Айлануу кыймылынын динамикасын жана кинематикасын сандык изилдөө үчүн материалдык чекиттин жана катуу дененин айлануу огуна карата инерция моментин билүү талап кылынат. Биз макалада кайсы параметр жөнүндө сөз болуп жатканын карап чыгабыз, ошондой эле аны аныктоо формуласын беребиз.
Физикалык чоңдук жөнүндө жалпы маалымат
Адегенде материалдык чекиттин жана катуу дененин инерция моментин аныктап алалы, андан кийин аны практикалык маселелерди чечүүдө кантип колдонуу керектигин көрсөтөлү.
Октун айланасында r аралыкта айланган, массасы m болгон чекит үчүн көрсөтүлгөн физикалык мүнөздөмөгө ылайык, төмөнкү маанини билдирет:
I=mr².
Мындан улам изилденген параметрдин өлчөө бирдиги чарчы метрге килограмм (кгм²) болуп саналат.
Эгерде огтун айланасындагы чекиттин ордуна өзүнүн ичинде массасынын ыктыярдуу бөлүштүрүлүшү бар татаал формадагы дене айланса, анда анын инерция моменти аныкталатошондуктан:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Бул жерде ρ дененин тыгыздыгы. Интегралдык формуланы колдонуу менен, айлануунун каалаган системасы үчүн I маанисин аныктай аласыз.
Инерция моменти айлануу үчүн массанын котормо кыймылы үчүн маанисине окшош. Мисалы, пол сүргүчтү перпендикуляр аркылуу эмес, анын туткасы аркылуу өткөн огтун айланасында айландыруу эң оңой экенин баары билет. Бул биринчи учурда инерция моменти экинчисине караганда алда канча аз экендигине байланыштуу.
Мен ар кандай формадагы денелерди баалайм
Айлануу үчүн физикадан маселелерди чыгарууда көбүнчө белгилүү геометриялык формадагы дене үчүн, мисалы, цилиндр, шар же стержень үчүн инерция моментин билүү зарыл. Эгерде жогоруда жазылган формуланы I үчүн колдонсок, анда бардык белгиленген денелер үчүн тиешелүү туюнтманы алуу оңой. Төмөндө алардын айрымдары үчүн формулалар келтирилген:
таякча: I=1 / 12ML²;
цилиндр: I=1/2MR²;
сфера: I=2 / 5MR².
Бул жерде мен дененин массасынын борбору аркылуу өткөн айлануу огу үчүн берилген. Цилиндр учурда огу фигуранын генераторуна параллель. Башка геометриялык денелер үчүн инерция моментин жана айлануу окторунун жайгашуу варианттарын тиешелүү таблицалардан табууга болот. Белгилей кетсек, I ар кандай фигураларды аныктоо үчүн бир гана геометриялык параметрди жана дененин массасын билүү жетиштүү.
Штайнер теоремасы жана формуласы
Айлануу огу денеден кандайдыр бир аралыкта жайгашкан болсо, инерция моментин аныктоого болот. Бул үчүн, сиз бул сегменттин узундугун жана IO дененин массасынын борборунан өткөн огуна салыштырмалуу маанисин билишиңиз керек, ал астындагы бирине параллель болушу керек. кароо. IO параметри менен I белгисиз маанинин ортосундагы байланышты орнотуу Штайнер теоремасында бекитилген. Материалдык чекит менен катуу дененин инерция моменти математикалык түрдө төмөнкүчө жазылат:
I=IO+ Mh2.
Бул жерде M – дененин массасы, h – массанын борборунан айлануу огуна чейинки аралык, ага карата I эсептөө керек. Бул туюнтманы өз алдынча алуу оңой, эгерде сиз I үчүн интегралдык формуланы колдонуңуз жана дененин бардык чекиттери аралыкта экенин эске алыңыз r=r0 + h.
Штайнер теоремасы көптөгөн практикалык кырдаалдар үчүн I аныктамасын абдан жөнөкөйлөтөт. Мисалы, узундугу L жана анын учу аркылуу өткөн огуна карата массасы M үчүн I табуу керек болсо, анда Штайнер теоремасын колдонуу төмөнкүнү жазууга мүмкүндүк берет:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Тиешелүү таблицага кайрылып, анын аягында айлануу огу бар ичке таякча үчүн дал ушул формула камтылганын көрө аласыз.
Момент теңдемеси
Айлануу физикасында моменттердин теңдемеси деп аталган формула бар. Бул мындай көрүнөт:
M=Iα.
Бул жерде M – күчтүн моменти, α – бурчтук ылдамдануу. Көрүнүп тургандай, материалдык чекит менен катуу дененин инерция моменти жана күч моменти бири-бири менен сызыктуу байланышта. М мааниси кандайдыр бир F күчтүн системада α ылдамдануу менен айлануу кыймылын түзүү мүмкүнчүлүгүн аныктайт. М эсептөө үчүн төмөнкү жөнөкөй туюнтманы колдонуңуз:
M=Fd.
Бул жерде d - моменттин ийини, ал F күч векторунан айлануу огуна чейинки аралыкка барабар. Кол d канчалык кичине болсо, күчтүн системанын айлануусун жаратуу мүмкүнчүлүгү ошончолук азыраак болот.
Моменттердин теңдемеси өз мааниси боюнча Ньютондун экинчи мыйзамына толук дал келет. Бул учурда мен инерциялык массанын ролун ойнойм.
Маселени чечүү мисалы
Келгиле, салмаксыз горизонталдык таякчасы бар вертикалдык огуна бекитилген цилиндр болгон системаны элестетип көрөлү. Белгилүү болгондой, цилиндрдин айлануу огу менен негизги огу бири-бирине параллель жана алардын аралыгы 30 см. Цилиндрдин массасы 1кг, ал эми радиусу 5см. Күч 10 Айлануу траекториясына N тангенс вектору цилиндрдин негизги огу аркылуу өткөн фигурага таасир этет. Бул күч алып келе турган фигуранын бурчтук ылдамдануусун аныктоо керек.
Биринчи, I цилиндрдин инерция моментин эсептеп алалы. Бул үчүн Штайнер теоремасын колдонуңуз, бизде:
I=IO+ M d²=1/2MR² + Md²=1/210,05² + 10, 3²=0,09125 кгм².
Момент теңдемесин колдонуудан мурун, сизге кереккүч моментин аныктоо M. Бул учурда, биз:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Эми сиз ылдамданууну аныктай аласыз:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 рад/с².
Эсептелген бурчтук ылдамдануу цилиндрдин ылдамдыгы секундасына 5,2 айлануу көбөйөрүн көрсөтөт.
