Призма түшүнүгү. Ар кандай типтеги призмалар үчүн көлөм формулалары: регулярдуу, түз жана кыйгач. маселени чечүү

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2023-12-17 05:34

Көлөм – мейкиндиктин бардык үч өлчөмүндө нөл эмес өлчөмдөрү бар бардык фигуранын мүнөздөмөсү. Бул макалада стереометрия (мейкиндик фигураларынын геометриясы) көз карашынан алганда, биз призманы карап чыгабыз жана ар кандай типтеги призмалардын көлөмдөрүн кантип табууга болорун көрсөтөбүз.

Призма деген эмне?

Стереометрияда бул суроого так жооп бар. Андагы призма деп эки бирдей көп бурчтуу бет жана бир нече параллелограммдан түзүлгөн фигура түшүнүлөт. Төмөнкү сүрөттө төрт түрдүү призма көрсөтүлгөн.

Алардын ар бирин төмөнкүчө алууга болот: көп бурчтук (үч бурчтук, төрт бурчтук ж.б.у.с.) жана белгилүү бир узундуктагы сегментти алуу керек. Андан кийин көп бурчтуктун ар бир чокусун башка тегиздикке параллелдүү сегменттер аркылуу өткөрүү керек. Баштапкыга параллелдүү болгон жаңы тегиздикте башында тандалганга окшош жаңы көп бурчтук алынат.

Призмалар ар кандай типте болушу мүмкүн. Ошентип, алар түз, кыйгач жана туура болушу мүмкүн. Эгерде призманын каптал кыры (сегмент,негиздеринин чокуларын бириктирип) фигуранын негиздерине перпендикуляр, анда акыркы түз сызык болуп саналат. Демек, бул шарт аткарылбаса, анда биз жантык призма жөнүндө сөз болуп жатат. Регулярдуу фигура – бул тең бурчтуу жана тең капталдуу негизи бар оң призма.

Кийинчерээк макалада бул призманын түрлөрүнүн ар биринин көлөмүн кантип эсептөө керектигин көрсөтөбүз.

Регитимдүү призмалардын көлөмү

Эң жөнөкөй окуядан баштайлы. n-бурчтуу негизи бар регулярдуу призманын көлөмүнүн формуласын беребиз. Каралып жаткан класстын каалаган фигурасы үчүн V көлөмүнүн формуласы төмөнкүдөй:

V=S_oс.

Башкача айтканда, көлөмдү аныктоо үчүн S_o негиздеринин биринин аянтын эсептеп, аны h фигуранын бийиктигине көбөйтүү жетиштүү.

Регитимдүү призманын шартында анын негизинин капталынын узундугун а тамгасы менен, ал эми каптал четинин узундугуна барабар болгон бийиктигин h тамгасы менен белгилейли. Эгерде n-гондун негизи туура болсо, анда анын аянтын эсептөөнүн эң оңой жолу төмөнкү универсалдуу формуланы колдонуу болуп саналат:

S=n/4a²ctg(pi/n).

Тараптардын саны n жана бир капталынын узундугу aнын маанисин барабардыкка алмаштырып, n-гоналдык негиздин аянтын эсептей аласыз. Бул жерде котангенс функциясы радиан менен туюнтулган pi/n бурч үчүн эсептелгенин эске алыңыз.

S үчүн жазылган теңчиликти эске алып, биз регулярдуу призманын көлөмүнүн акыркы формуласын алабыз:

V=n/4a²hctg(pi/n).

Ар бир конкреттүү учур үчүн V үчүн тиешелүү формулаларды жазсаңыз болот, бирок алардын бардыгыжазылган жалпы сөздөн уникалдуу түрдө келип чыгат. Мисалы, жалпы учурда тик бурчтуу параллелепипед болгон нормалдуу төрт бурчтуу призма үчүн төмөнкүнү алабыз:

V₄=4/4a²hctg(pi/4)=a² с.

Бул туюнтмада h=a алсак, анда кубдун көлөмүнүн формуласын алабыз.

Түз призмалардын көлөмү

Түз фигуралар үчүн көлөмдү эсептөө үчүн жогоруда кадимки призмалар үчүн берилген жалпы формула жок экенин дароо белгилейбиз. Каралып жаткан маанини табууда баштапкы туюнтма колдонулушу керек:

V=S_oс.

Бул жерде h - мурунку жагдайдагыдай каптал четинин узундугу. S_o базалык аймагына келсек, ал ар кандай маанилерди алышы мүмкүн. Көлөмдүн түз призмасын эсептөө милдети анын негизинин аянтын табууга чейин кыскартылат.

S_o маанисин эсептөө базанын өзүнүн мүнөздөмөлөрүнүн негизинде жүргүзүлүшү керек. Мисалы, эгерде ал үч бурчтук болсо, анда аймакты төмөнкүдөй эсептөөгө болот:

S_o3=1/2ah_a.

Бул жерде h_a - үч бурчтуктун апотемасы, башкача айтканда анын бийиктиги а негизине түшүрүлгөн.

Эгер негизи төрт бурчтуу болсо, анда ал трапеция, параллелограмм, тик бурчтук же толугу менен каалаган түрү болушу мүмкүн. Бул бардык учурларда, аймакты аныктоо үчүн тиешелүү планиметрия формуласын колдонуу керек. Мисалы, трапеция үчүн бул формула төмөнкүдөй көрүнөт:

S_o4=1/2(a₁+ a₂)h _a.

Бул жерде h_a трапециянын бийиктиги, a₁ жана a₂ узундуктары анын параллелдүү капталдарынын.

Жогорку тартиптеги көп бурчтуктардын аянтын аныктоо үчүн аларды жөнөкөй фигураларга (үч бурчтуктар, төрт бурчтуктар) бөлүп, акыркыларынын аянттарынын суммасын эсептөө керек.

Көңүлдүү призманын көлөмү

Бул призманын көлөмүн эсептөөнүн эң кыйын учуру. Мындай цифралар үчүн жалпы формула да колдонулат:

V=S_oс.

Бирок, көп бурчтуктун ыктыярдуу түрүн билдирген негиздин аянтын табуу татаалдыгына фигуранын бийиктигин аныктоо маселеси кошулат. Ал ар дайым жантайыңкы призманын каптал четинин узундугунан кичине болот.

Бул бийиктикти табуунун эң оңой жолу - эгер сиз фигуранын кайсы бир бурчун билсеңиз (жалпак же эки жактуу). Эгерде мындай бурч берилсе, анда аны призманын ичинде тик бурчтуу үч бурчтукту куруу үчүн колдонуу керек, ал бийиктикти h тараптардын бири катары камтый алат жана тригонометриялык функцияларды жана Пифагор теоремасын колдонуп, h маанисин табуу керек.

Геометриялык көлөм маселеси

Бийиктиги 14 см, капталынын узундугу 5 см болгон үч бурчтуу негиздүү туура призма берилген. Үч бурчтук призманын көлөмү канча?

Кеп туура цифра жөнүндө болуп жаткандыктан, биз белгилүү формуланы колдонууга укуктуубуз. Бизде:

V₃=3/4a²hctg(pi/3)=3/45²141/√3=√3/42514=151,55 cm³.

Үч бурчтуу призма – бул кыйла симметриялуу фигура, анын түрүндө көбүнчө ар кандай архитектуралык түзүлүштөр жасалат. Бул айнек призма оптикада колдонулат.