Фурье трансформациясы – бул кандайдыр бир реалдуу өзгөрмөнүн функцияларын салыштыруучу трансформация. Бул операция биз ар кандай үндөрдү кабыл алган сайын жасалат. Биздин аң-сезимибиз жогорку математиканын тиешелүү бөлүмүн окугандан кийин гана аткара ала турган автоматтык «эсептөөнү» кулак аткарат. Адамдын угуу органы трансформацияны курат, анын натыйжасында үн (катуу, суюк же газ түрүндөгү чөйрөдө толкун түрүндө таралуучу серпилгич чөйрөдөгү шарттуу бөлүкчөлөрдүн термелүү кыймылы) удаалаш маанилердин спектри түрүндө камсыз кылынат. ар кандай бийиктиктеги тондордун үн деңгээлинин. Андан кийин мээ бул маалыматты баарына тааныш үнгө айлантат.
Математикалык Фурье трансформациясы
Үн толкундарын же башка термелүү процесстерин (жарык радиациясынан жана океандын толкунунан жылдыздардын же күндүн активдүүлүгүнүн циклдерине чейин) трансформациялоо да математикалык ыкмалар менен жүргүзүлүшү мүмкүн. Ошентип, бул ыкмаларды колдонуу менен термелүү процесстерин синусоидалдык компоненттердин жыйындысы катары көрсөтүү менен функцияларды ажыратууга болот, башкача айтканда, толкундуу ийри сызыктар.деңиз толкуну сыяктуу төмөндөн бийикке, анан кайра төмөнгө өтүү. Фурье трансформациясы - функциясы белгилүү бир жыштыкка туура келген ар бир синусоиддин фазасын же амплитудасын сүрөттөгөн трансформация. Фаза ийри сызыктын баштапкы чекити, ал эми амплитудасы - анын бийиктиги.
Фурье трансформациясы (мисалдар сүрөттө көрсөтүлгөн) илимдин ар кандай тармактарында колдонулган абдан күчтүү курал. Кээ бир учурларда ал жарыктын, жылуулуктун же электрдик энергиянын таасири астында пайда болгон динамикалык процесстерди сүрөттөгөн өтө татаал теңдемелерди чечүүнүн каражаты катары колдонулат. Башка учурларда, ал татаал термелүү сигналдарындагы регулярдуу компоненттерди аныктоого мүмкүндүк берет, анын аркасында химия, медицина жана астрономиядагы ар кандай эксперименттик байкоолорду туура чечмелей аласыз.
Тарыхый маалымат
Бул ыкманы биринчи жолу колдонгон француз математиги Жан Батист Фурье болгон. Кийинчерээк анын атынан аталган трансформация алгач жылуулук өткөрүү механизмин сүрөттөө үчүн колдонулган. Фурье бүт бойго жеткен жашоосун жылуулуктун касиеттерин изилдөөгө арнаган. Ал алгебралык теңдемелердин тамырларын аныктоонун математикалык теориясына эбегейсиз салым кошкон. Фурье политехникалык окуу жайынын анализ профессору, египетология институтунун катчысы, императордук кызматта болгон, ал Туринге баруучу жолду курууда өзгөчөлөнгөн (анын жетекчилиги астында 80 миң чарчы километрден ашык безгексаздар). Бирок, бул жигердүү аракеттин баары окумуштууга математикалык анализ жасоого тоскоол болгон эмес. 1802-жылы катуу денелерде жылуулуктун таралышын сүрөттөгөн теңдемени чыгарган. 1807-жылы окумуштуу бул теңдемени чечүүнүн ыкмасын ачкан, ал "Фурье трансформациясы" деп аталган.
Жылуулук өткөргүчтүктү талдоо
Окумуштуу жылуулук өткөрүмдүүлүк механизмин сүрөттөө үчүн математикалык ыкманы колдонгон. Эсептөөдө эч кандай кыйынчылыктар болбогон ыңгайлуу мисал - оттун бир бөлүгүнө чөмүлгөн темир шакекче аркылуу жылуулук энергиясынын таралышы. Тажрыйбаларды жүргүзүү үчүн Фурье бул шакектин бир бөлүгүн кызарып ысытып, майда кумга көмгөн. Андан кийин анын карама-каршы жагында температураны өлчөөчү. Адегенде жылуулуктун бөлүштүрүлүшү туура эмес: шакекченин бир бөлүгү муздак, экинчиси ысык, бул зоналардын ортосунда кескин температура градиенти байкалат. Бирок металлдын бүткүл бетине жылуулуктун таралуу процессинде ал бир калыпта болот. Ошентип, көп өтпөй бул процесс синусоид формасына өтөт. Адегенде график косинус же синус функциясынын өзгөрүү мыйзамдарына ылайык бир калыпта өсөт, ошондой эле жылмакай төмөндөйт. Толкун акырындык менен төмөндөйт жана натыйжада температура шакекченин бүтүндөй бетинде бирдей болуп калат.
Бул методдун автору алгачкы иретсиз бөлүштүрүүнү бир катар элементардык синусоиддерге ажыратуу мүмкүндүгүн сунуш кылган. Алардын ар бири өз фазасына (баштапкы абалы) жана өзүнүн температурасына ээ болотмаксимум. Мындан тышкары, ар бир мындай компонент минимумдан максимумга чейин өзгөрөт жана шакекченин айланасында бүтүн санда бир нече жолу айланууда. Бир мезгили бар компонент негизги гармоникалык деп аталат, ал эми эки же андан көп мезгили бар чоңдук экинчи ж.б. Ошентип, температуранын максимумун, фазасын же абалын сүрөттөгөн математикалык функция бөлүштүрүү функциясынын Фурье трансформациясы деп аталат. Окумуштуу математикалык жактан сыпаттоо кыйын болгон бир гана компонентти колдонууга оңой куралга - косинус жана синус катарларына кыскартты, алар баштапкы бөлүштүрүүнү берет.
Анализдин маңызы
Бул анализди шакекче формадагы катуу объект аркылуу жылуулуктун таралышынын трансформациясына колдонуу менен математик синусоидалдык компоненттин периоддорун көбөйтүү анын тез бузулушуна алып келет деп негиздеген. Бул фундаменталдык жана экинчи гармоникада ачык көрүнүп турат. Акыркы учурда температура максималдуу жана минималдуу маанилерге бир өтүүдө эки жолу жетет, ал эми биринчисинде бир гана жолу. Экинчи гармоникада жылуулук басып өткөн аралык фундаменталдуудагынын жарымы болот экен. Мындан тышкары, экинчисинде градиент биринчисине караганда эки эсе тик болот. Демек, көбүрөөк интенсивдүү жылуулук агымы эки эсе кыска аралыкты басып өткөндүктөн, бул гармоникалык убакыттын функциясы катары негизгиге караганда төрт эсе тез чирийт. Келечекте бул процесс дагы тезирээк болот. Математик бул ыкма убакыттын өтүшү менен температуранын алгачкы бөлүштүрүлүшү процессин эсептөөгө мүмкүндүк берет деп эсептеген.
Замандаштарга чакырык
Фурье трансформациялоо алгоритми ошол кездеги математиканын теориялык негиздерин талашкан. Он тогузунчу кылымдын башында, Лагранж, Лаплас, Пуассон, Леджендре жана Биот сыяктуу көрүнүктүү илимпоздордун көбү анын температуранын баштапкы бөлүштүрүлүшү фундаменталдуу гармоникалык жана жогорку жыштыктар түрүндөгү компоненттерге ажырайт деген пикирин кабыл алышкан эмес. Бирок Илимдер Академиясы математиктин алган натыйжаларын көз жаздымда калтыра албай, ага жылуулук өткөрүмдүүлүк мыйзамдарынын теориясы, ошондой эле физикалык эксперименттер менен салыштырылганы үчүн сыйлык берген. Фурьенин мамилесинде негизги каршылык үзгүлтүксүз функциянын үзгүлтүксүз болгон бир нече синусоидалдык функциялардын суммасы менен көрсөтүлүшү болгон. Анткени, алар үзүлгөн түз жана ийри сызыктарды сүрөттөйт. Үзгүлтүксүз функциялар квадраттык, сызыктуу, синусоиддик же экспоненциалдык сыяктуу үзгүлтүксүз функциялардын айкалышы аркылуу сүрөттөлгөн окшош жагдайды окумуштуунун замандаштары эч качан жолуктурган эмес. Математик өзүнүн айткандары туура болсо, анда тригонометриялык функциянын чексиз катарларынын суммасын так баскычтуу бирге чейин кыскартуу керек. Ал кезде мындай билдирүү абсурддай көрүнгөн. Бирок, шектенүүлөргө карабастан, кээ бир изилдөөчүлөр (мисалы, Клод Навиер, Софи Жермен) изилдөөлөрдүн көлөмүн кеңейтип, аларды жылуулук энергиясынын бөлүштүрүлүшүн талдоодон тышкары алып кетишкен. Ошол эле учурда математиктер бир нече синусоидалдык функциялардын суммасын үзгүлтүксүз функциянын так чагылдырылышына чейин кыскартууга болобу деген суроо менен күрөшүүнү уланта беришти.
200 жаштатарых
Бул теория эки кылымдан бери өнүгүп, бүгүнкү күндө биротоло калыптанды. Анын жардамы менен мейкиндик же убактылуу функциялар өзүнүн жыштыгына, фазасына жана амплитудасына ээ болгон синусоидалдык компоненттерге бөлүнөт. Бул өзгөртүү эки башка математикалык ыкма менен алынат. Алардын биринчиси баштапкы функция үзгүлтүксүз болгондо, экинчиси - дискреттик жеке өзгөрүүлөрдүн жыйындысы менен берилгенде колдонулат. Эгерде туюнтма дискреттик интервалдар менен аныкталган маанилерден алынса, анда аны дискреттик жыштыктары бар бир нече синусоидалдык туюнтмаларга бөлүүгө болот - эң төмөнкүдөн баштап, андан кийин эки, үч эсе жана андан жогору. Мындай сумма Фурье сериясы деп аталат. Эгерде баштапкы туюнтмага ар бир реалдуу сан үчүн маани берилсе, анда ал бардык мүмкүн болгон жыштыктардын бир нече синусоидаларына ажыратылышы мүмкүн. Ал көбүнчө Фурье интегралы деп аталат жана чечим функциянын интегралдык трансформацияларын билдирет. Конверсия кандайча алынганына карабастан, ар бир жыштык үчүн эки сан көрсөтүлүшү керек: амплитуда жана жыштык. Бул баалуулуктар бирдиктүү комплекстүү сан катары көрсөтүлөт. Татаал өзгөрмөлөрдүн туюнтма теориясы Фурье трансформациясы менен бирдикте ар кандай электр чынжырларын долбоорлоодо, механикалык термелүүлөрдү талдоодо, толкундун таралуу механизмин изилдөөдө жана башкаларда эсептөөлөрдү жүргүзүүгө мүмкүндүк берди.
Fourier Transform Today
Бүгүнкү күндө бул процессти изилдөө негизинен эффективдүү табууга чейин кыскардыфункциядан анын трансформацияланган формасына өтүү ыкмалары жана тескерисинче. Бул чечим түз жана тескери Фурье трансформациясы деп аталат. Бул эмнени билдирет? Интегралды аныктоо жана Фурьенин түз трансформациясын алуу үчүн математикалык же аналитикалык ыкмаларды колдонсо болот. Аларды практикада колдонууда белгилүү бир кыйынчылыктар пайда болгонуна карабастан, интегралдардын көбү табылып, математикалык маалымдамаларга киргизилген. Формасы эксперименталдык маалыматтарга негизделген туюнтмаларды же интегралдары таблицаларда жок жана аналитикалык түрдө көрсөтүү кыйын функцияларды эсептөө үчүн сандык ыкмаларды колдонсо болот.
Компьютерлер пайда болгонго чейин мындай кайра түзүүлөрдүн эсептөөлөрү өтө түйшүктүү болгон, алар толкун функциясын сүрөттөгөн чекиттердин санына жараша болгон көп сандагы арифметикалык операцияларды кол менен аткарууну талап кылган. Эсептөөлөрдү жеңилдетүү үчүн, бүгүнкү күндө жаңы аналитикалык ыкмаларды ишке ашырууга мүмкүндүк берген атайын программалар бар. Ошентип, 1965-жылы Джеймс Кули жана Джон Тюки программалык камсыздоону түзүшкөн, ал "Фаст Фурье трансформациясы" деп аталып калган. Ал ийри сызыкты талдоодо көбөйтүүнүн санын кыскартуу менен эсептөөлөр үчүн убакытты үнөмдөөгө мүмкүндүк берет. Тез Фурье трансформациялоо ыкмасы ийри сызыкты көп сандагы бирдиктүү үлгү маанилерине бөлүүгө негизделген. Демек, упайлардын санынын бирдей азайышы менен көбөйтүүлөрдүн саны эки эсеге кыскарат.
Фурье трансформациясын колдонуу
Булпроцесс илимдин түрдүү тармактарында колдонулат: сандар теориясында, физикада, сигналдарды иштетүүдө, комбинаторикада, ыктымалдуулук теориясында, криптографияда, статистикада, океанологияда, оптикада, акустикада, геометрияда жана башкалар. Аны колдонуунун бай мүмкүнчүлүктөрү «Фурье трансформациясынын касиеттери» деп аталган бир катар пайдалуу функцияларга негизделген. Аларды карап көрүңүз.
1. Функциянын трансформациясы сызыктуу оператор болуп саналат жана тиешелүү нормалдаштыруу менен унитардык. Бул касиет Парсевалдын теоремасы же жалпысынан Планхерел теоремасы же Понтрягиндин дуализми катары белгилүү.
2. Трансформация кайра кайтарылат. Андан тышкары, тескери натыйжа түз чечимдегидей эле формага ээ.
3. Синусоидалдык базалык туюнтмалар – өз алдынча дифференцияланган функциялар. Бул мындай көрсөтүү туруктуу коэффициенттүү сызыктуу теңдемелерди кадимки алгебралык теңдемелерге өзгөртөт дегенди билдирет.
4. "Айлануу" теоремасы боюнча, бул процесс татаал операцияны элементардык көбөйтүүгө айлантат.
5. Дискреттик Фурье трансформациясын компьютерде "тез" ыкмасын колдонуу менен тез эсептесе болот.
Фурье трансформациясынын түрлөрү
1. Көбүнчө бул термин белгилүү бир бурчтук жыштыктары жана амплитудалары бар комплекстүү экспоненциалдык туюнтмалардын суммасы катары каалаган квадрат-интегралдык туюнтманы камсыз кылган үзгүлтүксүз трансформацияны белгилөө үчүн колдонулат. Бул түрдүн бир нече түрдүү формалары бар, алар мүмкүнтуруктуу коэффициенттери менен айырмаланат. Үзгүлтүксүз ыкма математикалык маалымдама китептеринен тапса болот конверсия таблицасын камтыйт. Жалпыланган учур – бул бөлчөк трансформация, анын жардамы менен берилген процессти керектүү реалдуу күчкө чейин көтөрүүгө болот.
2. Үзгүлтүксүз режим - бул чектелген аймакта бар болгон ар кандай мезгилдик функциялар же туюнтмалар үчүн аныкталган жана аларды синусоиддердин сериясы катары көрсөткөн Фурье катарларынын алгачкы техникасынын жалпылоосу.
3. Дискреттик Фурье трансформациясы. Бул ыкма компьютердик технологияда илимий эсептөөлөр жана цифралык сигналдарды иштетүү үчүн колдонулат. Эсептөөнүн бул түрүн жүргүзүү үчүн үзгүлтүксүз Фурье интегралдарынын ордуна жеке чекиттерди, мезгилдүү же чектелген аймактарды дискреттик көптүктө аныктоочу функциялардын болушу талап кылынат. Бул учурда сигналдын трансформациясы синусоиддердин суммасы катары көрсөтүлөт. Ошол эле учурда “тез” ыкманы колдонуу ар кандай практикалык көйгөйлөргө дискреттик чечимдерди колдонууга мүмкүндүк берет.
4. Терезелүү Фурье трансформациясы классикалык методдун жалпыланган формасы болуп саналат. Стандарттуу чечимден айырмаланып, берилген өзгөрмөнүн бар болушунун толук диапазонунда кабыл алынган сигнал спектри колдонулганда, бул жерде баштапкы өзгөрмө (убакыт) сакталган шартта, жергиликтүү жыштык бөлүштүрүү гана өзгөчө кызыгууну туудурат..
5. Эки өлчөмдүү Фурье трансформациясы. Бул ыкма эки өлчөмдүү маалымат массивдери менен иштөө үчүн колдонулат. Бул учурда, адегенде трансформация бир багытта, андан кийин ишке ашырылатбашка.
Тыянак
Бүгүнкү күндө Фурье ыкмасы илимдин түрдүү тармактарында бекем орнотулган. Мисалы, 1962-жылы ДНКнын кош спираль формасы Фурье анализин рентген нурларынын дифракциясы менен айкалыштыруу менен ачылган. Акыркылары ДНК жипчелеринин кристаллдарына багытталган, натыйжада нурлануунун дифракциясы менен алынган сүрөт пленкага түшүрүлгөн. Бул сүрөт берилген кристаллдык структурага Фурье трансформациясын колдонууда амплитуданын мааниси жөнүндө маалымат берген. Фазалык маалыматтар ДНКнын дифракциялык картасын окшош химиялык структуралардын анализинен алынган карталар менен салыштыруу жолу менен алынган. Натыйжада, биологдор кристалл түзүлүшүн - баштапкы функцияны калыбына келтиришти.
Фурье трансформациялары космос, жарым өткөргүч жана плазма физикасын, микротолкундуу акустиканы, океанографияны, радарды, сейсмологияны жана медициналык изилдөөлөрдү изилдөөдө чоң роль ойнойт.
