Кадимки төрт бурчтуу пирамиданын көлөмү. Формула жана тапшырмалардын мисалдары

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2023-12-17 05:34

Кандайдыр бир мейкиндик фигурасын изилдеп жатканда анын көлөмүн кантип эсептөө керектигин билүү маанилүү. Бул макалада кадимки төрт бурчтуу пирамиданын көлөмүнүн формуласы берилген, ошондой эле бул формуланы кантип колдонуу керектиги маселелерди чечүү мисалында көрсөтүлгөн.

Кайсы пирамида жөнүндө сөз болуп жатат?

Ар бир мектеп окуучусу пирамида үч бурчтуктан жана көп бурчтуктан турган көп жактуу экенин билет. Акыркысы фигуранын негизи болуп саналат. Үч бурчтуктардын негизи менен бир жалпы тарабы бар жана пирамиданын чокусу болгон бир чекитте кесилишет.

Ар бир пирамида негиздин капталдарынын узундугу, каптал четтеринин узундугу жана бийиктиги менен мүнөздөлөт. Акыркысы перпендикуляр сегмент болуп саналат, ал фигуранын жогору жагынан негизге түшүрүлгөн.

Үзгүлтүксүз төрт бурчтуу пирамида – бул төрт бурчтуу негизи бар фигура, анын бийиктиги бул квадратты борборунан кесип өтөт. Балким, пирамидалардын бул түрүнүн эң белгилүү мисалы байыркы Египеттин таш структуралары болуп саналат. Төмөндө сүрөтХеопс пирамидалары.

Изилденип жаткан фигуранын беш бети бар, алардын төртөө бирдей тегиз жактуу үч бурчтуктар. Ал ошондой эле беш чокусу менен мүнөздөлөт, алардын төртөө негизге таандык жана сегиз чети (негиздин 4 чети жана каптал беттеринин 4 чети).

Төрт бурчтуу пирамиданын көлөмүнүн формуласы туура

Каралып жаткан фигуранын көлөмү мейкиндиктин беш тарабы менен чектелген бөлүгү. Бул көлөмдү эсептөө үчүн S_z пирамидасынын негизине параллелдүү кесимдин аянтынын z вертикалдык координатасынан төмөнкү көз карандылыгын колдонобуз:

S_z=S_o (саат - z/с)²

Бул жерде S_o - квадраттык негиздин аянты. Жазылган туюнтмага z=h алмаштырсак, анда S_z үчүн нөл мааниге ээ болобуз. Бул z мааниси пирамиданын чокусун гана камтый турган кесимге туура келет. Эгерде z=0 болсо, анда биз базалык аймактын маанисин алабыз S_o.

С_z(z) функциясын билсеңиз, пирамиданын көлөмүн табуу оңой, ал үчүн фигураны чексиз санга кесүү жетиштүү. катмарларды негизге параллелдүү кылып, андан кийин интеграциялоо операциясын жүргүзүшөт. Мен бул ыкманы колдоном, биз:

V=∫₀^h(S_z)dz=-S ₀(h-z)³ / (3h²)|₀ ^h=1/3S₀с.

Себеби S₀төрт бурчтуу пирамиданын көлөмү үчүн формуланы алабыз:

V=1/3a²с.

Эми бул туюнтманы кантип колдонуу керектигин көрсөтүү үчүн маселени чечүүнүн мисалдарын колдонолу.

Пирамиданын көлөмүн анын апотемасы жана каптал чети аркылуу аныктоо маселеси

Пирамиданын апотемасы - анын пайдубалынын капталына түшүрүлгөн каптал үч бурчтугунун бийиктиги. Кадимки пирамидада бардык үч бурчтуктар бирдей болгондуктан, алардын апотемдери да бирдей болот. Анын узундугун h_b белгиси менен белгилейли. Каптал четин b деп белгилеңиз.

Пирамиданын апотемасы 12 см, каптал чети 15 см экенин билип, туура төрт бурчтуу пирамиданын көлөмүн табыңыз.

Мурунку абзацта жазылган фигуранын көлөмүнүн формуласы эки параметрди камтыйт: каптал узундугу a жана бийиктиги h. Учурда алардын бирин да билбейбиз, андыктан алардын эсептөөлөрүн карап көрөлү.

Квадраттын капталынын узундугун эсептөө оңой, эгерде сиз Пифагор теоремасын туура үч бурчтук үчүн колдонсоңуз, анда гипотенузасы b чети, ал эми буттары h _{апотемасы болуп саналат. b} жана базанын капталынын жарымы a/2. Биз алабыз:

b²=h_b²+ a² /4=>

a=2√(b²- h_b²).

Белгилүү маанилерди шарттын ордуна коюп, а=18 см маанисин алабыз.

Пирамиданын h бийиктигин эсептөө үчүн эки нерсени кылсаңыз болот: тик бурчтуу форманы карап көрүңүзгипотенузанын каптал кыры же гипотенуза-апотемасы бар үч бурчтук. Эки ыкма тең бирдей жана бирдей сандагы математикалык операцияларды аткарууну камтыйт. Гипотенузасы h_b апотемасы болгон үч бурчтукка токтололу. Андагы буттар h жана a / 2 болот. Анда биз алабыз:

с=√(h_b²-a²/4)=√(12 ²- 18²/4)=7, 937 см.

Эми V томдун формуласын колдонсоңуз болот:

V=1/3a²h=1/318²7, 937=857, 196 см ³.

Ошентип, кадимки төрт бурчтуу пирамиданын көлөмү болжол менен 0,86 литрди түзөт.

Хеопс пирамидасынын көлөмү

Эми кызыктуу жана практикалык маанилүү маселени чечели: Гизадагы эң чоң пирамиданын көлөмүн табыңыз. Имараттын алгачкы бийиктиги 146,5 метр, ал эми таманынын узундугу 230,363 метр экени адабияттардан белгилүү. Бул сандар V эсептөө үчүн формуланы колдонууга мүмкүндүк берет. Биз төмөнкүнү алабыз:

V=1/3a²h=1/3230, 363²146, 5 ≈ 2591444 м ³.

Натыйжадагы маани дээрлик 2,6 миллион м³. Бул көлөм капталы 137,4 метр болгон кубдун көлөмүнө туура келет.