Геометрияда фигураларды изилдөө үчүн эки маанилүү мүнөздөмө колдонулат: тараптардын узундугу жана алардын ортосундагы бурчтар. Мейкиндик фигураларында бул мүнөздөмөлөргө эки тараптуу бурчтар кошулат. Келгиле, бул эмне экенин карап көрөлү, ошондой эле пирамиданын мисалында бул бурчтарды аныктоо ыкмасын сүрөттөп бергиле.
Эки бурчтуу бурч түшүнүгү
Кесилишкен эки сызык алардын кесилишкен чекитинде чокусу менен бурч түзөөрүн баары билет. Бул бурчту транспортир менен ченесе болот же аны эсептөө үчүн тригонометриялык функцияларды колдонсоңуз болот. Эки тик бурчтан түзүлгөн бурч сызыктуу деп аталат.
Эми үч өлчөмдүү мейкиндикте түз сызыкта кесилишкен эки тегиздик бар экенин элестетиңиз. Алар сүрөттө көрсөтүлгөн.
Эки бурчтуу бурч - кесилишкен эки тегиздиктин ортосундагы бурч. Сызыктуу сыяктуу, ал градус же радиан менен өлчөнөт. Эгерде тегиздиктер кесилишкен сызыктын кайсы бир чекитине эки перпендикулярды калыбына келтириңиз,бул тегиздиктерде жатып, анда алардын ортосундагы бурч каалаган эки тараптуу болот. Бул бурчту аныктоонун эң оңой жолу - тегиздиктердин жалпы теңдемелерин колдонуу.
Тегиздиктердин теңдемеси жана алардын ортосундагы бурчтун формуласы
Кайсы бир тегиздиктин мейкиндиктеги теңдемеси жалпы мааниде төмөнкүчө жазылат:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Бул жерде x, y, z тегиздикке тиешелүү чекиттердин координаттары, A, B, C, D коэффициенттери кээ бир белгилүү сандар. Бул теңдиктин эки тараптуу бурчтарды эсептөө үчүн ыңгайлуулугу анын тегиздиктин багыт векторунун координаталарын ачык камтыганында. Биз аны n¯ менен белгилейбиз. Анда:
n¯=(A; B; C).
n¯ вектору тегиздикке перпендикуляр. Эки тегиздиктин ортосундагы бурч алардын n1¯ жана n2¯ багыт векторлорунун ортосундагы бурчка барабар. Эки вектор түзүүчү бурч алардын скалярдык көбөйтүндүсүнөн уникалдуу түрдө аныктала турганы математикадан белгилүү. Бул эки тегиздиктин ортосундагы эки тараптуу бурчту эсептөө үчүн формула жазууга мүмкүндүк берет:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Эгер векторлордун координаталарын алмаштырсак, формула ачык жазылат:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
Нумератордогу модуль белгиси курч бурчту гана аныктоо үчүн колдонулат, анткени эки жактуу бурч ар дайым 90o аз же барабар.
Пирамида жана анын бурчтары
Пирамида – бул бир n-бурч жана n үч бурчтуктан түзүлгөн фигура. Бул жерде n - пирамиданын негизи болгон көп бурчтуктун тараптарынын санына барабар бүтүн сан. Бул мейкиндик фигурасы жалпак беттерден (капталдардан) тургандыктан, көп жактуу же көп жактуу.
Пирамида-көп кырдуу эки бурчтуу бурчтар эки түрдүү болушу мүмкүн:
- негиз менен капталдын ортосунда (үч бурчтук);
- эки тараптын ортосунда.
Эгер пирамида регулярдуу деп эсептелсе, анда ал үчүн аталган бурчтарды аныктоо оңой. Бул үчүн үч белгилүү чекиттин координаталарын колдонуп, тегиздиктердин теңдемесин түзүш керек, андан кийин φ бурч үчүн жогорудагы абзацта берилген формуланы колдонуу керек.
Төмөндө биз төрт бурчтуу регулярдуу пирамиданын түбүндөгү эки тараптуу бурчтарды кантип табууга болорун көрсөткөн мисал келтиребиз.
Төрт бурчтуу нормалдуу пирамида жана анын түбүндөгү бурч
Чарчы негизи бар кадимки пирамида берилген деп ойлойлу. Квадраттын капталынын узундугу a, фигуранын бийиктиги h. Пирамиданын негизи менен капталынын ортосундагы бурчту табыңыз.
Координаталар системасынын башын квадраттын ортосуна коёлу. Андан кийин чекиттердин координаттарыСүрөттө көрсөтүлгөн A, B, C, D:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; с).
ACB жана ADB учактарын карап көрөлү. Албетте, ACB тегиздиги үчүн n1¯ багыт вектору төмөнкүдөй болот:
1¯=(0; 0; 1).
АӨБ тегиздигинин n2¯ багыт векторун аныктоо үчүн төмөнкүнү аткарыңыз: ага тиешелүү эки ыктыярдуу векторду табыңыз, мисалы, AD¯ жана AB¯, анда алардын вектордук ишин эсептеп. Анын жыйынтыгы n2¯ координаттарын берет. Бизде:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Векторду санга көбөйтүү жана бөлүү анын багытын өзгөртпөгөндүктөн, натыйжада n2¯ координаталарын -ага бөлүү менен төмөнкүнү алабыз:
2¯=(h; 0; a/2).
Биз ACB базасы жана АӨБ каптал тегиздиктери үчүн n1¯ жана n2¯ вектордук жетектерин аныктадык. φ бурчу үчүн формуланы колдонуу калды:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Натыйжадагы туюнтманы которуп, аны төмөнкүдөй кайра жазыңыз:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Биз кадимки төрт бурчтуу пирамида үчүн негиздеги эки жактуу бурчтун формуласын алдык. Фигуранын бийиктигин жана анын капталынын узундугун билип, сиз φ бурчун эсептей аласыз. Мисалы, Хеопс пирамидасы үчүн, анын негизги тарабы 230,4 метр жана баштапкы бийиктиги 146,5 метр, φ бурчу 51,8o болот.
Төрт бурчтуу регулярдуу пирамида үчүн эки бурчтуу бурчун геометриялык ыкма менен аныктоого да болот. Бул үчүн h бийиктигинен, пайдубалынын жарымы a/2 узундугунан жана тең жактуу үч бурчтуктун апотемасы менен түзүлгөн тик бурчтуу үч бурчтукту карап чыгуу жетиштүү.
