Кадимки төрт бурчтуу пирамиданын каптал бетинин аянты: формулалар жана маселелердин мисалдары

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2024-01-02 17:51

Тегиздиктеги жана үч өлчөмдүү мейкиндиктеги типтүү геометриялык маселелер ар кандай формадагы беттик аянттарды аныктоо маселелери болуп саналат. Бул макалада биз кадимки төрт бурчтуу пирамиданын каптал бетинин аянтынын формуласын беребиз.

Пирамида деген эмне?

Келгиле, пирамидага катуу геометриялык аныктама берели. n тарабы жана n бурчу бар көп бурчтук бар дейли. Биз мейкиндикте көрсөтүлгөн n-бурчтун тегиздигинде болбой турган ыктыярдуу чекитти тандап, аны көп бурчтуктун ар бир чокусуна туташтырабыз. Биз кандайдыр бир көлөмгө ээ фигураны алабыз, ал n-бурчтуу пирамида деп аталат. Мисалы, төмөнкү сүрөттө беш бурчтуу пирамида кандай болоорун көрсөтөлү.

Пирамиданын эки маанилүү элементи – анын негизи (n-gon) жана үстү. Бул элементтер бири-бири менен жалпысынан бирдей эмес n үч бурчтук менен байланышкан. Перпендикуляр төмөндөдүжогорудан ылдыйга карай фигуранын бийиктиги деп аталат. Эгерде ал негизди геометриялык борбордо кесип өтсө (көп бурчтуктун массасынын борборуна дал келсе), анда мындай пирамида түз сызык деп аталат. Эгерде бул шарттан тышкары негизи регулярдуу көп бурчтук болсо, анда бүт пирамида регулярдуу деп аталат. Төмөнкү сүрөттө үч бурчтуу, төрт бурчтуу, беш бурчтуу жана алты бурчтуу негиздери менен кадимки пирамидалар кандай болоору көрсөтүлгөн.

Пирамиданын бети

Регитимдүү төрт бурчтуу пирамиданын каптал бетинин аянты жөнүндө суроого өтүүдөн мурун, биз беттин өзү түшүнүгүнө токтолобуз.

Жогоруда айтылгандай жана сандарда көрсөтүлгөндөй, каалаган пирамида беттердин же капталдардын жыйындысынан түзүлөт. Бир жагы негиз, n тарабы үч бурчтук. Бүтүндөй фигуранын бети анын ар бир тарабынын аянттарынын суммасы болуп саналат.

Бетти ачып жаткан фигуранын мисалында изилдөө ыңгайлуу. Кадимки төрт бурчтуу пирамиданын скандоосу төмөндөгү сүрөттөрдө көрсөтүлгөн.

Биз анын бетинин аянты бирдей тегиз жактуу үч бурчтуктун төрт аянтынын жана квадраттын аянтынын суммасына барабар экенин көрүп жатабыз.

Фигуранын капталдарын түзгөн бардык үч бурчтуктардын жалпы аянты каптал бетинин аянты деп аталат. Эми аны кадимки төрт бурчтуу пирамида үчүн кантип эсептөө керектигин көрсөтөбүз.

Төрт бурчтуу регулярдуу пирамиданын каптал бетинин аянты

Капталдын аянтын эсептөө үчүнкөрсөтүлгөн фигуранын бетинде, биз дагы бир жолу жогорудагы сканерге кайрылабыз. Биз квадраттык негиздин тарабын билебиз дейли. Аны а символу менен белгилейли. Төрт бирдей үч бурчтуктун ар биринин узундугу a болгон негизи бар экенин көрүүгө болот. Алардын жалпы аянтын эсептөө үчүн, бир үч бурчтук үчүн бул маанини билүү керек. Геометрия курсунан белгилүү болгондой S_{t үч бурчтуктун аянты негиз менен бийиктиктин көбөйтүндүсүнө барабар, аны жарымга бөлүү керек. Бул:}

S_t=1/2h_ba.

Бул жерде h_b - пайдубалына тартылган тең жактуу үч бурчтуктун бийиктиги a. Пирамида үчүн бул бийиктик апотем болуп саналат. Эми сөз болуп жаткан пирамиданын каптал бетинин S_{b аянтын алуу үчүн алынган туюнтманы 4кө көбөйтүү керек:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Бул формула эки параметрди камтыйт: апотем жана негиздин каптал жагы. Эгерде экинчиси маселелердин көпчүлүк шарттарында белгилүү болсо, анда биринчисин башка чоңдуктарды билип туруп эсептөө керек. Бул жерде эки учур үчүн h_{b апотемасын эсептөө формулалары келтирилген:}

• каптал кабыргасынын узундугу белгилүү болгондо;
• пирамиданын бийиктиги белгилүү болгондо.

Эгер каптал четинин узундугун (тең бурчтуу үч бурчтуктун капталын) L символу менен белгилесек, h_{b апотемасы төмөнкү формула менен аныкталат:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Бул туюнтма каптал беттик үч бурчтук үчүн Пифагор теоремасын колдонуунун натыйжасы.

Эгер белгилүү болсопирамиданын бийиктиги h, анда apotema h_{b төмөнкүчө эсептелиши мүмкүн:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Пирамиданын ичинде h жана a/2 кааттары жана гипотенузасы h_{b түзгөн тик бурчтуу үч бурчтукту карасак, бул туюнтманы алуу да кыйын эмес.}

Эки кызыктуу маселени чечүү менен бул формулаларды кантип колдонууну көрсөтөлү.

Белгилүү беттин аянты менен көйгөй

Кадимки төрт бурчтуу пирамиданын каптал бетинин аянты 108 см² экени белгилүү. Бул пирамиданын бийиктиги 7 см болсо, анын апотем h_{b узундугунун маанисин эсептөө зарыл.}

Бийиктик аркылуу каптал бетинин S_{b аянтынын формуласын жазалы. Бизде:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Бул жерде биз жөн гана S_{b туюнтмасына тиешелүү апотема формуласын койдук. Келгиле, теңдеменин эки тарабын тең квадраттайлы:}

S_b²=4a²h² + a^4.

Анын маанисин табуу үчүн өзгөрмөлөрдү өзгөртөлү:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Биз эми белгилүү маанилерди алмаштырып, квадраттык теңдемени чечебиз:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Бул теңдеменин оң тамырын гана жаздык. Анда пирамиданын пайдубалынын капталдары:

a=√t=√47,8355 ≈ 6,916 см.

Апотеманын узундугун алуу үчүн,жөн гана формуланы колдонуңуз:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 карагыла}

Хеопс пирамидасынын каптал бети

Эң чоң Египет пирамидасынын каптал бетинин аянтынын маанисин аныктаңыз. Анын түбүндө капталынын узундугу 230,363 метр квадрат жайгашканы белгилүү. Түзүмдүн бийиктиги алгач 146,5 метрди түзгөн. Бул сандарды S_{b үчүн тиешелүү формулага алмаштырсак, биз: алабыз}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

Табылган маани 17 футбол талаасынын аянтынан бир аз чоңураак.