Фурье катарлары – катар катары белгилүү бир мезгили менен каалагандай алынган функциянын көрүнүшү. Жалпысынан алганда, бул чечим ортогоналдык негизде элементтин ажыроосу деп аталат. Фурье катарындагы функциялардын кеңейиши аргументтеги жана конволюциядагы туюнтманы интеграциялоодо, дифференциялоодо, ошондой эле жылдырууда бул трансформациянын касиеттеринен улам ар кандай маселелерди чечүү үчүн кыйла күчтүү курал болуп саналат.
Жогорку математиканы, ошондой эле француз окумуштуусу Фурьенин эмгектерин жакшы билбеген адам бул «катарлардын» эмне экенин жана алар эмне үчүн экенин түшүнбөй калышы мүмкүн. Ошол эле учурда, бул өзгөрүү биздин жашообузда абдан тыгыз болуп калды. Аны математиктер гана эмес, физиктер, химиктер, дарыгерлер, астрономдор, сейсмологдор, океанографтар жана башка көптөгөн адамдар колдонушат. Келгиле, өз доорунан мурда ачылыш жасаган улуу француз окумуштуусунун эмгектерин тереңирээк карап чыгалы.
Адам жана Фурье трансформациясы
Фурье катарлары Фурье трансформациясынын ыкмаларынын бири (талдоо жана башкалар менен бирге). Бул процесс адам үндү уккан сайын пайда болот. Биздин кулагыбыз үндү автоматтык түрдө өзгөртөттолкундар. Эластикалык чөйрөдөгү элементардык бөлүкчөлөрдүн термелүү кыймылдары ар түрдүү бийиктиктеги тондор үчүн үн деңгээлинин ырааттуу маанилеринин катарларына (спектр боюнча) ажырайт. Андан кийин мээ бул маалыматтарды бизге тааныш үнгө айлантат. Мунун баары биздин каалообуздан же аң-сезимибизден тышкары өзүнөн-өзү болот, бирок бул процесстерди түшүнүү үчүн жогорку математиканы изилдөөгө бир нече жыл керектелет.
Фурье трансформациясы жөнүндө көбүрөөк маалымат
Фурье трансформациясы аналитикалык, сандык жана башка ыкмалар менен жүргүзүлүшү мүмкүн. Фурье катарлары ар кандай термелүү процесстерин - океандын толкундарынан жана жарык толкундарынан баштап күндүн (жана башка астрономиялык объектилердин) активдүүлүгүнүн циклдерине чейин ыдыратуунун сандык жолун билдирет. Бул математикалык ыкмаларды колдонуу менен ар кандай термелүүчү процесстерди минимумдан максимумга жана тескерисинче өтүүчү синусоидалык компоненттердин сериясы катары чагылдырган функцияларды анализдөөгө болот. Фурье трансформациясы – белгилүү бир жыштыкка туура келген синусоиддердин фазасын жана амплитудасын сүрөттөгөн функция. Бул процессти жылуулук, жарык же электр энергиясынын таасири астында пайда болгон динамикалык процесстерди сүрөттөгөн өтө татаал теңдемелерди чечүү үчүн колдонсо болот. Ошондой эле Фурье катарлары татаал термелүү сигналдарындагы туруктуу компоненттерди бөлүп алууга мүмкүндүк берет, бул медицинада, химияда жана астрономияда алынган эксперименттик байкоолорду туура чечмелөөгө мүмкүндүк берди.
Тарыхый маалымат
Бул теориянын негиздөөчүсүЖан Батист Жозеф Фурье - француз математики. Бул трансформация кийин анын аты менен аталган. Алгач илимпоз жылуулук өткөрүмдүүлүк механизмдерин изилдөө жана түшүндүрүү үчүн өзүнүн ыкмасын колдонгон - катуу заттарда жылуулуктун таралышы. Фурье жылуулук толкунунун алгачкы иретсиз бөлүштүрүлүшүн эң жөнөкөй синусоиддерге ажыратуу мүмкүн экенин, алардын ар бири өзүнүн минималдуу температурасына жана максимумуна, ошондой эле өзүнүн фазасына ээ болот деп сунуштады. Бул учурда, ар бир мындай компонент минималдуу максималдуу жана тескерисинче өлчөнөт. Ийри сызыктын жогорку жана төмөнкү чокуларын, ошондой эле гармоникалыктардын ар биринин фазасын сүрөттөгөн математикалык функция температуранын бөлүштүрүлүшүнүн Фурье трансформациясы деп аталат. Теориянын автору математикалык жактан сыпаттоо кыйын болгон жалпы бөлүштүрүү функциясын баштапкы бөлүштүрүүгө кошулган мезгилдүү косинус жана синус функциялардын өтө оңой колго алынган сериясына түшүргөн.
Трансформация принциби жана замандаштардын көз караштары
Окумуштуунун замандаштары – XIX кылымдын башындагы алдыңкы математиктер бул теорияны кабыл алышкан эмес. Негизги каршылык Фурьенин түз сызыкты же үзгүлтүксүз ийри сызыкты сүрөттөгөн үзгүлтүксүз функция үзгүлтүксүз синусоидалык туюнтмалардын суммасы катары берилиши мүмкүн деген ырастоосу болду. Мисал катары, Heaviside "кадамын" карап көрөлү: анын мааниси боштуктун сол жагында нөлгө барабар жана оң жагында бир. Бул функция чынжыр жабылганда электр тогунун убакыт өзгөрмөсүнө көз карандылыгын сүрөттөйт. Ошол кездеги теориянын замандаштары мындайды эч качан жолуктурган эмесүзгүлтүксүз туюнтма экспоненциалдык, синусоиддик, сызыктуу же квадраттык сыяктуу үзгүлтүксүз, кадимки функциялардын айкалышы менен сүрөттөлгөн кырдаал.
Француз математиктерин Фурье теориясында эмне чаташтырган?
Анткени, эгер математик өзүнүн айткандарында туура болсо, анда чексиз тригонометриялык Фурье сериясын жыйынтыктап, кадам туюнтмасынын так сүрөттөлүшүн анын окшош кадамдары көп болсо да ала аласыз. Он тогузунчу кылымдын башында мындай билдирүү абсурддай көрүнгөн. Бирок бардык шектенүүлөргө карабастан, көптөгөн математиктер бул кубулушту изилдөөнүн чөйрөсүн кеңейтип, аны жылуулук өткөргүчтүктү изилдөөнүн алкагынан чыгарышты. Бирок, көпчүлүк илимпоздор: "Синусоидалдык катардын суммасы үзгүлтүксүз функциянын так маанисине жакындай алабы?"
деген суроонун үстүнөн кыйнала беришкен.
Фурье катарларынын конвергенциясы: мисал
Сандардын чексиз катарларын жыйынтыктоо зарыл болгон сайын конвергенция маселеси көтөрүлөт. Бул көрүнүштү түшүнүү үчүн, классикалык мисалды карап көрөлү. Ар бир кийинки кадам мурунку кадамдын жарымына барабар болсо, сиз дубалга жете аласызбы? Максатка эки метр калдыңыз дейли, биринчи кадам сизди жарым жолго, кийинки кадам төрттөн үч белгиге жакындатат жана бешинчиден кийин жолдун дээрлик 97 пайызын басып өтөсүз. Бирок, сиз канча кадам таштабаңыз, сиз катуу математикалык мааниде көздөгөн максатка жете албайсыз. Сандык эсептөөлөрдү колдонуу менен, акыры кимдир бирөө каалагандай жакындай аларын далилдей алат.кичинекей көрсөтүлгөн аралык. Бул далил бир жарым, төрттөн бир, ж.б. сумманын мааниси бирге тенденциясын көрсөтүүгө барабар.
Конвергенция маселеси: Экинчи Келүү же Лорд Келвиндин аппараты
Бул суроо он тогузунчу кылымдын аягында көтөрүлүп, Фурье катарлары агымдын интенсивдүүлүгүн болжолдоо үчүн колдонулууга аракет кылынган. Бул учурда, Лорд Келвин аскердик жана соода флотунун матросторуна бул табигый кубулушту байкоого мүмкүндүк берген аналогдук эсептөөчү аппаратты ойлоп тапкан. Бул механизм фазалардын жана амплитудалардын жыйындысын жыл ичинде берилген портто кылдаттык менен ченеген толкундун бийиктигинин таблицасынан жана алардын тиешелүү убакыт моменттерин аныктаган. Ар бир параметр суунун бийиктигин көрсөтүүнүн синусоидалдык компоненти болгон жана үзгүлтүксүз компоненттердин бири болгон. Ченөөлөрдүн натыйжалары лорд Келвиндин калькуляторуна киргизилип, ал суунун бийиктигин келерки жыл үчүн убакыттын функциясы катары алдын ала айткан ийри сызыкты синтездеген. Көп өтпөй дүйнөнүн бардык порттору үчүн окшош ийри сызыктар түзүлдү.
Эгер процесс үзгүлтүксүз функция менен бузулса?
Ошол учурда көп сандаган саноочу элементтери бар толкундуу толкунду алдын ала айтуучу көп сандагы фазаларды жана амплитудаларды эсептеп, ошентип так болжолдоолорду бере алары айдан ачык көрүнгөн. Ошого карабастан, бул закон ченемдүүлүк андан кийинки толкундун туюнтмасы болгон учурларда байкалбайт экенсинтездешти, курч секирүүнү камтыды, башкача айтканда, үзгүлтүксүз болду. Убакыт моменттеринин таблицасынан аппаратка маалыматтар киргизилген учурда, ал бир нече Фурье коэффициенттерин эсептейт. Синусоиддик компоненттердин аркасында баштапкы функция калыбына келтирилет (табылган коэффициенттерге ылайык). Түпнуска менен калыбына келтирилген сөз айкашынын ортосундагы айырмачылыкты каалаган учурда өлчөөгө болот. Кайталап эсептөөлөрдү жана салыштырууларды жүргүзүүдө эң чоң катанын мааниси азайбай турганын көрүүгө болот. Бирок, алар үзгүлтүккө учураган аймакта локалдашкан жана башка учурда нөлгө жакын. 1899-жылы бул жыйынтык Йел университетинен Джошуа Виллард Гиббс тарабынан теориялык жактан тастыкталган.
Фурье катарларынын конвергенциясы жана жалпысынан математиканын өнүгүшү
Фурье анализи белгилүү бир интервалда чексиз сандагы жарылууларды камтыган туюнтмалар үчүн колдонулбайт. Жалпысынан Фурье катарлары, эгерде баштапкы функция реалдуу физикалык өлчөөнүн натыйжасы болсо, ар дайым жакындайт. Функциялардын конкреттүү класстары үчүн бул процесстин жакындашынын маселелери математикада жаңы бөлүмдөрдүн, мисалы, жалпыланган функциялар теориясынын пайда болушуна алып келди. Л. Шварц, Дж. Микусинский жана Дж. Темпл сыяктуу ысымдар менен байланышкан. Бул теориянын алкагында Дирак дельтасынын функциясы (ал чекиттин чексиз кичинекей конушунда топтолгон бир аймактын аймагын сүрөттөйт) жана Хевсайд сыяктуу туюнтмалар үчүн так жана так теориялык негиз түзүлгөн. кадам . Бул иштин аркасында Фурье сериясы колдонула баштадыинтуитивдик түшүнүктөрдү камтыган теңдемелерди жана маселелерди чечүү: чекиттик заряд, чекиттик масса, магниттик диполдор, ошондой эле нурга топтолгон жүк.
Фурье ыкмасы
Фурье катарлары интерференция принциптерине ылайык татаал формаларды жөнөкөй формаларга ажыратуу менен башталат. Мисалы, жылуулук агымынын өзгөрүшү анын туура эмес формадагы жылуулук өткөрүүчү материалдан жасалган ар кандай тоскоолдуктардан өтүшү же жер бетинин өзгөрүшү – жер титирөө, асман телолорунун орбитасынын өзгөрүшү – анын таасири менен түшүндүрүлөт. планеталар. Эреже катары, жөнөкөй классикалык системаларды сүрөттөгөн окшош теңдеме ар бир жеке толкун үчүн элементардык түрдө чечилет. Фурье жөнөкөй чечимдер дагы татаал маселелердин чечимдерин берүү үчүн жыйынтыкталышы мүмкүн экенин көрсөттү. Математика тилинде Фурье катарлары – бул туюнтукту гармоника – косинус жана синусоиддердин суммасы катары көрсөтүү ыкмасы. Ошондуктан, бул анализ "гармоникалык анализ" деп да белгилүү.
Фурье сериясы - "компьютер дооруна" чейинки идеалдуу техника
Компьютердик технология жаралганга чейин Фурье техникасы биздин дүйнөнүн толкундуу жаратылышы менен иштөөдө илимпоздордун арсеналындагы эң мыкты курал болгон. Татаал формадагы Фурье катарлары Ньютон механикасынын мыйзамдарына түздөн-түз колдонула турган жөнөкөй маселелерди гана эмес, фундаменталдык теңдемелерди да чечүүгө мүмкүндүк берет. Он тогузунчу кылымда Ньютон илиминин ачылыштарынын көбү Фурьенин техникасы аркылуу гана мүмкүн болгон.
Фурье сериясы бүгүн
Фурье трансформациялоочу компьютерлеринин өнүгүшү менентолугу менен жаңы деңгээлге көтөрүлгөн. Бул техника илим менен техниканын дээрлик бардык тармактарында бекем орношкон. Мисал санариптик аудио жана видео сигнал болуп саналат. Аны ишке ашыруу он тогузунчу кылымдын башында француз математиги тарабынан иштелип чыккан теориянын аркасында гана мүмкүн болду. Ошентип, Фурье сериясы татаал формада космос мейкиндигин изилдөөдө ачылыш жасоого мүмкүндүк берди. Мындан тышкары, ал жарым өткөргүч материалдардын жана плазманын физикасын, микротолкундуу акустиканы, океанографияны, радарды, сейсмологияны изилдөөгө таасирин тийгизген.
Тригонометриялык Фурье сериясы
Математикада Фурье катарлары – бул ыктыярдуу татаал функцияларды жөнөкөйлөрдүн суммасы катары көрсөтүү жолу. Жалпы учурларда, мындай туюнтмалардын саны чексиз болушу мүмкүн. Анын үстүнө, эсептөөдө алардын саны канчалык көп эске алынса, акыркы жыйынтык ошончолук так болот. Көбүнчө косинустун же синустун тригонометриялык функциялары эң жөнөкөйлөр катары колдонулат. Бул учурда Фурье катарлары тригонометриялык, ал эми мындай туюнтмалардын чечилиши гармониянын кеңейиши деп аталат. Бул ыкма математикада маанилүү роль ойнойт. Биринчиден, тригонометриялык катар сүрөттөлүш үчүн каражатты, ошондой эле функцияларды изилдөөнү камсыз кылат, ал теориянын негизги аппараты болуп саналат. Мындан тышкары, математикалык физиканын бир катар маселелерин чечүүгө мүмкүнчүлүк берет. Акырында, бул теория математикалык анализдин өнүгүшүнө салым кошкон, математика илиминин бир катар абдан маанилүү бөлүмдөрүн (интегралдар теориясы, мезгилдик функциялар теориясы) пайда кылган. Мындан тышкары, ал төмөнкү теорияларды иштеп чыгуу үчүн баштапкы чекит катары кызмат кылган: көптүктөр, функцияларреалдуу өзгөрмө, функционалдык анализ, ошондой эле гармоникалык анализдин негизин түзгөн.
