Геометриялык маселелерди мейкиндикте чыгарууда пайда болгон фигуралардын бири конус. Ал көп кырдуулардан айырмаланып, айлануу фигураларынын классына кирет. Келгиле, макалада ал геометрияда эмнени билдирерин карап көрөлү жана конустун ар кандай бөлүмдөрүнүн өзгөчөлүктөрүн изилдеп көрөлү.
Геометриядагы конус
Учакта кандайдыр бир ийри сызык бар деп ойлойлу. Бул парабола, тегерек, эллипс жана башкалар болушу мүмкүн. Көрсөтүлгөн тегиздикке кирбеген чекитти алып, ага ийри сызыктын бардык чекиттерин бириктириңиз. Алынган бет конус же жөн эле конус деп аталат.
Эгер баштапкы ийри сызык жабык болсо, анда конус бети зат менен толтурулат. Ушундай жол менен алынган фигура үч өлчөмдүү бир дене. Ал ошондой эле конус деп аталат. Төмөндө бир нече кагаз конустары көрсөтүлгөн.
Конустук бет күнүмдүк жашоодо кездешет. Мисалы, балмуздак же чаар жол конус айдоочулардын көңүлүн буруу үчүн жасалган бул формага ээ.жөө жүргүнчүлөр.
Конустардын түрлөрү
Сиз ойлогондой, каралып жаткан цифралар бири-биринен түзүлүүчү ийри сызыктын түрү боюнча айырмаланат. Мисалы, тегерек конус же эллиптикалык конус бар. Бул ийри фигуранын негизи деп аталат. Бирок, негиздин формасы конустарды классификациялоого мүмкүндүк берген жалгыз өзгөчөлүк эмес.
Экинчи маанилүү мүнөздөмөсү - бийиктиктин негизге салыштырмалуу абалы. Конустун бийиктиги түз сызык сегменти болуп саналат, ал фигуранын чокусунан негиздин тегиздигине чейин түшүрүлгөн жана бул тегиздикке перпендикуляр. Эгерде бийиктик негизди геометриялык борбордо (мисалы, тегеректин борборунда) кессе, анда конус түз болот, ал эми перпендикуляр сегмент негиздин башка чекитине же андан ары түшсө, анда фигура кыйгач.
Мындан ары макалада каралып жаткан фигуралар классынын жаркын өкүлү катары тегерек түз конусту гана карайбыз.
Конус элементтеринин геометриялык аттары
Жогоруда конустун негизи бар деп айтылган. Ал конустун жетектөөчүсү деп аталган тегерек менен чектелген. Багытчыны негиздин тегиздигинде жатпаган чекитке туташтыруучу сегменттер генераторлор деп аталат. Генераторлордун бардык чекиттеринин жыйындысы фигуранын конус же каптал бети деп аталат. Тегерек оң конус үчүн бардык генераторлордун узундугу бирдей.
Генераторлор кесилишкен чекит фигуранын чокусу деп аталат. Көп кырдуулардан айырмаланып, конустун бир чокусу бар жана жокчети.
Фигуранын үстү менен тегеректин борбору аркылуу өткөн түз сызык огу деп аталат. Ок түз конустун бийиктигин камтыйт, ошондуктан ал негиздин тегиздиги менен тик бурчту түзөт. Бул маалымат конустун октук бөлүгүнүн аянтын эсептөөдө маанилүү.
Тегерек түз конус - айлануу фигурасы
Карастырылып жаткан конус жетишерлик симметриялуу фигура, аны үч бурчтуктун айлануусунун натыйжасында алууга болот. Бизде тик бурчтуу үч бурчтук бар дейли. Конус алуу үчүн төмөнкү сүрөттө көрсөтүлгөндөй, бул үч бурчтукту буттардын биринин айланасында айлантуу жетиштүү.
Айлануу огу конустун огу экенин көрүүгө болот. Бир буту фигуранын бийиктигине барабар болот, ал эми экинчи буту негиздин радиусу болуп калат. Айлануунун натыйжасында үч бурчтуктун гипотенузасы конустук бетти сүрөттөйт. Бул конустун генератрикасы болот.
Тегерек түз конусту алуунун бул ыкмасы фигуранын сызыктуу параметрлеринин: бийиктиги h, тегерек негиздин радиусу r жана багыттоочу g ортосундагы математикалык байланышты изилдөө үчүн колдонууга ыңгайлуу. Тиешелүү формула тик бурчтуктун касиеттеринен келип чыгат. Ал төмөндө келтирилген:
g2=h2+ r2.
Бизде бир теңдеме жана үч өзгөрмө бар болгондуктан, бул тегерек конустун параметрлерин уникалдуу коюу үчүн каалаган эки чоңдукту билишиңиз керек дегенди билдирет.
Конустун фигуранын чокусун камтыбаган тегиздиктин кесимдери
Фигуранын бөлүмдөрүн куруу маселеси эмесарзыбаган. Чындыгында конустун бети менен кесилишинин формасы фигуранын жана секанттын салыштырмалуу абалына көз каранды.
Конусту тегиздик менен кесебиз дейли. Бул геометриялык операциянын жыйынтыгы кандай болот? Бөлүмдүн формасынын параметрлери төмөнкү сүрөттө көрсөтүлгөн.
Кызыл түстөгү бөлүм тегерек. Ал конустун түбүнө параллель болгон тегиздик менен фигуранын кесилишинин натыйжасында пайда болот. Бул фигуранын огуна перпендикуляр болгон бөлүктөр. Кесүүчү тегиздиктин үстүндө пайда болгон фигура түпнуска окшош конус, бирок түбүндө кичирээк тегерекчеси бар.
Жашыл бөлүк эллипс. Ал кесүүчү тегиздик негизге параллель болбосо, ал конустун каптал бетин гана кесип өтсө алынат. Учактын үстүндө кесилген фигура эллиптикалык кыйгач конус деп аталат.
Көк жана кызгылт сары бөлүктөр тиешелүүлүгүнө жараша параболикалык жана гиперболикалык. Сүрөттөн көрүнүп тургандай, алар кесүүчү тегиздик бир эле учурда фигуранын каптал бети менен негизин кесип өтсө алынат.
Каралган конустун кесилиштеринин аянттарын аныктоо үчүн тегиздиктеги тиешелүү фигура үчүн формулаларды колдонуу керек. Мисалы, тегерек үчүн бул Pi саны радиустун квадратына көбөйтүлгөн, ал эми эллипс үчүн бул Pi менен кичи жана чоң жарым октордун узундугунун көбөйтүлүшү:
тегерек: S=pir2;
эллипс: S=piab.
Конустун чокусун камтыган бөлүмдөр
Эми кесүү тегиздиги болсо, пайда болгон бөлүмдөрдүн варианттарын карап көрөлүконустун үстү аркылуу өтүү. Үч учур болушу мүмкүн:
- Бөлүм бир пункттан турат. Мисалы, чокусу аркылуу өткөн жана негизге параллелдүү тегиздик дал ушундай кесипти берет.
- Бөлүм түз сызык. Бул жагдай учак конус бетине тангенс болгондо пайда болот. Бул учурда бөлүмдүн түз сызыгы конустун генератрикасы болот.
- Октук бөлүм. Ал учак фигуранын үстүңкү бөлүгүн гана эмес, анын бүт огун камтыганда түзүлөт. Бул учурда, тегиздик тегерек негизге перпендикуляр болуп, конусту эки бирдей бөлүккө бөлөт.
Албетте, бөлүмдөрдүн биринчи эки түрүнүн аймактары нөлгө барабар. 3-түрдөгү конустун кесилиш аянтына келсек, бул маселе кийинки абзацта кененирээк талкууланат.
Октук бөлүм
Жогоруда конустун октук кесилиши конустун өз огу аркылуу өткөн тегиздик менен кесилишинде пайда болгон фигура экени белгиленген. Бул бөлүм төмөнкү сүрөттө көрсөтүлгөн фигураны көрсөтөт деп болжолдоо оңой.
Бул тең жактуу үч бурчтук. Конустун октук кесилишинин чокусу бул үч бурчтуктун чокусу болуп саналат, ал бирдей тараптардын кесилишинен түзүлгөн. Акыркылары конустун генератриксинин узундугуна барабар. Үч бурчтуктун негизи конустун негизинин диаметри.
Конустун октук кесилишинин аянтын эсептөө, пайда болгон үч бурчтуктун аянтын табууга азайтылат. Эгерде негиздин r радиусу жана конустун бийиктиги h адегенде белгилүү болсо, анда каралып жаткан бөлүктүн S аянты төмөнкүдөй болот:
S=hr.
Бултуюнтма үч бурчтуктун аянты үчүн стандарттык формуланы колдонуунун натыйжасы болуп саналат (бийиктиктин жарымына көбөйтүлгөн негиз).
Эгер конустун генатрисасы анын тегерек негизинин диаметрине барабар болсо, конустун октук кесилиши тең жактуу үч бурчтук экенине көңүл буруңуз.
Кесүүчү тегиздик конустун түбүнө перпендикуляр болуп, анын огу аркылуу өткөндө үч бурчтуу кесим пайда болот. Аты аталганга параллелдүү башка тегиздик бөлүмдө гиперболаны берет. Бирок, эгерде тегиздик конустун чокусун камтыса жана анын негизин диаметри аркылуу кесип өтпөсө, анда пайда болгон кесим да тең жактуу үч бурчтук болот.
Конустун сызыктуу параметрлерин аныктоо маселеси
Геометриялык маселени чечүү үчүн октук кесимдин аянты үчүн жазылган формуланы кантип колдонууну көрсөтөлү.
Конустун октук кесилишинин аянты 100 см2 экени белгилүү. Алынган үч бурчтук тең жактуу. Конустун бийиктиги жана анын негизинин радиусу канча?
Үч бурчтук тең жактуу болгондуктан, анын бийиктиги h a капталынын узундугуна төмөнкүдөй байланыштуу:
h=√3/2a.
Үч бурчтуктун капталы конустун таманынын радиусунан эки эсе чоң экенин эске алып, бул туюнтманы кесилиш аянтынын формуласына алмаштырсак:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Анда конустун бийиктиги:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Аянттын маанисин маселенин абалынан алмаштыруу калдыжана жооп алыңыз:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 см;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 см.
Кандай тармактарда каралып жаткан бөлүмдөрдүн параметрлерин билүү маанилүү?
Конус кесилиштеринин ар кандай түрлөрүн изилдөө теориялык гана кызыкчылык эмес, практикалык жактан да колдонулат.
Биринчиден, конус тилкелеринин жардамы менен катуу денелердин идеалдуу жылмакай формаларын түзүүгө мүмкүн болгон аэродинамикалык аймакты белгилей кетүү керек.
Экинчиден, конустук кесилиштер – бул космостук объекттер гравитациялык талаада кыймылдаган траекториялар. Бөлүмдүн кандай конкреттүү түрү системанын космостук денелеринин кыймылынын траекториясын билдирери алардын массаларынын, абсолюттук ылдамдыктарынын жана алардын ортосундагы аралыктардын катышы менен аныкталат.
