Туунду деген түшүнүк ар бирибизге мектептен бери тааныш болсо керек. Адатта студенттер муну түшүнүү кыйынга турат, шексиз, абдан маанилүү нерсе. Ал жигердүү адамдардын жашоосунун ар кандай тармактарында колдонулат жана көптөгөн инженердик иштеп чыгуулар туундунун жардамы менен алынган математикалык эсептөөлөргө так негизделген. Бирок сандардын туундулары деген эмне, аларды кантип эсептөө керек жана алар бизге кайда пайдалуу экенин талдоодон мурун, келгиле, тарыхка сүңгүп алалы.
Тарых
Математикалык анализдин негизи болгон туунду концепциясын («ойлоп тапкан» деп айтуу туура болмок, анткени ал табиятта андай болгон эмес) баарыбызга белгилүү Исаак Ньютон тарабынан ачылган. бүткүл дүйнөлүк тартылуу мыйзамынын ачылышынан. Денелердин ылдамдыгы менен ылдамдануу табиятын байланыштыруу үчүн физикада бул түшүнүктү биринчи жолу колдонгон ал. Ал эми көптөгөн илимпоздор дагы эле Ньютонду бул кереметтүү ойлоп табуусу үчүн макташат, анткени чындыгында ал дифференциалдык жана интегралдык эсептөөнүн негизин, чындыгында математиканын бүтүндөй “эсептөө” чөйрөсүнүн негизин ойлоп тапкан. Эгерде ошол убакта Нобель сыйлыгы болсо, Ньютон аны бир нече жолу чоң ыктымалдуулук менен алмак.
Башка улуу акылдарсыз эмес. Ньютондон башкасыЛеонхард Эйлер, Луи Лагранж жана Готфрид Лейбниц сыяктуу көрүнүктүү математика генийлери туунду жана интегралды иштеп чыгуунун үстүндө иштешкен. Ошолордун аркасы менен дифференциалдык эсептөө теориясын ушул күнгө чейин бар болгон формада алдык. Айтмакчы, туундунун геометриялык маанисин Лейбниц ачкан, ал функциянын графигине тангенстин жантаймасынын тангенсинен башка эч нерсе эмес болуп чыкты.
Сандардын туундулары деген эмне? Келгиле, мектепте эмнелер өткөнүн бир аз кайталайлы.
Туунду деген эмне?
Бул түшүнүктү бир нече ар кандай жолдор менен аныктаса болот. Эң жөнөкөй түшүндүрмө - бул туунду функциянын өзгөрүү ылдамдыгы. хтын кандайдыр бир у функциясынын графигин элестетиңиз. Эгерде ал түз болбосо, анда анын графикте кээ бир ийри сызыктары, өсүү жана төмөндөө мезгилдери бар. Бул графиктин кандайдыр бир чексиз кичинекей интервалын алсак, ал түз сызык сегменти болот. Ошентип, у координатасы боюнча чексиз кичинекей сегменттин өлчөмүнүн х координатасы боюнча өлчөмүнө болгон катышы бул функциянын берилген чекиттеги туундусу болот. Эгерде функцияны белгилүү бир чекитте эмес, бүтүндөй деп эсептесек, анда биз туунду функцияны алабыз, башкача айтканда у-нун х-дан белгилүү бир көз карандылыгын алабыз.
Мындан тышкары, туундунун функциянын өзгөрүү ылдамдыгы катары физикалык маанисинен тышкары, геометриялык мааниси да бар. Биз азыр ал жөнүндө сүйлөшөбүз.
Геометриялык маани
Сандардын туундулары белгилүү бир санды билдирет, алар туура түшүнбөстөн алып келбейтмаанисиз. Көрсө, туунду функциянын өсүү же азаюу ылдамдыгын гана көрсөтпөстөн, берилген чекиттеги функциянын графигинин жантайышынын тангенсин да көрсөтөт экен. Өтө так аныктама эмес. Аны кененирээк талдап көрөлү. Бизде функциянын графиги бар дейли (кызыкчылык үчүн ийри сызыкты алалы). Анын чексиз саны бар, бирок бир гана чекит максималдуу же минимумга ээ болгон аймактар бар. Мындай чекит аркылуу ошол чекитте функциянын графигине перпендикуляр боло турган сызыкты тартууга болот. Мындай сызык тангенс деп аталат. Биз аны OX огу менен кесилишине чейин өткөрдүк дейли. Ошентип, тангенс менен OX огунун ортосунда алынган бурч туунду тарабынан аныкталат. Тагыраак айтканда, бул бурчтун тангенси ага барабар болот.
Келгиле, өзгөчө учурлар жөнүндө бир аз сүйлөшөлү жана сандардын туундуларын талдайлы.
Өзгөчө учурлар
Жогоруда айтылгандай, сандардын туундулары белгилүү бир учурда туундунун маанилери. Мисалы, y=x2 функциясын алалы. Туунду х – бул сан, ал эми жалпы учурда 2хке барабар функция. Эгерде туундуну, айталы, x0=1 чекитинде эсептөө керек болсо, анда y'(1)=21=2 алабыз. Баары абдан жөнөкөй. Кызыктуу учур татаал сандын туундусу. Биз комплекстүү сан деген эмне экенин кеңири түшүндүрбөйбүз. Келгиле, бул ойдон чыгарылган бирдикти камтыган сан - квадраты -1 болгон сан деп коёлу. Мындай туундуну эсептөө төмөнкүдөй болгондо гана мүмкүн болотшарттар:
1) Y жана Xге карата чыныгы жана элестүү бөлүктөрүнүн биринчи даражадагы жарым-жартылай туундулары болушу керек.
2) Биринчи абзацта сүрөттөлгөн жарым-жартылай туундулардын бирдейлиги менен байланышкан Коши-Риман шарттары аткарылган.
Дагы бир кызыктуу учур, мурункудай татаал болбосо да, терс сандын туундусу. Чынында, ар кандай терс санды -1ге көбөйтүлгөн оң сан катары көрсөтсө болот. Ооба, туруктуу жана функциянын туундусу туруктуулукту функциянын туундусуна көбөйтүүгө барабар.
Туундунун күнүмдүк жашоодогу ролу жөнүндө билүү кызыктуу болот жана биз муну азыр талкуулайбыз.
Колдонмо
Ар бирибиз жашоосунда жок дегенде бир жолу математиканын ага пайдалуу болушу күмөн деп ойлошубуз мүмкүн. Ал эми туунду сыяктуу татаал нерсе, балким, эч кандай колдонууга ээ эмес. Чынында, математика фундаменталдуу илим жана анын бардык жемиштерин негизинен физика, химия, астрономия, жада калса экономика иштеп чыгат. Туунду математикалык анализдин башталышы болгон, ал бизге функциялардын графиктеринен тыянак чыгарууга мүмкүнчүлүк берди жана биз анын аркасында жаратылыш мыйзамдарын чечмелеп, аларды өзүбүздүн пайдабызга бурганды үйрөндүк.
Тыянак
Албетте, чыныгы жашоодо ар бир адамга туунду керек боло бербейт. Бирок математика логиканы өнүктүрөт, ал сөзсүз керек болот. Математика илимдердин ханышасы деп бекеринен айтылган эмес: ал билимдин башка тармактарын түшүнүүгө негиз түзөт.
