Пирамиданын эки жүздүү бурчтары жана аларды эсептөө ыкмасы

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2024-01-02 17:51

Кандайдыр бир пирамиданын типтүү сызыктуу параметрлери бул анын негизинин капталдарынын узундугу, бийиктиги, каптал четтери жана апотемдер. Ошентсе да, белгиленген параметрлер менен байланышкан дагы бир өзгөчөлүгү бар - бул эки тараптуу бурч. Бул эмне экенин жана аны кантип тапса болорун макалада карап көрүңүз.

Мейкиндик фигуралык пирамида

Ар бир студент "пирамида" деген сөздү укканда эмне коркунучта экенин жакшы түшүнөт. Аны геометриялык түрдө төмөнкүчө курууга болот: белгилүү бир көп бурчтукту тандап, андан соң мейкиндиктеги чекитти бекитип, аны көп бурчтуктун ар бир бурчуна туташтырыңыз. Натыйжада үч өлчөмдүү фигура ыктыярдуу түрдөгү пирамида болот. Аны түзгөн көп бурчтук негиз деп аталат, ал эми анын бардык бурчтары кошулган чекит фигуранын чокусу болуп саналат. Төмөнкү сүрөттө беш бурчтуу пирамида схемалык түрдө көрсөтүлгөн.

Анын бети беш бурчтуктан гана эмес, беш үч бурчтуктан да түзүлгөнүн көрүүгө болот. Жалпысынан алганда, бул үч бурчтуктардын саны санына барабар болоткөп бурчтуу негиздин тараптары.

Фигуранын эки тараптуу бурчтары

Тегиздикте геометриялык маселелер каралып жатканда, каалаган бурч кесилишкен эки түз сызык же кесинди аркылуу түзүлөт. Мейкиндикте эки тегиздиктин кесилишинен пайда болгон бул сызыктуу бурчтарга эки тараптуу бурчтар кошулат.

Эгер мейкиндиктеги бурчтун белгиленген аныктамасы каралып жаткан фигурага колдонулса, анда эки тараптуу бурчтун эки түрү бар деп айта алабыз:

• Пирамиданын түбүндө. Ал негиздин тегиздигинен жана кайсы бир каптал бетинен (үч бурчтук) түзүлөт. Бул пирамиданын негизги бурчтары n экенин билдирет, мында n көп бурчтуктун капталдарынын саны.
• Караптардын ортосунда (үч бурчтуктар). Бул эки жактуу бурчтардын саны да n даана.

Эскертүү бурчтарынын биринчи түрү негиздин четтерине, экинчи түрү каптал четтерине курулат.

Пирамиданын бурчтарын кантип эсептөө керек?

Эки жактуу бурчтун сызыктуу бурчу акыркысынын өлчөмү. Аны эсептөө оңой эмес, анткени пирамиданын беттери призманын беттеринен айырмаланып, жалпы учурда туура бурчта кесилишпейт. Жалпы формадагы тегиздиктин теңдемелерин колдонуу менен эки тараптуу бурчтардын маанилерин эсептөө эң ишенимдүү.

Үч өлчөмдүү мейкиндикте тегиздик төмөнкү туюнтма менен берилет:

Ax + By + Cz + D=0

Мында A, B, C, D кээ бир реалдуу сандар. Бул теңдеменин ыңгайлуулугу биринчи белгиленген үч сан вектордун координаттары,берилген тегиздикке перпендикуляр, б.а.:

n¯=[A; B; C]

Эгер тегиздикке тиешелүү үч чекиттин координаталары белгилүү болсо, анда бул чекиттерге курулган эки вектордун вектордук көбөйтүндүсүн алуу менен n¯ координатасын алууга болот. n¯ вектору учактын жетектөөчүсү деп аталат.

Аныктама боюнча эки тегиздиктин кесилишинен пайда болгон эки тараптуу бурч алардын багыт векторлорунун ортосундагы сызыктуу бурчка барабар. Бизде нормалдуу векторлору барабар болгон эки тегиздик бар дейли:

₁¯=[A₁; B₁; C₁];

₂¯=[A₂; B₂; C₂]

Алардын ортосундагы φ бурчун эсептөө үчүн скалярдык продукт касиетин колдонсоңуз болот, андан кийин тиешелүү формула болот:

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n₂¯|))

Же координат түрүндө:

φ=arccos(|A₁A₂+ B₁B ₂+ C₁C₂|/(√(A₁ 2 ^{+ B}12^+C12 ^)√(A22 ^{+ B}22+ C²₂)))

Геометриялык маселелерди чечүүдө эки жактуу бурчтарды эсептөө үчүн жогорудагы ыкманы кантип колдонууну көрсөтөлү.

Үзгүлтүксүз төрт бурчтуу пирамиданын бурчтары

Кадимки пирамида бар деп ойлойлу, анын түбүндө капталы 10 см болгон квадрат бар. Фигуранын бийиктиги12 см. Пирамиданын түбүндө жана анын капталдарында эки тараптуу бурчтар кандай экенин эсептеп чыгуу керек.

Маселенин шартында берилген фигура туура болгондуктан, башкача айтканда, симметриясы жогору болгондуктан, негиздеги бардык бурчтар бири-бирине барабар. Каптал беттери түзгөн бурчтар да бирдей. Керектүү эки жактуу бурчтарды эсептөө үчүн негиз жана эки каптал тегиздик үчүн багыт векторлорун табабыз. Негизги капталынын узундугун a тамгасы жана бийиктиги h.

менен белгилеңиз.

Жогорудагы сүрөттө төрт бурчтуу кадимки пирамида көрсөтүлгөн. Киргизилген координаттар системасына ылайык A, B, C жана D чекиттеринин координаталарын жазалы:

A(a/2; -a/2; 0);

B(a/2; a/2; 0);

C(-a/2; a/2; 0);

D(0; 0; h)

Эми биз жогорудагы абзацта сүрөттөлгөн ыкмага ылайык ABC базалык тегиздиктеринин жана АКШ жана BCD эки капталынын багыт векторлорун табабыз:

ABC үчүн:

AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n₁¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a²)

ABD үчүн:

AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n₂¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a²/2)

BCD үчүн:

BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n₃¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a²/2)

Эми φ бурчуна тиешелүү формуланы колдонуу жана маселенин билдирүүсүндөгү каптал жана бийиктиктин маанилерин алмаштыруу калды:

ABC менен ортосундагы бурчABD:

(n₁¯n₂¯)=a⁴/2; |n₁¯|=a²; |n₂¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/2/(a²a√(h^{2+ a}2^{/4)))=arccos(a/(2√(h}2 ^{+ a}2 /4)))=67, 38^o

ABD менен BDC ортосундагы бурч:

(n₂¯n₃¯)=a⁴/4; |n₂¯|=a√(h² + a²/4); |n₃¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/(4a²(h²+ a²/4))=arccos(a²/(4(h²+a 2^{/4)))=81, 49}o

Маселенин шарты боюнча табылышы керек болгон бурчтардын маанилерин эсептедик. Маселени чечүүдө алынган формулалар a жана hтин каалаган маанилери бар төрт бурчтуу регулярдуу пирамидалардын эки жактуу бурчтарын аныктоо үчүн колдонулушу мүмкүн.

Үч бурчтуу регулярдуу пирамиданын бурчтары

Төмөнкү сүрөттө негизи туура үч бурчтук болгон пирамида көрсөтүлгөн. Капталдардын ортосундагы эки жактуу бурч туура экендиги белгилүү. Эгерде фигуранын бийиктиги 15 см экени белгилүү болсо, негиздин аянтын эсептөө керек.

90^o барабар эки бурчтуу бурч сүрөттө ABC катары белгиленген. Сиз жогорудагы ыкманы колдонуу менен маселени чече аласыз, бирок бул учурда биз аны оңой кылабыз. Үч бурчтуктун капталын a, фигуранын бийиктигин - h, апотеманы - h_b жана капталын белгилейли.кабырга - б. Эми сиз төмөнкү формулаларды жаза аласыз:

S=1/2ah_b;

b²=h_b²+ a² /4;

b²=h² + a²/3

Пирамидадагы эки каптал үч бурчтуктар бирдей болгондуктан, AB жана CB капталдары барабар жана ABC үч бурчтугунун катеттери. Келгиле, алардын узундугун x менен белгилейли, анда:

x=a/√2;

S=1/2ba/√2

Капталдагы үч бурчтуктардын аймактарын теңеп, апотемди тиешелүү туюнтмага алмаштырсак, бизде:

1/2ah_b=1/2ba/√2=>

h_b=b/√2;

b²=b ²/2 + a²/4=>

b=a/√2;

a²/2=h² + a²/3=>

a=h√6

Тең жактуу үч бурчтуктун аянты төмөнкүчө эсептелет:

S=√3/4a²=3√3/2h²

Маселенин шартындагы бийиктиктин маанисин алмаштырсаңыз, жооп алабыз: S=584, 567 см².