Кесилген пирамиданын каптал бетинин аянты жана көлөмү: формулалар жана типтүү маселени чечүүнүн мисалы

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2024-01-02 17:51

Стереометриянын алкагында үч өлчөмдүү мейкиндиктеги фигуралардын касиеттерин изилдөөдө көбүнчө көлөмдү жана беттин аянтын аныктоо боюнча маселелерди чечүүгө туура келет. Бул макалада биз белгилүү формулалар аркылуу кесилген пирамиданын көлөмүн жана каптал бетинин аянтын кантип эсептөө керектигин көрсөтөбүз.

Геометриядагы пирамида

Геометрияда кадимки пирамида – бул мейкиндиктеги фигура, ал кандайдыр бир жалпак n-гонго курулган. Анын бардык чокулары көп бурчтуктун тегиздигинен тышкары жайгашкан бир чекит менен байланышкан. Мисалы, бул жерде беш бурчтуу пирамида көрсөтүлгөн сүрөт.

Бул фигура беттер, чокулар жана четтер аркылуу түзүлөт. Беш бурчтуу бет негизи деп аталат. Калган үч бурчтуу беттер каптал бетти түзөт. Бардык үч бурчтуктардын кесилишкен чекити пирамиданын негизги чокусу болуп саналат. Эгерде андан негизге перпендикуляр түшүрүлсө, анда кесилишкен чекиттин абалынын эки варианты мүмкүн:

• геометриялык борбордо, анда пирамида түз сызык деп аталат;
• кирбейтгеометриялык борбор болсо, анда фигура кыйгач болот.

Мындан ары биз кадимки n-бурчтуу негизи бар түз фигураларды гана карайбыз.

Бул кандай фигура - кесилген пирамида?

Кесилген пирамиданын көлөмүн аныктоо үчүн кайсы фигура өзгөчө сөз болуп жатканын так түшүнүү керек. Бул маселени тактап алалы.

Кадимки пирамиданын түбүнө параллелдүү кесүүчү тегиздикти алып, аны менен каптал бетинин бир бөлүгүн кесип алдык дейли. Бул операция жогоруда көрсөтүлгөн беш бурчтуу пирамида менен аткарылса, сиз төмөнкү сүрөттөгүдөй фигураны аласыз.

Сүрөттөн көрүнүп тургандай, бул пирамиданын буга чейин эки негизи бар, ал эми үстүнкүсү астыңкысына окшош, бирок өлчөмү боюнча кичине. Каптал бети мындан ары үч бурчтуктар менен эмес, трапециялар менен берилген. Алар тең жактуу жана алардын саны негиздин капталдарынын санына туура келет. Кесилген фигуранын кадимки пирамида сыяктуу негизги чокусу жок жана анын бийиктиги параллелдүү негиздер ортосундагы аралык менен аныкталат.

Жалпы учурда, эгерде каралып жаткан фигура n-бурчтук негиздер менен түзүлсө, анын n+2 бети же капталы, 2n чокусу жана 3n чети болот. Башкача айтканда, кесилген пирамида көп жактуу.

Кесилген пирамиданын көлөмүнүн формуласы

Кадимки пирамиданын көлөмү анын бийиктигинин жана негизинин аянтынын 1/3 бөлүгүн түзөт. Бул формула кесилген пирамидага ылайыктуу эмес, анткени анын эки негизи бар. Жана анын көлөмүал алынган кадимки фигура үчүн ар дайым бирдей мааниден кичине болот.

Туюнтманы алуунун математикалык деталдарына кирбестен, биз кесилген пирамиданын көлөмүнүн акыркы формуласын сунуштайбыз. Ал төмөнкүчө жазылган:

V=1/3с(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Бул жерде S₁ жана S_{2 тиешелүүлүгүнө жараша төмөнкү жана үстүнкү негиздердин аймактары, h фигуранын бийиктиги. Жазылган туюнтма түз үзгүлтүксүз кесилген пирамида үчүн гана эмес, бул класстын каалаган фигурасы үчүн да жарактуу. Анын үстүнө, негиздүү көп бурчтуктардын түрүнө карабастан. V үчүн туюнтманы колдонууну чектеген бирден-бир шарт - пирамиданын негиздери бири-бирине параллелдүү болушу зарыл.}

Бул формуланын касиеттерин изилдөө менен бир нече маанилүү тыянактарды чыгарууга болот. Ошентип, эгерде үстүнкү базанын аянты нөлгө барабар болсо, анда биз кадимки пирамиданын V формуласына келебиз. Эгерде негиздердин аянттары бири-бирине барабар болсо, анда призманын көлөмүнүн формуласын алабыз.

Каптал бетинин аянтын кантип аныктоого болот?

Кесилген пирамиданын мүнөздөмөлөрүн билүү үчүн анын көлөмүн гана эсептебестен, каптал бетинин аянтын аныктоону да талап кылат.

Кесилген пирамида жүздөрдүн эки түрүнөн турат:

• изоселдик трапециялар;
• көп бурчтуу негиздер.

Эгер негиздеринде туура көп бурчтук бар болсо, анда анын аянтын эсептөө чоң эмес.кыйынчылыктар. Бул үчүн сиз а капталынын узундугун жана алардын n санын гана билишиңиз керек.

Каптал бетинде анын аянтын эсептөө n трапециянын ар бири үчүн бул маанини аныктоону камтыйт. Эгерде n-gon туура болсо, анда каптал бетинин аянтынын формуласы болот:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Бул жерде h_b - трапециянын бийиктиги, ал фигуранын апотемасы деп аталат. a₁ жана a_{2чоңдуктары кадимки n-бурчтуу негиздеринин тараптарынын узундугу.}

Ар бир кадимки n-бурчтуу кесилген пирамида үчүн h_b апотемасы a₁ жана a _{параметрлери аркылуу уникалдуу түрдө аныкталышы мүмкүн 2жана форманын бийиктиги h.}

Фигуранын көлөмүн жана аянтын эсептөө милдети

Кадимки үч бурчтуу кесилген пирамида берилген. Белгилүү болгондой, анын бийиктиги h 10 см, ал эми негиздеринин капталдарынын узундугу 5 см жана 3 см. Кесилген пирамиданын көлөмү жана анын каптал бетинин аянты канча?

Биринчи V маанисин эсептеп алалы. Ал үчүн фигуранын таманында жайгашкан тең жактуу үч бурчтуктун райондорун табыңыз. Бизде:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10,825cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3,897 cm²

V үчүн формулага берилиштерди алмаштырыңыз, биз каалаган көлөмдү алабыз:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

Каптал бетин аныктоо үчүн, билишиңиз керекapothem long h_{b. Пирамиданын ичиндеги тиешелүү тик бурчтуу үч бурчтукту эске алып, анын теңдигин жаза алабыз:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10,017 см}

С_{bтуюнтмасына апотемдин мааниси жана үч бурчтук негиздеринин капталдары алмаштырылып, жооп алабыз:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10.0173(5+3)/2 ≈ 120.2cm²

Ошентип, маселенин бардык суроолоруна жооп алдык: V ≈ 70,72 cm³, S_b ≈ 120,2 см2^.