Бир чекиттен тегиздикке же түз сызыкка чейинки аралыкты билүү мейкиндиктеги фигуралардын көлөмүн жана бетинин аянтын эсептөөгө мүмкүндүк берет. Бул аралыкты геометрияда эсептөө көрсөтүлгөн геометриялык объекттер үчүн тиешелүү теңдемелерди колдонуу менен жүргүзүлөт. Макалада аны аныктоо үчүн кандай формулаларды колдонсо болорун көрсөтөбүз.
Сызыктык жана тегиздик теңдемелер
Бир чекиттен тегиздикке жана сызыкка чейинки аралыкты аныктоо формулаларын берүүдөн мурун, келгиле, бул объекттерди кандай теңдемелер сыпаттаарын көрсөтөлү.
Нокатты аныктоо үчүн берилген координат октор системасындагы координаттардын жыйындысы колдонулат. Бул жерде биз огу бирдей бирдик векторлоруна ээ болгон жана өз ара перпендикуляр болгон декарттык тик бурчтук системасын гана карайбыз. Тегиздикте ыктыярдуу чекит эки координат, мейкиндикте үч координат менен сүрөттөлөт.
Түз сызыкты аныктоо үчүн теңдемелердин ар кандай түрлөрү колдонулат. Макаланын темасына ылайык, биз сунуштайбызалардын экөөсү гана эки өлчөмдүү мейкиндикте сызыктарды аныктоо үчүн колдонулат.
Вектордук теңдеме. Ал төмөнкү белгиге ээ:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Бул жердеги биринчи мүчө сызыкта жаткан белгилүү чекиттин координаталарын билдирет. Экинчи мүчө - багыт векторунун координаттары каалаган λ санына көбөйтүлөт.
Жалпы теңдеме. Анын белгилөө төмөнкүчө:
Ax + By + C=0;
бул жерде A, B, C кээ бир коэффициенттер.
Жалпы теңдеме көбүнчө тегиздиктеги сызыктарды аныктоо үчүн колдонулат, бирок чекиттен тегиздиктеги сызыкка чейинки аралыкты табуу үчүн вектордук туюнтма менен иштөө ыңгайлуу.
Үч өлчөмдүү мейкиндиктеги тегиздикти да бир нече математикалык жол менен жазууга болот. Ошентсе да, көбүнчө маселелерде төмөнкүдөй жазылган жалпы теңдеме бар:
Ax + By + Cz + D=0.
Бул белгинин башкаларга салыштырмалуу артыкчылыгы анын тегиздикке перпендикуляр болгон вектордун координаталарын ачык камтыганында. Бул вектор ал үчүн багыттоочу деп аталат, ал нормалдун багыты менен дал келет жана координаттары (A; B; C) ге барабар.
Жогорудагы туюнтма эки өлчөмдүү мейкиндикте түз сызык үчүн жалпы теңдеме жазуу формасына дал келерин эске алыңыз, андыктан маселелерди чечүүдө бул геометриялык объектилерди чаташтыруудан этият болуу керек.
Точка менен сызыктын ортосундагы аралык
Келгиле, түз сызык менен ортосундагы аралыкты кантип эсептөө керектигин көрсөтөлүэки өлчөмдүү мейкиндикте чекит.
Кайсы бир чекит болсун Q(x1; y1) жана берилген сызык:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Сиз менен чекиттин ортосундагы аралык Q чекитинен ага түшүрүлгөн бул сызыкка перпендикуляр болгон сегменттин узундугу катары түшүнүлөт.
Бул аралыкты эсептөөдөн мурун, бул теңдемеге Q координаттарын алмаштыруу керек. Эгерде алар аны канааттандырса, анда Q берилген сызыкка кирет жана тиешелүү аралык нөлгө барабар. Эгерде чекиттин координаттары теңдикке алып келбесе, анда геометриялык объектилердин ортосундагы аралык нөлгө барабар эмес. Аны формула менен эсептесе болот:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Бул жерде P түз сызыктын эркин чекити, ал PQ¯ векторунун башталышы. u¯ вектору түз сызык үчүн багыттоочу сегмент, башкача айтканда, анын координаттары (a; b).
Бул формуланы колдонуу үчүн сандагы кайчылаш көбөйтүндү эсептөө мүмкүнчүлүгү талап кылынат.
Точка жана сызык менен көйгөй
Сиз Q(-3; 1) менен теңдемени канааттандырган түз сызыктын ортосундагы аралыкты табышыңыз керек дейли:
y=5x -2.
Туюнтмага Q координаталарын коюп, Q сызыкта жатпасын текшере алабыз. Эгерде сиз бул теңдемени вектордук формада көрсөтсөңүз, жогорудагы абзацта берилген d үчүн формуланы колдонсоңуз болот. Келгиле, муну мындай кылалы:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Эми бул сызыктын каалаган жерин алалы, мисалы (0; -2) жана андан башталып Q: менен аяктаган векторду курабыз
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Эми аралыкты аныктоо үчүн формуланы колдонуңуз, биз: алабыз
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Точкадан учакка чейинки аралык
Түз сызыктагыдай эле, тегиздик менен мейкиндиктеги чекиттин ортосундагы аралык деп берилген чекиттен тегиздикке перпендикуляр түрдө түшүрүлгөн жана аны кесип өткөн сегменттин узундугу түшүнүлөт.
Космосто чекит үч координат менен берилет. Алар барабар болсо (x1; y1; z1), анда ортосундагы аралык тегиздик жана ал чекит формула менен эсептелсе болот:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
Формуланы колдонуу учактан сызыкка чейинки аралыкты гана табууга мүмкүндүк берерин эске алыңыз. Перпендикуляр сегмент тегиздик менен кесилишкен чекиттин координаталарын табуу үчүн бул кесинди таандык болгон сызыктын теңдемесин жазып, андан кийин бул сызык менен берилген тегиздиктин орток чекитин табуу керек.
Учак жана чекит маселеси
Эгер чекиттин координаталары (3; -1; 2) жана тегиздик төмөнкүчө аныкталса, чекиттен тегиздикке чейинки аралыкты табыңыз:
-y + 3z=0.
Тийиштүү формуланы колдонуу үчүн, адегенде үчүн коэффициенттерди жазабызберилген учак. Өзгөрүлмө х жана эркин мүчө болбогондуктан, A жана D коэффициенттери нөлгө барабар. Бизде:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
Бул тегиздик координатор аркылуу өтөөрүн жана х огу ага таандык экенин көрсөтүү оңой.
Нокаттын координаталарын жана тегиздиктин коэффициенттерин d аралыгынын формуласына алмаштырсак:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Эгер сиз чекиттин x-координатын өзгөртсөңүз, анда d аралыгы өзгөрбөй турганын эске алыңыз. Бул факт чекиттердин жыйындысы (x; -1; 2) берилген тегиздикке параллель түз сызыкты түзөрүн билдирет.
