Кадимки алты бурчтуу пирамида. Көлөмү жана бетинин аянты үчүн формулалар. Геометриялык маселени чечүү

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2024-01-02 17:51

Стереометрия космостогу геометриянын бир тармагы катары призмалардын, цилиндрлердин, конустардын, шарлардын, пирамидалардын жана башка үч өлчөмдүү фигуралардын касиеттерин изилдейт. Бул макала алты бурчтуу кадимки пирамиданын мүнөздөмөлөрүн жана касиеттерин кеңири карап чыгууга арналган.

Кайсы пирамида изилденет

Регитимдүү алты бурчтуу пирамида – бул мейкиндиктеги фигура, ал бир тең капталдуу жана тең бурчтуу алты бурчтук жана алты бирдей теӊ бурчтуу үч бурчтук менен чектелген. Бул үч бурчтуктар да белгилүү бир шарттарда тең жактуу болушу мүмкүн. Бул пирамида төмөндө көрсөтүлгөн.

Ошол эле фигура бул жерде көрсөтүлгөн, бир учурда гана каптал бети менен окурманга, ал эми экинчисинде - каптал чети менен бурулган.

Кадимки алты бурчтуу пирамиданын 7 бети бар, алар жогоруда айтылган. Ошондой эле анын 7 чокусу жана 12 чети бар. Призмалардан айырмаланып, бардык пирамидалардын капталынын кесилишинен пайда болгон бир өзгөчө чокусу бар.үч бурчтуктар. Кадимки пирамида үчүн ал маанилүү ролду ойнойт, анткени андан фигуранын түбүнө түшүрүлгөн перпендикуляр бийиктик болуп саналат. Андан ары бийиктик h тамгасы менен белгиленет.

Көрсөтүлгөн пирамида эки себептен улам туура деп аталат:

• анын түбүндө бирдей каптал узундугу a жана бирдей бурчтары 120o; болгон алты бурчтук бар.
• Пирамиданын бийиктиги h алты бурчтукту так анын борборунда кесип өтөт (кесилиш чекити алты бурчтуктун бардык тараптан жана бардык чокуларынан бирдей аралыкта жайгашкан).

Беттин аянты

Регитимдүү алты бурчтуу пирамиданын касиеттери анын аянтын аныктоодо каралат. Бул үчүн алгач фигураны учакта ачуу пайдалуу. Анын схемалык көрүнүшү төмөндө көрсөтүлгөн.

Сыртуунун аянты, демек, каралып жаткан фигуранын бүткүл бети алты бирдей үч бурчтуктун жана бир алты бурчтуктун аянттарынын суммасына барабар экенин көрүүгө болот.

Алты бурчтуктун аянтын аныктоо үчүн S_{6, кадимки n-бурч үчүн универсалдуу формуланы колдонуңуз:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

Бул жерде a - алты бурчтуктун капталынын узундугу.

Үч бурчтуктун S₃ каптал тарабынын аянтын, эгерде анын бийиктигинин маанисин билсеңиз табууга болот h_b:

S₃=1/2h_ba.

Анткени алтоо теңүч бурчтуктар бири-бирине барабар болсо, анда биз туура негизи бар алты бурчтуу пирамиданын аянтын аныктоо үчүн жумушчу туюнтманы алабыз:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

Пирамиданын көлөмү

Аянт сыяктуу эле, алты бурчтуу регулярдуу пирамиданын көлөмү анын маанилүү касиети болуп саналат. Бул көлөм бардык пирамидалар жана конустар үчүн жалпы формула боюнча эсептелет. Аны жазып алалы:

V=1/3S_oс.

Бул жерде S_o символу алты бурчтуу негиздин аянты, б.а. S_o=S _6.

Жогорудагы S_{6 формуласын V формуласына алмаштырып, биз регулярдуу алты бурчтуу пирамиданын көлөмүн аныктоо үчүн акыркы теңчиликке келебиз:}

V=√3/2a2саат.

Геометриялык маселенин мисалы

Кадимки алты бурчтуу пирамидада каптал чети негизги капталдан эки эсе узун. Акыркысы 7 см экенин билип, бул көрсөткүчтүн бетинин аянтын жана көлөмүн эсептөө керек.

Сиз ойлогондой, бул маселени чечүү S жана V үчүн жогоруда алынган туюнтмаларды колдонууну камтыйт. Ошентсе да, аларды дароо колдонуу мүмкүн эмес, анткени биз апотемди жана нормалдуу алты бурчтуу пирамиданын бийиктиги. Келгиле, аларды эсептеп көрөлү.

h_b апотемасын b, a/2 жана h_{b капталдарына курулган тик бурчтуктун негизинде аныктоого болот. Бул жерде b каптал четинин узундугу. Маселенин шартын колдонуп, биз төмөнкүнү алабыз:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13, 555 см.}

Пирамиданын h бийиктигин апотема сыяктуу эле аныктоого болот, бирок азыр пирамиданын ичинде жайгашкан h, b жана a тараптары болгон үч бурчтукту карап чыгышыбыз керек. Бийиктиги:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12, 124 см.}

Эсептелген бийиктиктин мааниси ар кандай пирамида үчүн туура болгон апотемадан азыраак экенин көрүүгө болот.

Эми көлөм жана аймак үчүн туюнтмаларды колдоно аласыз:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96см^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48см^3.

Ошентип, кадимки алты бурчтуу пирамиданын кандайдыр бир мүнөздөмөсүн так аныктоо үчүн, анын каалаган эки сызыктуу параметрин билишиңиз керек.