Пирамиданын апотемасы. Кадимки үч бурчтуу пирамиданын апотеминин формулалары

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2024-01-02 17:51

Пирамида – геометриялык маселелерде кездешүүчү мейкиндик көп кырдуу же көп жактуу. Бул фигуранын негизги касиеттери анын көлөмү жана бетинин аянты болуп саналат, алар анын каалаган эки сызыктуу мүнөздөмөсүн билүүдөн эсептелет. Бул мүнөздөмөлөрдүн бири - пирамиданын апотемасы. Бул макалада талкууланат.

Пирамида формасы

Пирамиданын апотемасынын аныктамасын берүүдөн мурун фигуранын өзү менен таанышып алалы. Пирамида фигуранын каптал бетин түзгөн бир n-бурчтуу негиз жана n үч бурчтуктан түзүлгөн көп жактуу.

Ар бир пирамиданын чокусу бар - бардык үч бурчтуктардын туташуу чекити. Бул чокудан негизге тартылган перпендикуляр бийиктик деп аталат. Эгерде бийиктик негизди геометриялык борбордо кесип өтсө, анда фигура түз сызык деп аталат. Тең жактуу негизи бар түз пирамида кадимки пирамида деп аталат. Сүрөттө алты бурчтуу негизи бар пирамида көрсөтүлгөн, ал бети жана четинен көрүнүп турат.

Оң пирамиданын апотемасы

Аны апотема деп да коюшат. Пирамиданын чокусунан фигуранын түбүнүн капталына тартылган перпендикуляр деп түшүнүлөт. Аныктама боюнча, бул перпендикуляр пирамиданын каптал бетин түзгөн үч бурчтуктун бийиктигине туура келет.

Биз n-бурчтуу негизи бар регулярдуу пирамиданы карап жаткандыктан, анын бардык n апотемасы бирдей болот, анткени фигуранын каптал бетинин тең жактуу үч бурчтуктары ушундай. Көңүл буруңуз, окшош апотемдер кадимки пирамиданын касиети болуп саналат. Жалпы түрдөгү фигура үчүн (н-бурчтуу кыйгач) бардык n апотема ар кандай болот.

Кадимки пирамида апотемасынын дагы бир касиети – ал бир эле учурда тиешелүү үч бурчтуктун бийиктиги, медианасы жана биссектрисасы. Бул ал аны эки бирдей тик бурчтукка бөлөрүн билдирет.

Үч бурчтуу пирамида жана анын апотемасын аныктоо формулалары

Кандайдыр бир кадимки пирамидада маанилүү сызыктуу мүнөздөмөлөр бул анын негизинин капталынын узундугу, каптал чети b, бийиктиги h жана h_{b. Бул чоңдуктар бири-бири менен тиешелүү формулалар аркылуу байланышат, аларды пирамида тартуу жана керектүү тик бурчтуктарды эске алуу менен алууга болот.}

Кадимки үч бурчтуу пирамида 4 үч бурчтуу беттен турат жана алардын бири (негизи) тең жактуу болушу керек. Калгандары жалпы учурда изоскелдер. апотемүч бурчтуу пирамиданы башка чоңдуктар боюнча төмөнкү формулалар аркылуу аныктоого болот:

h_b=√(b²- a^2/4);

h_b=√(a²/12 + h²⁾

Бул туюнтмалардын биринчиси туура негизи бар пирамида үчүн жарактуу. Экинчи туюнтма үч бурчтуу пирамида үчүн гана мүнөздүү. Бул апотема ар дайым фигуранын бийиктигинен чоң экенин көрсөтүп турат.

Пирамиданын апотемасын көп жүздүү менен чаташтырбаңыз. Акыркы учурда, апотема - көп жактуу анын борборунан капталына тартылган перпендикуляр сегмент. Мисалы, тең жактуу үч бурчтуктун апотемасы √3/6a.

Апотем тапшырма

Негизинде үч бурчтук бар кадимки пирамида берилсин. Бул үч бурчтуктун аянты 34 см2, ал эми пирамиданын өзү 4 окшош жүздөн тураары белгилүү болсо, анын апотемасын эсептөө керек.

Маселенин шартына ылайык, биз тең жактуу үч бурчтуктардан турган тетраэдр менен иш алып барабыз. Бир беттин аянтынын формуласы:

S=√3/4a2

А жагынын узундугун кайдан алабыз:

a=2√(S/√3)

Апотеманы аныктоо үчүн h_{bкаптал кырын камтыган формуланы колдонобуз b. Каралып жаткан учурда анын узундугу негиздин узундугуна барабар, бизде:}

h_b=√(b²- a^{2/4)=√3/2 a}

Анын маанисин S менен алмаштыруу,акыркы формуланы алабыз:

h_{b=√3/22√(S/√3)=√(S√3)}

Бизде пирамиданын апотемасы анын негизинин аянтына гана көз каранды болгон жөнөкөй формула алдык. Эгерде маселенин шартынан S маанисин алмаштырсак, жооп алабыз: h_{b≈ 7, 674 см.}