Теңсиздиктер жана теңсиздиктер системасы орто мектепте алгебрада окутула турган темалардын бири. Кыйынчылык жагынан ал эң кыйын эмес, анткени анын жөнөкөй эрежелери бар (алар жөнүндө бир аз кийинчерээк). Эреже катары, мектеп окуучулары теңсиздик системаларынын чечимдерин оңой үйрөнүшөт. Бул дагы мугалимдердин окуучуларын бул темада жөн эле “үйрөтүп” жатканынан улам. Жана алар муну жасай алышпайт, анткени ал келечекте башка математикалык чоңдуктарды колдонуу менен изилденет, ошондой эле OGE жана бирдиктүү мамлекеттик экзамен үчүн текшерилет. Мектеп окуу китептеринде теңсиздик жана теңсиздик системалары темасы кеңири камтылган, ошондуктан аны изилдей турган болсоңуз, анда аларга кайрылганыңыз жакшы. Бул макала көп материалдардын парафразасы гана жана кээ бир кемчиликтерди камтышы мүмкүн.
Теңсиздик системасы түшүнүгү
Илимий тилге кайрыла турган болсок, «система» деген түшүнүккө аныктама берсек болоттеңсиздиктер". Бул бир нече теңсиздикти чагылдырган ушундай математикалык модель. Албетте, бул модель чечимди талап кылат жана ал тапшырмада сунушталган системанын бардык теңсиздигине жалпы жооп болот (көбүнчө мындай жазылат, анткени мисал: "4 x + 1 > 2 жана 30 - x > 6… теңсиздик системасын чечиңиз").
Теңсиздик системалары жана теңдемелер системасы
Жаңы теманы өздөштүрүү процессинде көп учурда түшүнбөстүктөр пайда болот. Бир жагынан баары түшүнүктүү жана мен милдеттерди чечүүнү туура көрөт элем, бирок экинчи жагынан кээ бир учурлар «көмүскө» бойдон калууда, алар жакшы түшүнүлбөйт. Ошондой эле, буга чейин алынган билимдин кээ бир элементтери жаңылары менен чырмалышып кетиши мүмкүн. Мындай кайталануунун натыйжасында каталар көп болот.
Ошондуктан, темабызды талдоодон мурун, теңдемелер менен теңсиздиктердин ортосундагы айырмачылыктарды, алардын системаларын эске сала кетели. Бул үчүн бул математикалык түшүнүктөр эмне экенин дагы бир жолу тактап алуу зарыл. Теңдеме дайыма теңдик жана ал дайыма бир нерсеге барабар (математикада бул сөз “=” белгиси менен белгиленет). Теңсиздик - бул бир маани башкасынан чоң же кичине болгон же алардын бирдей эместигин ырастаган модель. Ошентип, биринчи учурда теңдик жөнүндө сөз кылуу туура болот, ал эми экинчисинде ал канчалык ачык угулбасынаты өзү, баштапкы маалыматтардын теңсиздиги жөнүндө. Теңдемелердин жана теңсиздиктердин системалары иш жүзүндө бири-биринен айырмаланбайт жана аларды чечүү ыкмалары бирдей. Бир гана айырмасы, биринчиси теңчиликти колдонсо, экинчиси теңсиздикти колдонот.
Теңсиздиктин түрлөрү
Теңсиздиктин эки түрү бар: сандык жана белгисиз өзгөрмөлүү. Биринчи типте бири-бирине барабар болбогон маанилер (сандар) берилет, мисалы, 8 > 10. Экинчи түрү - белгисиз өзгөрмөнү камтыган теңсиздиктер (латын алфавитинин кээ бир тамгалары, көбүнчө X менен белгиленет). Бул өзгөрмө табуу керек. Алардын санынын санына жараша математикалык модел бир менен теңсиздикти (алар бир өзгөрмөлүү теңсиздик системасын түзөт) же бир нече өзгөрмөлүү (бир нече өзгөрмөлүү теңсиздик системасын түзөт) деп айырмалайт.
Акыркы эки түр, алардын түзүлүшүнүн даражасы жана чечүүнүн татаалдык даражасы боюнча, жөнөкөй жана татаал болуп бөлүнөт. Жөнөкөйлөр сызыктуу теңсиздиктер деп да аталат. Алар өз кезегинде катуу жана катаал эмес болуп экиге бөлүнөт. Бир маани аз же көбүрөөк болушу керек деп катуу "айт", демек бул таза теңсиздик. Бир нече мисалдар бар: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, ж.б. Катуу эместерге теңдик да кирет. Башкача айтканда, бир маани башка мааниден чоң же барабар ("≧" белгиси) же башка мааниден кичине же барабар ("≦" белгиси) болушу мүмкүн. Дагы эле кезектеТеңсиздиктерде өзгөрмө тамырда, квадратта турбайт, эч нерсеге бөлүнбөйт, ошондуктан алар «жөнөкөй» деп аталат. Татаалдарга белгисиз өзгөрмөлөр кирет, аларды табуу үчүн көбүрөөк математикалык операциялар керек. Алар көбүнчө чарчы, куб же тамырдын астында болот, модулдук, логарифмдик, бөлчөктүк ж. Бирок, буга чейин, алардын касиеттери жөнүндө бир нече сөз айтуу керек.
Теңсиздиктердин касиеттери
Теңсиздиктердин касиеттери төмөнкү жоболорду камтыйт:
- Караптардын ырааттуулугун өзгөртүү операциясы колдонулса, теңсиздик белгиси тескери болот (мисалы, t1 ≦ t2, андан кийин t 2 ≧ t1).
- Теңсиздиктин эки бөлүгү тең бирдей санды өзүңүзгө кошууга мүмкүндүк берет (мисалы, t1 ≦ t2, анда t 1 + сан ≦ t2 + сан).
- Бир эле багыттын белгиси бар эки же андан көп теңсиздик алардын сол жана оң бөлүктөрүн кошууга мүмкүндүк берет (мисалы, t1 ≧ t2 болсо , t3 ≧ t4, андан кийин t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Теңсиздиктин эки бөлүгү тең бирдей оң санга көбөйтүүгө же бөлүнүүгө мүмкүндүк берет (мисалы, t1 ≦ t2жана ≦ 0 саны, андан кийин t1 ≧ саны t2).
- Оң шарттары жана бир багыттын белгиси бар эки же андан көп теңсиздикбири-бирин көбөйтүү (мисалы, эгерде t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, т 4 ≧ 0 анан t1 t3 ≦ t2 t4).
- Теңсиздиктин эки бөлүгү тең бирдей терс санга көбөйтүүгө же бөлүнүүгө мүмкүндүк берет, бирок теңсиздик белгиси өзгөрөт (мисалы, эгерде t1 ≦ t2 жана ≦ 0 саны, андан кийин t1 ≧ саны t2).
- Бардык теңсиздиктер өтмө (мисалы, эгерде t1 ≦ t2 жана t2≦ t3, андан кийин t1 ≦ t3).
Эми, теңсиздикке байланыштуу теориянын негизги жоболорун изилдеп чыккандан кийин, биз түз эле алардын системаларын чечүү эрежелерин кароого өтсөк болот.
Теңсиздик системаларынын чечимдери. Жалпы маалыматтар. Чечимдер
Жогоруда айтылгандай, чечим бул системанын бардык теңсиздигине туура келген өзгөрмөнүн маанилери. Теңсиздик системаларынын чечими – бул бүтүндөй системанын чечилишине алып келүүчү же анын чечимдери жок экендигин далилдеген математикалык операциялардын аткарылышы. Бул учурда, өзгөрмө бош сан топтомуна тиешелүү деп айтылат (төмөндөгүдөй жазылат: ∈ өзгөрмөсүн билдирген тамга ("тиешелүү" белгиси) ø ("бош топтом" белгиси), мисалы, x ∈ ø (ал мындайча окулат: ««х» өзгөрмөсү бош көптүккө таандык»). Теңсиздик системасын чечүүнүн бир нече жолу бар:графикалык, алгебралык, алмаштыруу ыкмасы. Белгилей кетсек, алар бир нече белгисиз өзгөрмөлөргө ээ болгон математикалык моделдерге кайрылышат. Бирөө гана болгон учурда, интервал ыкмасы иштейт.
Графикалык ыкма
Бир нече белгисиз (эки же андан көп) бар теңсиздик системасын чечүүгө мүмкүндүк берет. Бул ыкманын аркасында сызыктуу теңсиздиктер системасы оңой жана тез чечилет, ошондуктан бул эң кеңири таралган ыкма. Себеби график түзүү математикалык операцияларды жазуу көлөмүн азайтат. Калемден бир аз тыныгуу алып, сызгыч менен карандашты алып, көп иш бүтүп, бир аз түрдүүлүктү кааласаңыз, алардын жардамы менен кийинки аракеттерди улантуу өзгөчө жагымдуу болот. Бирок, бул ыкманы айрымдар жактырбайт, анткени сиз тапшырмадан алыстап, акыл-эс ишмердүүлүгүңүздү сүрөт тартууга алмаштырууга туура келет. Бирок, бул абдан натыйжалуу жол.
Теңсиздиктер системасын графикалык ыкма менен чечүү үчүн ар бир теңсиздиктин бардык мүчөлөрүн алардын сол тарабына өткөрүү керек. Белгилер тескери жазылат, нөл оң тарапка, андан кийин ар бир теңсиздик өзүнчө жазылууга тийиш. Натыйжада теңсиздиктен функциялар алынат. Андан кийин, сиз карандаш менен сызгычты ала аласыз: эми ар бир алынган функциянын графигин чийишиңиз керек. Алардын кесилишкен интервалында турган сандардын бүтүндөй жыйындысы теңсиздик системасынын чечими болот.
Алгебралык жол
Эки белгисиз өзгөрмөлүү теңсиздик системасын чечүүгө мүмкүндүк берет. Теңсиздиктер да бирдей теңсиздик белгисине ээ болушу керек (башкача айтканда, алар же «чоң» белгисин гана камтышы керек, же «кичи» белгисин гана камтышы керек ж.б.) Өзүнүн чектөөлөрүнө карабастан, бул ыкма дагы татаал. Ал эки кадам менен колдонулат.
Биринчиси белгисиз өзгөрмөлөрдүн биринен кутулууну камтыйт. Адегенде аны тандап, андан кийин бул өзгөрмөнүн алдында сандардын бар-жоктугун текшерүү керек. Эгерде эч ким жок болсо (анда өзгөрмө бир тамгага окшош болот), анда биз эч нерсени өзгөртпөйбүз, эгер бар болсо (өзгөрмөнүн түрү, мисалы, 5y же 12y болот), анда аны тактоо керек. ар бир теңсиздикте тандалган өзгөрмөнүн алдындагы сан бирдей болот. Бул үчүн теңсиздиктердин ар бир мүчөсүн жалпы коэффициентке көбөйтүү керек, мисалы, биринчи теңсиздикте 3y, экинчисинде 5у жазылса, анда биринчи теңсиздиктин бардык мүчөлөрүн 5ке көбөйтүү керек., ал эми экинчиси 3. Сиз тиешелүүлүгүнө жараша 15ж жана 15ж аласыз.
Чечимдин экинчи этабы. Ар бир теңсиздиктин сол тарабын алардын оң жагына ар бир мүчөнүн белгисин карама-каршыга өзгөртүү керек, оң жагына нөлдү жазыңыз. Андан кийин кызыктуу бөлүк келет: тандалган өзгөрмөдөн кутулуу (башкача "кыскартуу" деп аталат) барабар эместиктерди кошуу менен. Сиз чечилиши керек болгон бир өзгөрмөлүү теңсиздикти аласыз. Андан кийин, башка белгисиз өзгөрмө менен гана ушундай кылышыңыз керек. Алынган натыйжалар системанын чечими болот.
Алмаштыруу ыкмасы
Жаңы өзгөрмө киргизүү мүмкүнчүлүгүнө ээ болгондо теңсиздик системасын чечүүгө мүмкүндүк берет. Көбүнчө бул ыкма теңсиздиктин бир мүчөсүндөгү белгисиз өзгөрмө төртүнчү даражага көтөрүлгөндө, ал эми экинчи мүчөсүндө квадратталат. Ошентип, бул ыкма системадагы теңсиздиктин деңгээлин төмөндөтүүгө багытталган. x4 - x2 - 1 ≦ 0 үлгүсүндөгү теңсиздик төмөнкүчө чечилет. Жаңы өзгөрмө киргизилет, мисалы т. Алар: "Let t=x2" деп жазышат, андан кийин модель жаңы формада кайра жазылат. Биздин учурда, биз t2 - t - 1 ≦0 алабыз. Бул теңсиздик интервал ыкмасы менен чечилиши керек (бул жөнүндө бир аз кийинчерээк), андан кийин кайра X өзгөрмөсүнө кайрылып, андан кийин башка теңсиздик менен да ушундай кылыңыз. Алынган жооптор системанын чечими болот.
Интервал ыкмасы
Бул теңсиздик системаларын чечүүнүн эң оңой жолу жана ошол эле учурда универсалдуу жана кеңири таралган. Ал орто мектепте, ал тургай жогорку мектепте колдонулат. Анын маңызы окуучунун дептерге чийилген сан сызыгынан теңсиздик интервалдарын издөөдө (бул график эмес, сандар менен катардагы түз сызык). Теңсиздиктин интервалдары кесилишкен жерде системанын чечими табылат. Аралык ыкмасын колдонуу үчүн бул кадамдарды аткарыңыз:
- Ар бир теңсиздиктин бардык мүчөлөрү сол тарапка жылдырылган белгинин карама-каршы жагына которулат (оң жакта нөл жазылган).
- Теңсиздиктер өзүнчө жазылат, алардын ар биринин чечими аныкталат.
- Сандагы теңсиздиктердин кесилишитүз. Бул кесилиштердеги бардык сандар чечим болот.
Кайсы жолду колдонуу керек?
Албетте, бул эң оңой жана ыңгайлуу көрүнөт, бирок тапшырмалар белгилүү бир ыкманы талап кылган учурлар болот. Көбүнчө, алар графиктин жардамы менен же интервал ыкмасын колдонуу менен чечүү керек деп айтышат. Алгебралык ыкма жана алмаштыруу өтө сейрек колдонулат же такыр колдонулбайт, анткени алар абдан татаал жана чаташкандыктан, алар теңсиздикти эмес, теңдемелер системасын чечүү үчүн көбүрөөк колдонулат, андыктан графиктерди жана интервалдарды тартууга кайрылуу керек. Алар математикалык операциялардын эффективдүү жана тез жүргүзүлүшүнө салым кошо албаган көрүнүштү алып келет.
Эгер бир нерсе иштебей калса
Алгебра боюнча тигил же бул теманы изилдөө учурунда, албетте, аны түшүнүүдө кыйынчылыктар жаралышы мүмкүн. Жана бул нормалдуу нерсе, анткени биздин мээбиз татаал материалды бир кадамда түшүнө албай тургандай долбоорлонгон. Көбүнчө абзацты кайра окуп чыгуу, мугалимдин жардамын алуу же типтүү маселелерди чечүүгө көнүгүү керек. Биздин учурда, алар, мисалы, мындай көрүнөт: "3 x + 1 ≧ 0 жана 2 x - 1 > 3 теңсиздик системасын чеч". Ошентип, жеке умтулуу, сырттан келген жардам жана практика ар кандай татаал теманы түшүнүүгө жардам берет.
Решебник?
Жана чечим китеби да абдан жакшы, бирок үй тапшырмасын алдаш үчүн эмес, өз алдынча жардам берүү үчүн. Алардан чечими бар теңсиздик системаларын таба аласыз, караңызаларды (шаблондор сыяктуу), чечимдин автору тапшырманы кантип жеңгенин так түшүнүүгө аракет кылыңыз, анан аны өз алдынча аткарууга аракет кылыңыз.
Тыянактар
Алгебра мектептеги эң оор сабактардын бири. Мейли, эмне кыла аласың? Математика дайыма ушундай болуп келген: кимдир бирөө үчүн оңой келсе, бирөө үчүн кыйын. Бирок, кандай болгон күндө да, жалпы билим берүү программасы ар бир студент аны көтөрө ала тургандай иштелип чыкканын эстен чыгарбоо керек. Мындан тышкары, сиз жардамчыларынын зор санын эстен чыгарбоо керек. Алардын айрымдары жогоруда айтылган.
