Ар бир студент тегерек конус жөнүндө уккан жана бул үч өлчөмдүү фигура кандай экенин элестетет. Бул макала конустун өнүгүшүн аныктайт, анын мүнөздөмөлөрүн сүрөттөгөн формулаларды берет жана аны компасты, транспортирди жана түз бурчту колдонуу менен кантип курууну сүрөттөйт.
Геометриядагы тегерек конус
Бул фигурага геометриялык аныктама берели. Тегерек конус – бул белгилүү бир тегеректин бардык чекиттерин мейкиндиктин бир чекити менен бириктирген түз сызык сегменттеринен түзүлгөн бет. Бул жалгыз чекит тегерек жаткан тегиздикке тиешелүү болбошу керек. Эгер тегеректин ордуна тегерек алсак, анда бул ыкма да конуска алып барат.
Тегерек фигуранын негизи деп аталат, анын айланасы директриса. Чекитти директриса менен туташтыруучу сегменттер генератрисалар же генераторлор деп аталат, ал эми алардын кесилишкен жери конустун чокусу болуп саналат.
Тегерек конус түз жана кыйгач болушу мүмкүн. Эки көрсөткүч тең төмөндөгү сүрөттө көрсөтүлгөн.
Алардын ортосундагы айырма мындай: эгерде конустун чокусунан перпендикуляр так айлананын борборуна түшсө, анда конус түз болот. Ал үчүн фигуранын бийиктиги деп аталган перпендикуляр анын огунун бир бөлүгү болуп саналат. Кийик конус учурда бийиктик менен огу курч бурчту түзөт.
Фигуранын жөнөкөйлүгүнөн жана симметриясынан улам биз мындан ары тегерек негизи бар оң конустун гана касиеттерин карап чыгабыз.
Айлантуу аркылуу форма алуу
Конустун бетинин өнүгүшүн карап чыгуудан мурун, бул мейкиндик фигурасын айлануу аркылуу кантип алууга болорун билүү пайдалуу.
Бизде a, b, c тараптары болгон тик бурчтук бар дейли. Алардын алгачкы экөө - буттар, в - гипотенуза. А бутуна үч бурчтук салып, аны б бутунун айланасында айланта баштайлы. Гипотенуза c анда конус бетин сүрөттөйт. Бул жөнөкөй конус ыкмасы төмөнкү диаграммада көрсөтүлгөн.
Албетте, a буту фигуранын негизинин радиусу, b буту анын бийиктиги, ал эми с гипотенузасы тегерек оң конустун генатрицасына туура келет.
Конустун өнүгүү көрүнүшү
Сиз ойлогондой, конус эки түрдүү беттерден түзүлөт. Алардын бири жалпак негизи тегерек болуп саналат. Анын r радиусу бар дейли. Экинчи бети каптал болуп, конус деп аталат. Анын генератору g менен барабар болсун.
Эгерде бизде кагаз конус болсо, анда кайчыны алып, анын негизин кесип алабыз. Андан кийин, конус бети кесип кереккаалаган generatrix менен бирге жана учакта аны жайгаштыруу. Ошентип, биз конустун каптал бетинин өнүгүүсүн алдык. Эки бет, түпнуска конус менен бирге төмөнкү диаграммада көрсөтүлгөн.
Негизги тегерек төмөнкү оң жакта сүрөттөлгөн. Ортодо ачылбаган конус бети көрсөтүлгөн. Көрсө, ал айлананын кандайдыр бир тегерек секторуна туура келет, анын радиусу генератриканын узундугуна барабар.
Бурчту жана аймакты тазалоо
Эми биз g жана r белгилүү параметрлерин колдонуу менен конустун аянтын жана бурчун эсептөөгө мүмкүндүк берген формулаларды алдык.
Албетте, жогоруда сүрөттө көрсөтүлгөн тегерек сектордун жаасынын узундугу негиздин айланасына барабар, башкача айтканда:
l=2pir.
Эгер радиусу g болгон тегерек бүт курулса, анда анын узундугу:
L=2pig.
Узундугу L 2pi радианга туура келгендиктен, l жаа турган бурчту тиешелүү пропорциядан аныктоого болот:
L==>2pi;
l==> φ.
Анда белгисиз φ бурч төмөнкүгө барабар болот:
φ=2pil/L.
Л жана L узундуктарынын туюнтмаларын алмаштыруу менен конустун каптал бетинин өнүгүү бурчунун формуласына келебиз:
φ=2pir/g.
Бул жердеги φ бурч радиан менен туюнтулган.
Тегерек сектордун Sb аянтын аныктоо үчүн φнын табылган маанисин колдонобуз. Биз дагы бир пропорцияны аймактар үчүн гана жасайбыз. Бизде:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Сb кайдан туюнтулат, андан кийин φ бурчунун маанисин алмаштырыңыз. Биз алабыз:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Конустук беттин аянты үчүн биз бир топ компакт формуланы алдык. Sb мааниси үч фактордун көбөйтүндүсүнө барабар: pi, фигуранын радиусу жана анын генератрисасы.
Анда фигуранын бүткүл бетинин аянты Sb жана So (тегерек) суммасына барабар болот базалык аймак). Биз формуланы алабыз:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Кагазга конустун шыпыргычын куруу
Бул тапшырманы аткаруу үчүн сизге кагаз, карандаш, транспортир, сызгыч жана циркуль керек болот.
Биринчиден тараптары 3см, 4см жана 5см болгон тик бурчтуу үч бурчтук тарталы. Анын 3 см буттун айланасында айлануусу каалаган конусту берет. Фигурада r=3 см, h=4 см, g=5 см.
Тапкычты куруу компас менен r радиусу бар тегерек чийүүдөн башталат. Анын узундугу 6пи смге барабар болот.. Эми анын жанына дагы бир тегерек чийебиз, бирок радиусу g. Анын узундугу 10пи см туура келет. Эми биз чоң тегеректен тегерек секторду кесип алышыбыз керек. Анын φ бурчу:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Эми бул бурчту транспортир менен радиусу g болгон тегеректин үстүнө коюп, тегерек секторду чектей турган эки радиус тартабыз.
ОшентипОшентип, биз конустун радиустун, бийиктиктин жана генератрикстин көрсөтүлгөн параметрлери менен иштеп чыгуусун курдук.
Геометриялык маселени чечүүнүн мисалы
Тегерек түз конус берилген. Белгилүү болгондой, анын каптал шыпырылышынын бурчу 120o. Конустун бийиктиги h 10 см экени белгилүү болсо, бул фигуранын радиусун жана генератрисасын табуу керек.
Тегерек конус тик бурчтуктун айлануу фигурасы экенин эстесек, тапшырма кыйын эмес. Бул үч бурчтуктан бийиктиктин, радиустун жана генератриканын ортосундагы бир түшүнүктүү байланыш келип чыгат. Тиешелүү формуланы жазалы:
g2=h2+ r2.
Чечүүдө колдонула турган экинчи туюнтма φ бурчунун формуласы:
φ=2pir/g.
Ошентип, эки белгисиз чоңдукка (r жана g) тиешелүү эки теңдеме бар.
Экинчи формуладан g экспресси жана натыйжаны биринчиге алмаштырсак:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Радиандагы бурч φ=120o 2pi/3. Бул маанини алмаштырабыз, r жана g үчүн акыркы формулаларды алабыз:
r=h /√8;
g=3с /√8.
Бийиктиктин маанисин алмаштыруу жана көйгөйлүү суроого жооп алуу калды: r ≈ 3,54 см, g ≈ 10,61 см.
