Полиэдра геометрияда көрүнүктүү орунду гана ээлебестен, ар бир адамдын күнүмдүк жашоосунда кездешет. Жасалма жол менен жасалган ар кандай көп бурчтук түрүндөгү тиричилик буюмдарын айтпаганда да ширенке кутусунан башталып, архитектуралык элементтер менен аяктаган, куб (туз), призма (кристалл), пирамида (шеелит), октаэдр (бриллиант) түрүндөгү кристаллдар, ж.б. e.
Көп жүздүү түшүнүгү, геометриядагы көп жүздүүлөрдүн түрлөрү
Геометрия илим катары үч өлчөмдүү фигуралардын мүнөздөмөлөрүн жана касиеттерин изилдөөчү стереометриянын бөлүмүн камтыйт. Үч өлчөмдүү мейкиндикте капталдары чектелген тегиздиктерден (беттер) түзүлгөн геометриялык денелер "көп жүздүү" деп аталат. Көп жүздүүлөрдүн түрлөрүнө жүздөрдүн саны жана формасы боюнча айырмаланган ондон ашык өкүлдөр кирет.
Бирок бардык көп жүздүүлөрдүн жалпы касиеттери бар:
- Алардын бардыгында 3 маанилүү компонент бар: бет(көп бурчтуктун бети), чоку (беттердин кошулган жеринде пайда болгон бурчтар), чети (фигуранын жагы же эки беттин кошулган жеринде пайда болгон сегмент).
- Ар бир көп бурчтуктун чети бири-бирине жанаша турган эки жана эки гана бетти бириктирет.
- Төмөнкүлүк дене толугу менен беттердин бири жаткан тегиздиктин бир тарабында гана жайгашканын билдирет. Эреже көп жүздүүлөрдүн бардык беттерине тиешелүү. Стереометриядагы мындай геометриялык фигуралар томпок көп кырдуу деп аталат. Кадимки көп кырдуу геометриялык катуу тетиктердин туундулары болгон жылдыз түрүндөгү көп кырдуулар өзгөчө болуп саналат.
Полиэдраны шарттуу түрдө төмөнкүлөргө бөлүүгө болот:
- Төмөнкү класстардан турган томпок көп кырдуулардын түрлөрү: кадимки же классикалык (призма, пирамида, параллелепипед), регулярдуу (платондук катуу заттар деп да аталат), жарым регулярдуу (экинчи аты - Архимеддик катуу заттар).
- Төмөнкү эмес көп жүздүү (жылдыз сымал).
Призма жана анын касиеттери
Стереометрия геометриянын бир тармагы катары үч өлчөмдүү фигуралардын касиеттерин, көп жүздүүлөрдүн түрлөрүн (алардын бири призма) изилдейт. Призма - бул сөзсүз түрдө параллелдүү тегиздикте жаткан эки абсолюттук бирдей бети (алар негиздер деп да аталат) жана параллелограммдар түрүндөгү каптал беттеринин n-саны бар геометриялык дене. Өз кезегинде, призманын бир нече сорттору бар, анын ичинде көп жүздүү түрлөрү бар:
- Параллелепипед - негизи параллелограмм болсо түзүлөт -2 жуп карама-каршы бурчтары жана конгруенттүү карама-каршы тараптары бар 2 жуп көп бурчтук.
- Түз призманын четтери негизине перпендикуляр болот.
- Ийилген призма беттер менен негиздин ортосунда тик эмес бурчтардын (90дон башка) болушу менен мүнөздөлөт.
- Регулярдуу призма капталдары бирдей болгон туура көп бурчтук түрүндөгү негиздер менен мүнөздөлөт.
Призманын негизги касиеттери:
- Конгруенттик негиздер.
- Призманын бардык четтери бирдей жана бири-бирине параллель.
- Бардык каптал беттери параллелограммдуу.
Пирамида
Пирамида – геометриялык дене, ал бир негизден жана үч бурчтук беттердин n-санынан турган, бир чекитте - үстү жагында бириктирилген. Белгилей кетчү нерсе, эгерде пирамиданын каптал беттери сөзсүз түрдө үч бурчтуктар менен көрсөтүлсө, анда негиз үч бурчтуу көп бурчтук, же төрт бурчтук, же беш бурчтук жана башкалар болушу мүмкүн. Бул учурда, пирамиданын аты негизинде көп бурчтуу туура келет. Мисалы, үч бурчтук пирамиданын түбүндө жатса, ал үч бурчтуу пирамида, төрт бурчтук төрт бурчтуу ж.б.
Пирамидалар конус сымал көп жүздүү. Бул топтун көп кырдуу түрлөрү, жогоруда саналып өткөндөрдөн тышкары, төмөнкү өкүлдөрдү да камтыйт:
- Кадимки пирамиданын түбүндө туура көп бурчтук бар жана анын бийиктиги борборго проекцияланганнегизге чегилген же анын тегерегине чектелген тегерек.
- Төрт бурчтуу пирамида каптал четтеринин бири негиз менен тик бурч менен кесилишкенде пайда болот. Бул учурда бул четти пирамиданын бийиктиги деп айтуу да туура болот.
Пирамиданын касиеттери:
- Эгер пирамиданын бардык каптал четтери конгруенттүү болсо (бирдей бийиктикте), анда алардын баары негиз менен бирдей бурчта кесилишет, ал эми негиздин тегерегине борбору проекциясына дал келген тегерек тартса болот. пирамиданын чокусу.
- Эгер пирамиданын негизи регулярдуу көп бурчтук болсо, анда бардык каптал четтери конгруенттүү, ал эми беттери тең жактуу үч бурчтуктар болот.
Дайыма көп жүздүү: көп жүздүүлөрдүн түрлөрү жана касиеттери
Стереометрияда өзгөчө орунду беттери абсолюттук бирдей геометриялык денелер ээлейт, алардын чокуларында бирдей сандагы четтери туташтырылган. Бул катуу заттар Платондук катуу заттар же кадимки көп кырдуулар деп аталат. Мындай касиеттерге ээ көп жүздүү түрлөрү беш гана формага ээ:
- Тетраэдр.
- Гексадр.
- Октаэдр.
- Додекаэдр.
- Икосаэдр.
Регулярдуу көп жүздүүлөрдүн аталышы байыркы грек философу Платонго таандык, ал өзүнүн эмгектеринде бул геометриялык денелерди сүрөттөп, аларды табигый элементтер: жер, суу, от, аба менен байланыштырган. Бешинчи фигура Ааламдын түзүлүшүнө окшоштук менен сыйланган. Анын ою боюнча, табигый элементтердин атомдору формасы боюнча кадимки көп жүздүүлөрдүн түрлөрүнө окшош. Эң кызыктуу касиетине байланыштуу -симметрия, бул геометриялык денелер бир гана байыркы математиктер жана философтор үчүн эмес, ошондой эле бардык мезгилдеги архитекторлор, сүрөтчүлөр жана скульпторлор үчүн чоң кызыгуу болгон. Абсолюттук симметриялуу көп жүздүүлөрдүн 5 гана түрүнүн болушу фундаменталдуу ачылыш деп эсептелген, атүгүл аларга кудайлык принцип менен байланышы да берилген.
Гексадр жана анын касиеттери
Алты бурчтук формасында, Платондун мураскорлору жердин атомдорунун түзүлүшүнө окшош деп эсептешкен. Албетте, учурда бул гипотеза толугу менен төгүнгө чыгарылды, бирок бул фигуралардын заманбап доордо эстетикасы менен белгилүү инсандардын көңүлүн буруусуна тоскоол боло албайт.
Геометрияда гексаэдр, куб деп да белгилүү, параллелепипедтин өзгөчө учуру катары каралат, ал өз кезегинде призманын бир түрү болуп саналат. Демек, кубдун касиеттери призманын касиеттери менен байланышкан, бир гана айырмасы кубдун бардык беттери жана бурчтары бири-бирине барабар. Мындан төмөнкү касиеттер келип чыгат:
- Кубдын бардык четтери конгруент жана бири-бирине карата параллелдүү тегиздикте жатат.
- Бардык жүздөр бири-бирине шайкеш квадраттар (кубда бардыгы 6 бар), алардын каалаганын негиз катары алууга болот.
- Бардык интерфейс бурчтары 90.
- Ар бир чокудан бирдей сандагы четтер чыгат, тактап айтканда 3.
- Кубта 9 симметрия огу бар, алардын баары симметрия борбору деп аталган алты жүздүү диагоналдардын кесилишкен жеринде кесилишет.
Тетраэдр
Тетраэдр – ар бир чокусу үч бурчтук түрүндөгү бирдей беттери бар тетраэдр.үч беттин бириктирилген жери.
Кадимки тетраэдрдин касиеттери:
- Тетраэдрдин бардык беттери тең жактуу үч бурчтуктар, бул тетраэдрдин бардык беттери конгруенттүү экенин билдирет.
- Негизи регулярдуу геометриялык фигура менен берилгендиктен, башкача айтканда, анын беттери бирдей болгондуктан, тетраэдрдин беттери бирдей бурчка жакындайт, башкача айтканда, бардык бурчтар бирдей.
- Ар бир чокудагы жалпак бурчтардын суммасы 180, анткени бардык бурчтар бирдей болгондуктан, регулярдуу тетраэдрдин каалаган бурчу 60ка барабар.
- Чокулардын ар бири карама-каршы (ортоборбор) беттин бийиктиктеринин кесилишкен чекитине проекцияланат.
Октаэдр жана анын касиеттери
Кадимки көп жүздүүлөрдүн түрлөрүн сүрөттөп жатып, октаэдр сыяктуу объектти белгилебей коюуга болбойт, аны визуалдык түрдө негиздери менен жабышкан эки төрт бурчтуу регулярдуу пирамидалар катары көрсөтүүгө болот.
Октаэдрдин касиеттери:
- Геометриялык дененин аталышынын өзү эле анын беттеринин санын көрсөтүп турат. Октаэдр 8 конгруенттүү тең жактуу үч бурчтуктан турат, алардын ар бир чокусунда бирдей сандагы беттер, тактап айтканда 4.
- Октаэдрдин бардык беттери бирдей болгондуктан, анын интерфейс бурчтары да бирдей, алардын ар бири 60ка барабар жана чокулардын каалаганынын тегиз бурчтарынын суммасы 240ка барабар.
Додекаэдр
Эгерде биз геометриялык дененин бардык беттери нормалдуу беш бурчтук деп элестетсек, анда додекаэдр алабыз -12 көп бурчтуктун көрсөткүчү.
Додекаэдрдин касиеттери:
- Ар бир чокуда үч бет кесилишет.
- Бардык жүздөр бирдей жана четтеринин узундугу жана аянты бирдей.
- Додекаэдрдин 15 огу жана симметрия тегиздиги бар жана алардын кайсынысы болбосун беттин чокусу менен карама-каршы четинин ортосунан өтөт.
Икосаэдр
Додекаэдрден кем эмес кызыктуу, икосаэдрдин фигурасы 20 бирдей бети бар үч өлчөмдүү геометриялык дене. Кадимки жыйырма адрондун касиеттеринин арасында төмөнкүлөрдү белгилесе болот:
- Икосаэдрдин бардык беттери теӊ бурчтуу үч бурчтуктар.
- Беш бет көп кырдуу ар бир чокусуна жакындайт жана чокусунун чектеш бурчтарынын суммасы 300гө барабар.
- Икосаэдр, додекаэдр сыяктуу, карама-каршы беттердин ортоңку чекиттери аркылуу өткөн 15 огу жана симметрия тегиздиги бар.
Жарым нормалдуу көп бурчтуктар
Платондук катуу заттардан тышкары, томпок көп кырдуулар тобуна ошондой эле кесилген нормалдуу көп кырдуулар болгон архимеддик катуу заттар кирет. Бул топтун көп кырдуу түрлөрү төмөнкү касиеттерге ээ:
- Геометриялык телолордун бир нече түрдөгү экиден бирдей беттери бар, мисалы, кесилген тетраэдрдин кадимки тетраэдр сыяктуу 8 бети бар, бирок архимеддик катуу заттын учурда 4 бети үч бурчтуу, 4ү алты бурчтуу болот.
- Бир чокунун бардык бурчтары туура келет.
Жылдыздуу көп жүздүү
Геометриялык денелердин көлөмдүү эмес түрлөрүнүн өкүлдөрү беттери бири-бири менен кесилишкен жылдыздуу көп кырдуулар. Аларды эки кадимки 3D катуу затты бириктирүү же алардын беттерин узартуу аркылуу түзсө болот.
Ошентип, мындай жылдыздуу көп кырдуулар: октаэдрдин, додекаэдрдин, икосаэдрдин, кубоктаэдрдин, икосододекаэдрдин жылдыздуу формалары деп аталат.
