керек.
2-маселе
Борборунда O, AOC бурчу болгон тегерекче120°, AOB бурчу 30°. СИЗ бурчун табыңыз.
Башында айта кетчү нерсе, бул маселени тең жактуу үч бурчтуктардын касиеттерин колдонуу менен чечүүгө болот, бирок бул үчүн көбүрөөк математикалык операциялар талап кылынат. Ошондуктан, бул жерде биз тегеректеги борбордук жана чегилген бурчтардын касиеттерин колдонуу менен чечимди талдайбыз.
Демек, AOC бурчу AC жаасына таянат жана борбордук, бул AC жаасы AOC бурчуна барабар дегенди билдирет.
AC=120°
Ошондой эле, AOB бурчу AB жаасына таянат.
AB=30°.
Муну жана бүткүл тегеректин даражасын (360°) билип туруп, BC догасынын чоңдугун оңой таба аласыз.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
CAB бурчунун чокусу А чекити айлананын үстүндө жатат. Демек, CAB бурчу чегилген жана CB жаасынын жарымына барабар.
CAB бурчу=210°: 2=110°
Жооп: 110°
Жаа катышына негизделген көйгөйлөр
Кээ бир маселелерде бурчтар боюнча маалыматтар такыр камтылбайт, андыктан аларды тегеректин белгилүү теоремаларынын жана касиеттеринин негизинде гана издөө керек.
1-маселе
Берилген тегеректин радиусуна барабар аккорд менен бекемделген айланага чегилген бурчту табыңыз.
Эгер сиз сегменттин учтарын тегеректин борбору менен бириктирген сызыктарды акыл менен тартсаңыз, үч бурчтук аласыз. Аны карап чыгып, бул сызыктар тегеректин радиустары экенин көрүүгө болот, бул үч бурчтуктун бардык тараптары бирдей дегенди билдирет. Биз тең жактуу үч бурчтуктун бардык бурчтарын билебиз60°ка барабар. Демек, үч бурчтуктун чокусун камтыган AB жаасы 60° ге барабар. Бул жерден биз каалаган бурч негизделген AB жаасын табабыз.
AB=360° - 60°=300°
ABC бурч=300°: 2=150°
Жооп: 150°
2-маселе
О чекитинде борборлоштурулган тегеректеги жаалар 3:7 катышында. Кичирээк чегилген бурчту табыңыз.
Чечим үчүн биз бир бөлүктү X деп белгилейбиз, анда бир жаа 3X, экинчиси тиешелүүлүгүнө жараша 7X болуп саналат. Айлананын даражасы 360° экенин билип, теңдеме жаза алабыз.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Шартка ылайык, сиз кичине бурчту табышыңыз керек. Албетте, эгер бурчтун мааниси ал таянган жаага түз пропорционал болсо, анда талап кылынган (кичирек) бурч 3X га барабар жаага туура келет.
Демек, кичине бурч (36°3): 2=108°: 2=54°
Жооп: 54°
3-көйгөй
О чекитинде борборлоштурулган айланада AOB бурчу 60°, кичирээк жаасынын узундугу 50. Чоңураак жаанын узундугун эсептегиле.
Чоңураак жаанын узундугун эсептөө үчүн пропорцияны түзүшүңүз керек - кичине жаа чоңураакка кандай тиешеси бар. Бул үчүн, эки жаасынын чоңдугун градус менен эсептейбиз. Кичинекей жаа ага таянган бурчка барабар. Анын даражасы 60° болуп саналат. Чоңураак жаа тегеректин даражасынын (башка маалыматтарга карабастан 360° ге барабар) жана кичирээк жаасынын ортосундагы айырмага барабар.
Чоң жаасы 360° - 60°=300°.
300°: 60°=5 болгондуктан, чоңураак жаа кичинесинен 5 эсе көп.
Чоң жаасы=505=250
Жооп: 250
Демек, албетте, башкалар да барокшош маселелерди чечүү жолдору, бирок алардын баары кандайдыр бир жол менен борбордук жана чегилген бурчтардын, үч бурчтуктардын жана тегеректердин касиеттерине негизделген. Аларды ийгиликтүү чечүү үчүн чиймени кылдат изилдеп, маселенин маалыматтары менен салыштыруу, ошондой эле теориялык билимиңизди практикада колдоно билүү керек.
