Цилиндр: каптал бетинин аянты. Цилиндрдин каптал бетинин аянтынын формуласы

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2024-01-02 17:51

Стереометрияны үйрөнүүдө негизги темалардын бири «Цилиндр». Каптал бетинин аянты негизги болбосо да, геометриялык маселелерди чечүүдө маанилүү формула болуп эсептелет. Бирок, мисалдар аркылуу өтүүгө жана ар кандай теоремаларды далилдөөгө жардам бере турган аныктамаларды эстеп калуу маанилүү.

Цилиндр түшүнүгү

Адегенде бир нече аныктамаларды карап чыгышыбыз керек. Аларды изилдегенден кийин гана цилиндрдин каптал бетинин аянтынын формуласы жөнүндө маселени кароого болот. Бул жазуунун негизинде башка туюнтмаларды эсептөөгө болот.

• Цилиндрдик бет деп генатрикс тарабынан сүрөттөлгөн, кыймылдуу жана берилген багытка параллель бойдон калган, учурдагы ийри сызык боюнча тайган тегиздик түшүнүлөт.
• Экинчи аныктама да бар: цилиндрдик бет берилген ийри сызыкты кесип өткөн параллель сызыктардын жыйындысынан түзүлөт.
• Генератив шарттуу түрдө цилиндрдин бийиктиги деп аталат. Ал базанын борборунан өткөн огунун айланасында кыймылдаганда,белгиленген геометриялык дене алынды.
• Октун асты фигуранын эки негизин тең кесип өткөн түз сызыкты билдирет.
• Цилиндр - кесилишкен каптал бети жана 2 параллелдүү тегиздик менен чектелген стереометриялык дене.

Бул үч өлчөмдүү фигуранын түрлөрү бар:

1. Тегерек – жетектөөчүсү тегерек болгон цилиндр. Анын негизги компоненттери базанын радиусу жана генератрикс болуп саналат. Акыркысы фигуранын бийиктигине барабар.
2. Түз цилиндр бар. Ал генатрицанын фигуранын негиздерине перпендикулярдыгынан улам ушундай аталышка ээ болгон.
3. Үчүнчү түрү - ийилген цилиндр. Окуу китептеринде анын башка аталышын да тапса болот - "негизи ийилген тегерек цилиндр". Бул көрсөткүч негиздин радиусун, минималдуу жана максималдуу бийиктиктерин аныктайт.
4. Тең жактуу цилиндр деп тегерек тегиздиктин бийиктиги менен диаметри бирдей болгон дене түшүнүлөт.

Символдор

Салттуу түрдө цилиндрдин негизги "компоненттери" төмөнкүчө аталат:

• Негиздин радиусу R (ал ошондой эле стереометриялык фигуранын ошол эле маанисин алмаштырат).
• Генератив – L.
• Бою – H.
• Базалык аймак - S_{база (башкача айтканда, көрсөтүлгөн тегерек параметрин табышыңыз керек).}
• Кыйшык цилиндр бийиктиги – h₁, h_{2(минималдуу жана максималдуу).}
• Каптал бетинин аянты - S _{side (эгер аны кеңейтсеңиз, сиз аласызтик бурчтуктун түрү).}
• Стереометриялык фигуранын көлөмү - V.
• Беттин жалпы аянты – S.

Стереометриялык фигуранын “компоненттери”

Цилиндрди изилдөөдө каптал бетинин аянты маанилүү роль ойнойт. Бул бул формула бир нече башка, татаалыраак болгондорго киргендигине байланыштуу. Андыктан теорияны жакшы билиш керек.

Фигуранын негизги компоненттери:

1. Каптал бети. Белгилүү болгондой, ал берилген ийри сызык боюнча генератриканын кыймылынын эсебинен алынат.
2. Толук бетке учурдагы негиздер жана каптал тегиздик кирет.
3. Цилиндрдин кесилиши, эреже катары, фигуранын огуна параллель жайгашкан тик бурчтук. Болбосо, ал учак деп аталат. Көрсө, узундугу жана туурасы башка фигуралардын жарым-жартылай компоненттери болуп саналат. Ошентип, шарттуу түрдө, бөлүмдүн узундугу генераторлор болуп саналат. Туурасы - стереометриялык фигуранын параллелдүү аккорддору.
4. Октук бөлүм учактын дененин борбору аркылуу жайгашкан жерин билдирет.
5. Акыры, акыркы аныктама. Тангенс – цилиндрдин генатриксинен өтүүчү жана октук кесилишине тик бурчта жайгашкан тегиздик. Бул учурда бир шарт аткарылышы керек. Көрсөтүлгөн генератрица октук бөлүмдүн тегиздигине киргизилиши керек.

Цилиндр менен иштөөнүн негизги формулалары

Цилиндрдин бетинин аянтын кантип табуу керек деген суроого жооп берүү үчүн стереометриялык фигуранын негизги «компоненттерин» жана аларды табуу формулаларын изилдөө керек.

Бул формулалар адегенде ийилген цилиндр үчүн, андан кийин түз үчүн туюнтмалар берилгени менен айырмаланат.

Деконструкцияланган мисалдар

1-тапшырма.

Цилиндрдин каптал бетинин аянтын билүү зарыл. AC=8 см кесиминин диагоналы берилген (андан тышкары, ал октук). Гератрикс менен байланышта болгондо, _{<ACD=30° чыгат}

Чечим. Диагоналдык жана бурчтун маанилери белгилүү болгондуктан, бул учурда:

CD=ACcos 30°

Комментарий. Үч бурчтук ACD, бул өзгөчө мисалда, тик бурчтук болуп саналат. Бул CD жана AC бөлүү коэффициенти=берилген бурчтун косинусун билдирет. Тригонометриялык функциялардын маанисин атайын таблицадан тапса болот.

Ошондой эле, сиз AD маанисин таба аласыз:

AD=ACsin 30°

Эми сиз каалаган натыйжаны төмөнкү формуланы колдонуу менен эсептешиңиз керек: цилиндрдин каптал бетинин аянты "pi" санын, фигуранын радиусун жана анын бийиктигин көбөйтүүнүн эки эселенген натыйжасына барабар. Дагы бир формуланы колдонуу керек: цилиндрдин негизинин аянты. Бул радиустун квадратына "пи" көбөйтүлгөн натыйжага барабар. Акыр-аягы, акыркы формула: жалпы аянты. Бул мурунку эки аймактын суммасына барабар.

2-тапшырма.

Цилиндрлер берилет. Алардын көлөмү=128н см³. Кайсы цилиндр эң кичинеси бартолук бети?

Чечим. Алгач фигуранын көлөмүн жана анын бийиктигин табуу үчүн формулаларды колдонушуңуз керек.

Цилиндрдин жалпы бетинин аянты теориядан белгилүү болгондуктан, анын формуласы колдонулушу керек.

Эгерде алынган формуланы цилиндрдин аянтынын функциясы катары карасак, анда минималдуу "көрсөткүчкө" экстремум чекитинде жетет. Акыркы маанини алуу үчүн дифференциацияны колдонушуңуз керек.

Формулаларды туундуларды табуу үчүн атайын таблицадан көрүүгө болот. Келечекте табылган натыйжа нөлгө барабар болуп, теңдеменин чечими табылат.

Жооп: S_{min h=1/32 см, R=64 см жеткенде болот.}

3-маселе.

Стереометриялык фигура берилген - цилиндр жана секция. Акыркысы стереометриялык дененин огуна параллель жайгашкандай ишке ашырылат. Цилиндр төмөнкүдөй параметрлерге ээ: VK=17 см, h=15 см, R=5 см. Бул кесим менен огтун ортосундагы аралыкты табуу керек.

Чечим.

Цилиндрдин кесилиши VSCM, б.а. тик бурчтук деп түшүнүлгөндүктөн, анын капталы VM=h. WMC каралышы керек. Үч бурчтук тик бурчтуу. Бул билдирүүгө таянып, биз MK=BC деген туура божомолду чыгара алабыз.

VK²=VM² + MK²

MK²=VK² - VM²

MK²=17² - 15²

MK²=64

MK=8

Бул жерден MK=BC=8 см деген жыйынтыкка келсек болот.

Кийинки кадам фигуранын негизи аркылуу кесинди тартуу. Алынган тегиздикти эске алуу керек.

AD – стереометриялык фигуранын диаметри. Ал көйгөй билдирүүсүндө айтылган бөлүмгө параллелдүү.

BC - учурдагы тик бурчтуктун тегиздигинде жайгашкан түз сызык.

ABCD – трапеция. Белгилүү бир учурда, тегерекче сүрөттөлгөндүктөн, ал тең жактуу деп эсептелет.

Эгер сиз пайда болгон трапециянын бийиктигин тапсаңыз, маселенин башында берилген жоопту ала аласыз. Тактап айтканда: ог менен тартылган кесимдин ортосундагы аралыкты табуу.

Бул үчүн AD жана OS маанилерин табышыңыз керек.

Жооп: бөлүк огунан 3 см алыс жайгашкан.

Материалды консолидациялоодо көйгөйлөр

1-мисал.

Цилиндр берилген. каптал бетинин аянты андан аркы чечим колдонулат. Башка варианттар белгилүү. Негиздин аянты Q, октук кесиминин аянты M. Бул S табуу керек. Башкача айтканда, цилиндрдин жалпы аянты.

Мисал 2.

Цилиндр берилген. Каптал бетинин аянты маселени чечүүнүн кадамдарынын биринде табылышы керек. Белгилүү болгондой, бийиктиги=4 см, радиус=2 см. Стереометриялык фигуранын жалпы аянтын табуу керек.