Пирамиданын аянтын кантип эсептөө керек: негизи, капталы жана толук?

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2023-12-17 05:34

Математика боюнча экзаменге даярданууда студенттер алгебра жана геометрия боюнча алган билимдерин системалаштыруулары керек. Мен бардык белгилүү маалыматты бириктиргим келет, мисалы, пирамиданын аянтын кантип эсептөө керек. Мындан тышкары, базалык жана каптал беттеринен баштап, бүт жер бетине чейин. Эгер каптал беттер үч бурчтук болгондуктан, жагдай түшүнүктүү болсо, анда негиз ар дайым башкача болот.

Пирамиданын негизинин аянтын кантип тапса болот?

Бул таптакыр каалаган форма болушу мүмкүн: ыктыярдуу үч бурчтуктан n-бурчка чейин. Жана бул негиз, бурчтардын санындагы айырмадан тышкары, кадимки фигура же туура эмес болушу мүмкүн. Мектеп окуучуларын кызыктырган USE тапшырмаларында негизи туура сандар менен гана тапшырмалар бар. Ошондуктан, биз алар жөнүндө гана сүйлөшөбүз.

Үч бурчтук

Бул тең жактуу. Бардык тараптар бирдей жана "а" тамгасы менен белгиленет. Бул учурда, пирамиданын негизинин аянты формула менен эсептелет:

S=(a2√3) / 4.

Квадрат

Анын аянтын эсептөө формуласы эң жөнөкөй,бул жерде "a" дагы бир тарап:

S=a2.

Эрксиз кадимки n-gon

Көп бурчтуктун капталы бирдей белгиге ээ. Бурчтардын саны үчүн латын тамгасы n колдонулат.

S=(na2) / (4тг (180º/n)).

Каптал жана жалпы беттин аянтын кантип эсептөө керек?

Негизи регулярдуу фигура болгондуктан, пирамиданын бардык тараптары бирдей. Мындан тышкары, алардын ар бири тең жактуу үч бурчтук болуп саналат, анткени каптал четтери бирдей. Андан кийин, пирамиданын каптал аянтын эсептөө үчүн, окшош мономиалдардын суммасынан турган формула керек. Терминдердин саны негиздин тараптарынын саны менен аныкталат.

Тең бурчтуу үч бурчтуктун аянты негиздин жарымын бийиктикке көбөйтүүчү формула менен эсептелет. Пирамидадагы бул бийиктик апотем деп аталат. Анын белгилөө "А" болуп саналат. Каптал бетинин жалпы формуласы:

S=½ PA, мында P – пирамиданын пайдубалынын периметри.

Негиздин капталдары белгисиз, бирок каптал четтери (c) жана анын чокусунда жалпак бурч (α) берилген жагдайлар бар. Анда пирамиданын каптал аянтын эсептөө үчүн бул формуланы колдонуу керек:

S=n/2in2 sin α.

Маселе 1

Абал. Пирамиданын жалпы аянтын табыңыз, эгерде анын негизи бир капталы 4 см, апотемасы √3 см болгон тең жактуу үч бурчтук болсо.

Чечим. АнынСиз базанын периметрин эсептөө менен баштоо керек. Бул кадимки үч бурчтук болгондуктан, анда P \u003d 34 \u003d 12 см. Апотем белгилүү болгондуктан, сиз дароо бүт каптал бетинин аянтын эсептей аласыз: ½12√3=6 √3 см 2.

Негизиндеги үч бурчтук үчүн төмөнкү аймактын маанисин аласыз: (4²√3) / 4=4√3 см^2.

Жалпы аянтты аныктоо үчүн эки натыйжаны кошуу керек: 6√3 + 4√3=10√3 см2.

Жооп. 10√3см2.

Маселе 2

Абал. Кадимки төрт бурчтуу пирамида бар. Негизги капталынын узундугу 7 мм, каптал чети 16 мм. Анын аянтын билишиңиз керек.

Чечим. Көп жүздүү төрт бурчтуу жана регулярдуу болгондуктан, анын негизи төрт бурчтуу. Негизги жана каптал беттеринин аймактарын үйрөнүп, пирамиданын аянтын эсептөөгө болот. Квадраттын формуласы жогоруда берилген. Ал эми каптал беттеринде үч бурчтуктун бардык тараптары белгилүү. Ошондуктан, алардын аймактарын эсептөө үчүн Герон формуласын колдонсоңуз болот.

Биринчи эсептөөлөр жөнөкөй жана бул санга алып келет: 49 mm². Экинчи маани үчүн жарым периметрди эсептөө керек болот: (7 + 162): 2=19,5 мм. Эми сиз үч бурчтуктун аянтын эсептей аласыз: √(19,5(19,5-7)(19,5-16)²)=√2985,9375=54,644 мм ^{2. Мындай үч бурчтук төрт гана бар, андыктан акыркы санды эсептөөдө аны 4кө көбөйтүү керек болот.}

Көрсө: 49 + 454, 644=267, 576 мм2.

Жооп. Каалаган маани 267, 576мм2.

Маселе 3

Абал. Кадимки төрт бурчтуу пирамида үчүн аянтты эсептөө керек. Ал чарчы тарапты билет - 6 см жана бийиктиги - 4 см.

Чечим. Эң оңой жолу - периметрдин жана апотемдин көбөйтүлүшү менен формуланы колдонуу. Биринчи маанини табуу оңой. Экинчиси бир аз кыйыныраак.

Пифагор теоремасын эстеп, тик бурчтукту карашыбыз керек. Ал пирамиданын жана гипотенузанын бийиктигинен түзүлөт. Экинчи буту квадраттын капталынын жарымына барабар, анткени көп жактуу анын ортосуна туура келет.

Керектүү апотема (тик бурчтуктун гипотенузасы) √(3² + 4^{2)=5 (см).}

Эми сиз керектүү маанини эсептей аласыз: ½(46)5+6²=96 (караңыз^2).

Жооп. 96 см2.

Маселе 4

Абал. Кадимки алты бурчтуу пирамида берилген. Анын негизинин капталдары 22 мм, каптал кабыргалары 61 мм. Бул полиэдрдин каптал бетинин аянты канча?

Чечим. Андагы жүйө №2 маселеде айтылгандай. Болгону ал жерде негизи төрт бурчтуу пирамида берилген, азыр ал алты бурчтук.

Биринчиден, базанын аянты жогорудагы формула боюнча эсептелет: (622²) / (4тг (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 см^2.

Эми сиз эки жактуу үч бурчтуктун каптал бети болгон жарым периметрин табышыңыз керек. (22 + 612): 2 \u003d 72 см. Ар биринин аянтын эсептөө керек.үч бурчтук, андан кийин аны алтыга көбөйтүп, негиз үчүн чыкканга кош.

Герон формуласы боюнча эсептөө: √(72(72-22)(72-61)²)=√435600=660 cm² . Каптал бетинин аянтын бере турган эсептөөлөр: 6606=3960 см². Бүтүндөй бетти билүү үчүн аларды кошуу керек: 5217, 47≈5217 cm^2.

Жооп. Негизги - 726√3cm², каптал бети - 3960cm², жалпы аянты - 5217см^2.