Күнүмдүк жашоонун көптөгөн тармактарында геометрия адамдарга маанилүү суроолорго жооп берүүгө жана жашоо көйгөйлөрүн чечүүгө жардам берет. Кеминде 4 миң жыл мурун, бул билим, мисалы, байыркы Египетте жер башкаруу үчүн колдонулган. Ал эми бүгүнкү күндө дизайнерлерден баштап архитекторлорго чейин көптөгөн кесиптер аймакты эсептөөнү билүү үчүн геометриянын негизги билимине муктаж.
Дененин бети жана анын аймагы
Бул жалпак форманын ичинде канчалык мейкиндик бар экенин өлчөө. Жалпысынан алганда, беттин аянты объекттин бетин каптаган геометриялык фигуралардын бардык аймактарынын жыйындысы. Дененин бетинин аянтын эсептөө көбүнчө күнүмдүк жашоодо талап кылынат, мисалы, дубалды жабуу үчүн канча боек же үйдүн чатырын оңдоо үчүн шифер сатып алуу керек экенин билүү үчүн.
Адамдар тор ыкмасы менен жалпак геометриялык фигуралардын аянтын аныктоону эчак эле үйрөнүшкөн. Бул эң жөнөкөй масштабдуу тордон туратквадраттар, мисалы, 1x1 см. Андан кийин форманын ичиндеги торчо квадраттардын санын санап, квадраттын аянтын оңой эсептей аласыз. Бул учурда тордун ар бир квадратынын туурасы 1 см жана бийиктиги 1 см, ал эми бул тордун квадратынын аянты бир чарчы сантиметр.
Формадагы квадраттарды эсептөө үчүн торду колдонуу - аймакты аныктоонун абдан жөнөкөй жолу, бирок аны татаал формалардын аянтын аныктоо үчүн колдонууга болбойт. Мындай татаал объектилердин аянты жөнөкөй математикалык формулаларды колдонуу менен эсептелсе болот. Жашоодо эң жөнөкөй жана эң көп колдонулган эсептөөлөр бул квадраттар менен тик бурчтуктардын аянттары, андыктан аянтты метр менен эсептөөнү билишиңиз керек.
Көбүнчө иш жүзүндөгү эсептөөлөр татаалыраак болушу мүмкүн. Мисалы, бөлмөнүн типтүү планы жөнөкөй тик бурчтук же чарчы болушу мүмкүн эмес. Бул учурда, жалпы аянтты эсептөөдөн мурун, өлчөнгөн татаал бетти бир нече жөнөкөй геометриялык фигураларга бөлүү керек.
Жөнөкөй тик бурчтук эсептөө
Айланага кылдат карасаңыз, тик бурчтуктардын көптөгөн мисалдарын көрө аласыз. Аныктама боюнча, тик бурчтук - бул бурчтары 90 градустук бурчта турган төрт тараптуу көп бурчтук. Төрт бурчтуктун денесинин аянтын эсептөө - бул адам күнүмдүк жашоодо эң көп колдонгон жөнөкөй математикалык операция. Эмне үчүн аймактын формуласын билүү маанилүү? Адамды курчап турган көптөгөн объекттер жана чөйрөлөр бартик бурчтуу формасы: үй, дубал, пол, чатыр. Жана көбүнчө курулуш же оңдоо үчүн алардын аймагын билишиңиз керек.
Эгер тик бурчтуктун узундугу b жана туурасы h болсо, анын туурасын анын узундугуна көбөйтүү аркылуу S аянтын таба алабыз. Ошондуктан: S=bxh.
Мисалы. Төрт бурчтуктун аянтын кантип эсептөө керек, эгерде капталы жана туурасы белгилүү болсо, мисалы, узундугу 4 см, туурасы 3 см болсо, анда: S=4x3=12.
Жооп: 12 см2.
Квадрат – бурчтары жана тараптары бирдей болгон тик бурчтуктун бир түрү.
S=bxb=b2.
Мисалы. Эгерде квадраттын капталдары 3 см болсо, анда S ны капталынын маанисин квадраттап таба алабыз. Демек, бизде: S=3х3=9.
Жооп: 9 см2.
Параллелограмм формулалары
Параллелограмм – бул узундуктагы эки жуп параллелдүү капталдары бар төрт жактуу көп бурчтук. Аныктама боюнча, тик бурчтук да параллелограммдын бир түрү, бирок бирдей бурчтары бар. Параллелограммдын аянты тик бурчтуктагыдай эле эсептелет (бийиктиги × туурасы), бирок бийиктик вертикалдуу тараптардын узундугун эмес, тараптардын ортосундагы аралыкты билдирерин түшүнүү керек.
Сүрөттөн көрүнүп тургандай, бийиктик параллелограммдын эки параллель капталынын ортосундагы аралык, алардын ортосунда тик бурчта жайгашкан. S=ADxh. S=bxh, мында AD=b - негиз, h - бийиктик.
Мисалы. Эгерде параллелограммдын негизи 3 см, бийиктиги 2 см болсо, анда S аянты негиз менен бийиктиктин көбөйтүндүсүнө барабар. Демек, бизде: S=3х2=6.
Жооп: 6 см2.
Трапеция негизи
Келгиле, трапециянын аянтын кантип туура эсептөө керектигин карап көрөлү. Трапеция – бул бир жуп параллелдүү капталдары бар төрт жактуу көп бурчтук. Эгерде эки параллель эмес капталынын узундугу бирдей болсо, анда бул форма тең ийилчээк же регулярдуу трапеция деп аталат. Эгерде параллель эмес тараптардын узундугу ар кандай болсо, анда ал изоскел эмес деп аталат. Бирок, аныктамадагы бул кошумча татаалдыгына карабастан, туура эмес трапециянын аянтын жөнөкөй формула менен эсептөөгө болот.
Трапециянын аянтын эсептөө үчүн өлчөөлөр:
- Транспорттордун түз четин эки параллелдүү тараптын кыскасы боюнча тууралаңыз.
- Трапециянын түбүнөн карама-каршы параллель тарапка чейин перпендикуляр сызуу үчүн транспортирди колдонуңуз.
- Бийиктик аралыкты сызгыч менен өлчөңүз.
- Кыскараак параллелдүү тараптын узундугун өлчөңүз.
- Узунураак параллелдүү тараптын узундугун өлчөңүз.
- Трапециянын аянтын табуу үчүн алгач анын эки параллелдүү капталынын орточо маанисин эсептөө керек: (a+b)/2.
- Тең бурчтуу (же кандайдыр бир) трапециянын аянты негиз менен үстүн орточо узундуктун бийиктикке көбөйтүндүсүнө барабар.
- Трапеция аянты: S=1/2×h×(a + b).
Трапециянын бийиктиги параллелограммдын бийиктиги сыяктуу ар дайым негизге перпендикуляр экендигин эске алыңыз. Мисал: a=3cm, b=5cm, h=4cm. S=4x(3+5)/2=16.
Жооп: 16 см2.
Үч бурчтуктун түрлөрү
Үч бурчтук – үч тарабы бар көп бурчтук жана төмөнкү түрлөргө бөлүнөт:
- Тең жактуу үч бурчтуктун бирдей тараптары жана бирдей бурчтары бар.
- Тең бурчтуу үч бурчтуктун эки бирдей тарабы жана эки бирдей бурч бар.
- Масштабдуу үч бурчтуктун үч бирдей эмес тарабы жана үч бирдей эмес бурчтары бар.
- Түк бурчтуктун 90 градустук бир тик бурч бар.
- Туура үч бурчтуктун бардык бурчтары 90 градустан азыраак болот.
- Түз бурчтуктун бир бурчу 90 градустан чоңураак.
Кандайдыр бир үч бурчтуктун аянты формулалар менен аныкталат.
1. Үч бурчтуктун бийиктигин жана негизин билсеңиз, анын аянтын кантип эсептөө керек:
- S=1⁄2×a×h, мында: h – бийиктик, а – негиз.
- S=1⁄2xa×b×sinα, мында: a, b каалаган эки тарап, α – алардын ортосундагы бурч.
- S=p×r, мында: p=(a+b+c) / 2 - жарым периметр, a, b, c - үч тарап, r - айлананын радиусу.
Тең жактуу үч бурчтуктун аянты:
S=a2х√3 ⁄4, мында a=b=c.
Тең бурчтуу үч бурчтуктун аянты:
S=1⁄4xbx√(4a2-b2).
2. Эки жагы берилген үч бурчтуктун аянтын жана алардын ортосундагы бурчту кантип эсептөө керек:
S=1⁄2xaxbxsinC=1⁄2xbxcxsinA=1⁄2xaxcxsinB
1-мисал: Капталы 14 см жана бийиктиги 10 см болгон үч бурчтуктун S чекин табыңыз.
Чечими: b=14 см, h=10 см,A=1⁄2х14х10=70
Жооп: 70 см2.
Мисал 2. Капталдары жана алардын ортосундагы бурч төмөнкүчө берилген үч бурчтуктун аянтын табыңыз: a=5 см жана b=7 см, C=45 градус.
Чечим: үч бурчтуктун аянты=1⁄2xaxbxsin 45.
Аян=1⁄2×5×7×0,707 (sin45=0,707 бери)
Аян=1⁄2×24, 745=12, 3725
Жооп: 12, 3725 см2.
Мисал 3. Капталдары 10 м, негизи 12 м болгон теӊ бурчтуу үч бурчтуктун аянтын (m2 менен) табыңыз.
Чечим: Тең бурчтуу үч бурчтуктун аянты төмөнкү менен аныкталат:
A=1⁄4xbx√(4a2-b2)A=1⁄4x12x√(4x(10) 2-(12)2)А=48
Жооп: 48 м2.
Мисал 4. Капталдары тиешелүүлүгүнө жараша 8, 9 жана 11 болгон үч бурчтуктун аянтын табыңыз. Бардык бирдиктер метрде (м).
Чечим: Тараптар a=8, b=9 жана c=11. Герон формуласы боюнча үч бурчтуктун аянтын төмөнкү формула менен аныктоого болот: A=√(sx(sa)x(sb)x(sc)). Биринчиден, үч бурчтуктун жарым периметри болгон s аныкташыбыз керек: s=1⁄2x(a+b+c)=1⁄2x(8+9+11)=14.
Эми жарым периметрдин маанисин Герон формуласына киргизүү менен үч бурчтуктун аянтын аныктай алабыз: A=√(sx(sa)x(sb)x(sc)). A=√(14x(14-8)x(14-9)x(14-11)). A=√(1260)=35, 50
Жооп: 35, 50 м2.
Ромбтун аянтын өлчөө
Ромб - бирдей жана бирдей тараптары бар параллелограммдын өзгөчө түрүкарама-каршы бурчтар. Ромбдун аянтын үч ыкма менен аныктоого болот.
1. Негизги бийиктик ыкмасы. Биринчиден, алардын узундугу бирдей болгондуктан, негиз катары каалаган бир тарабын тандаңыз. Андан кийин бийиктикти - тандалган негизден карама-каршы тарапка чейинки перпендикулярдык аралыкты аныктаңыз.
Аянты бул эки чоңдуктун көбөйтүндүсү жана формула менен аныкталат: S=a×h, мында: S – ромбтун аянты, h – ромбдун бийиктиги, AB=BC=AD=DC=a - ромбтун жагы
2. диагоналдык ыкмасы. Диагоналдардын узундугу белгилүү болгондо, ромбтун аянты үчүн дагы бир жөнөкөй формула. Аянты диагоналдардын жарымынын көбөйтүндүсү.
Формула катары: S=1/2xACxBD, мында: S - ромбтун аянты, AC - чоңураак диагональ, BD - кичине диагональ
3. Тригонометрияны колдонуу. Тригонометрияда каптал узундугу жана каалаган бурч белгилүү болгондо ыңгайлуу формула бар:
S=a2×sin α, мында: S – ромбтун аянты, B=BC=AD=DC=a – ромбтун тарабы, α – курч бурч, β – сүйрү бурч. бурч
Тегерек бети
Тегерек - жабык ийилген сызыктан турган форма. Сызыктын ар бир бөлүгү радиус деп аталган аймактын борборунан бирдей аралыкта жайгашкан. Байыркы доорлордон бери радиусу берилген тегеректин аянтын кантип эсептөө керектиги белгилүү. Айлананын аянты S=πxr2 формуласы боюнча эсептелет, мында: S – тегеректин аянты, π - pi (3,1415), r - тегерек радиусу.
Айлананын аянтын табуу үчүн төмөнкүнү аткарыңыз. Берилген радиусту же диаметрди r же d деп жазыңызтиешелүүлүгүнө жараша. Диаметри берилген айлананын аянтын кантип эсептөө керек? Бул такыр кыйын эмес, диаметрди 2ге бөлүү менен радиусту эсептеп, маалыматтарды калькулятордун жардамы менен же кол менен көбөйтүү керек. Жообуңуз чарчы бирдикте болот.
Маселе: Радиусу 10 см болгон айлананын аянтын табыңыз.
Чечим: Бизде тегеректин радиусу=10 см. Айлананын аянты=3, 1416×10×10=314, 16.
Жооп: 314, 16 см2.
Диаметри 15 см болгон айлананын аянтын тап.
Чечим: Бизде тегеректин диаметри=15 см. Радиусу=15/2=7,5 см. Айлананын аянты=3, 14x7, 5x7, 5=176, 625=176, 63 (2 белгиге чейин тегеректөө) үтүр).
Жооп: 176,63 см2.
Чатырлардын жөнөкөй геометриялык формалары
Чатыр жабуу иштерин аткаруудан мурун, канча материал керек экенин аныктоо үчүн чатырдын аянтын кантип эсептөө керектигин билишиңиз керек. Анын саны ар дайым чектен чыгып, курулуш калдыктарын эсепке алуу үчүн чатырдын жалпы аянтынын кеминде 10 пайызын кошуу керек.
Эсептөөдөн мурун чатырдын схемасы жөнөкөй геометриялык фигураларга бөлүнөт, биздин мисалда булар эки трапеция жана эки үч бурчтук. Трапеция элементтери үчүн чатырдын аянтын кантип эсептөө керек? Аянт төмөнкү формула боюнча эсептелинет: S=(a+b)xh/2, мында: а - ылдыйкы асманын туурасы - 10 м, б - кыр боюнча туурасы - 7 м, h - бийиктиги - 5 м..
Үч бурчтуу элементтер үчүн формула колдонулат: S=axh/2, мында: a - ылдыйкы асма боюндагы эңкейиштин туурасы - 7 м, h - эңкейиштин бийиктиги - 3 м.
Өлчөөнүн тартиби:
- Узундугун, туурасын жанашамал терезелери, анын ичинде чатырдын ар бир геометриялык формасынын бийиктиги. Бул маалымат үйдүн баштапкы курулуш планында болушу мүмкүн, же чатырдын бети салыштырмалуу төмөн жана жалпак болсо, аны өзүңүз өлчөй аласыз. Эгерде үйдүн ээси өзү чатырга аман-эсен чыга албаса, эсептөөнү имараттын сырткы өлчөөлөрү боюнча жүргүзсө болот.
- Ар бир үч бурчтук же трапеция тегиздигинин узундугу менен туурасын өзүнчө көбөйтүңүз.
- Симметриялуу үч бурчтуу тегиздиктердин аянтын үч бурчтуктун негизинин узундугун (эң узун тарабы) анын бийиктигине (эң узун капталынын ортосунан карама-каршы бурчка чейинки аралыкка) көбөйтүү менен эсептеңиз.
- Андан кийин квадрат метр менен жыйынтыкты алуу үчүн 2ге бөлүңүз. S=axh/2=7х3/2=10,5 м2.
- Трапециянын аянтын эсептеңиз, анын бийиктигине (эң узун капталдын ортосунан карама-каршы бурчка чейинки аралык) ылдыйкы ашыкчанын туурасы плюс кырдагы туурасын көбөйтүңүз.
- Анан жыйынтыкты чарчы метр менен алуу үчүн жалпыны 2ге бөлүңүз.
- Чатыр материалынын запасы үчүн 10 пайыздык кошумча акы алуу үчүн аянтты 0,1ге көбөйтүңүз S=(a+b)xh/2=(10+7)5/2=42,5м2.
- Бардык фигуралардын аймактарын чогуу кошуңуз. S=10, 5+10, 5+42, 5+42, 5=106м2.
- Натыйжада чатырдын жалпы аянты 106 м2 жана 116 м2.
Үйдөгү инструменталдык өлчөө
Үйдүн аянтын өлчөө үчүн сизге негиз түзө турган абдан так эсептөөлөрдү жүргүзүү үчүн куралдар керек болотүйдү оңдоого, сатып алууга жана сатууга же камсыздандырууга. Аянтты эсептөөдөн мурун, үй планынын эң жөнөкөй схемасын сыза турган рулетканы, карандашты жана блокнотту алышыңыз керек. Аны иштеп чыгуучунун паспортунан же башка долбоордук документтерден алса болот. Акыркы булак менен, этият болушуңуз керек, көрсөтүлгөн сандар дайыма эле так боло бербейт, мисалы, кээ бир оңдоолор аларда эске алынбай калышы мүмкүн. Андыктан аймакты өзүңүз өлчөгөнүңүз туура болот.
Үйдүн аянтын кол менен кантип эсептөө керек? Эгер полдун аянтын кол менен өлчөө керек болсо, анда ар кандай имараттын оюктарын, пайдалуу бөлмөлөрдү, үстүнкү кабаттарды, жеке имараттарды же гараждарды унутпай, тышкы дубалдарды өлчөө жакшы. Жөнөкөй негизги өлчөөлөр жасалганда, аянт үйдүн узундугун туурасына көбөйтүү жолу менен эсептелет.
Курулуш планынын формасына жараша, аны жөнөкөй геометриялык фигураларга бөлүү зарыл болушу мүмкүн. Бул мисалда үй 9 метрге 12 метрди түзүп, бизге 108 чарчы метрди берет. Гараж 6 метр 3 метр, ал 18 чарчы метр, жалпы аянты 126 чарчы метр.
Оңдогонго чейинки полдун өлчөөлөрү
Линолеумды алмаштыруу же сырдоо сыяктуу оңдоо иштерин жүргүзүү алдында полдун аянтын кантип эсептөө керек? Чарчы же тик бурчтуу бөлмө үчүн алгач бөлмөнүн узундугун жана туурасын өлчөө керек. Андан кийин узундугу менен туурасын көбөйтүп, узундугу x туурасы=аянтын алабыз. Ошентип, бир бөлмө 3 метр туурасы жана узундугу 5 метр болсо, жалпы аянты15 чарчы метр болот.
Бул өлчөө ээси өзүнүн долбоору үчүн колдонууну пландаштырып жаткан плитканын, герметиктин, линолеумдун керектүү көлөмүн эсептөө үчүн колдонулушу мүмкүн. Материалдарды тандоо аянтын эсептөө үчүн, адатта, 10% коопсуздук коэффициентин кошушуңуз керек: жөн гана аймакты 1, 1ге көбөйтүп, андан соң бүтүн санга чейин тегеректөө керек.
Жалпы аянты 15м2 болгон мисалда 16,5 чарчы метрге кошумча плитка жана эритме заказ беришиңиз керек болот. Эгерде бөлмө тик бурчтуу болбосо, жалпы аянтты эсептөө үчүн аны эки же андан көп элементардык геометриялык фигураларга бөлүшүңүз керек.
Бир эмес форманын калькулятору
Көп учурда өлчөнгөн мейкиндик өтө татаал формага ээ, аны дайыма эле жөнөкөй элементтерге бөлүүгө болбойт.
Мындай аймакты оңой аныктоо үчүн SketchAndCalc Интернет тиркемесин колдонушуңуз керек. Бул сүрөттүн каалаган формасы үчүн туура эмес фигуралар үчүн аймак эсептегичи. Бул жүктөлгөн сүрөттөрдөн эсептөөгө жөндөмдүү жалгыз аймак калькулятору, ал колдонуучуга периметрди тартуудан мурун каалаган сүрөттүн чийүү масштабын коюуга мүмкүндүк берген уникалдуу өзгөчөлүгү бар. Ошентип, туура эмес фигуранын бурчтары же ийри сызыктары оңой эсептелинет.
Жөнөкөй сөз менен айтканда, жүктөй турган сүрөт же издөө үчүн картанын дареги бар болсо, сиз туура эмес форманын аянтын, канчалык татаал болбосун, жөн гана чийүү менен эсептей аласыз.аймак периметри. Калкулятор катмарларды тартуу менен бир нече аймактын эсептөөлөрүн кошо алат. Биринчи аймакты эсептегенден кийин, сиз чексиз сандагы аймакты эсептөөгө мүмкүндүк берген жаңы чийме катмарын кошо аласыз.
Аянттык калькулятордун натыйжалары дюйм жана метр менен көрсөтүлүп, анын пайдалуулугун жогорулатат жана конверсиянын зарылдыгын жок кылат. Бул так чийүү жана масштабдоо куралдары менен бирге ар бир туура эмес форманын аймактарын так эсептөөнү камсыздайт. Ал ошондой эле туруктуу бурчтары жана так сызыктары бар кадимки көп бурчтук фигураларды жайгаштыра алат.
Чектелген үлгү куралы жалпы бурчтарга илинет жана узундуктагы сызыкты клавиатура аркылуу кол менен түзөтсө болот. Колдонмо өлчөнө турган аймак түз тарапка же узундукка ээ болсо пайдалуу. SketchAndCalc TM дагы бир уникалдуу өзгөчөлүгү - бул туура эмес фигуралар үчүн ийри сызыктарды тартуунун өркүндөтүлгөн куралы бар. Айрым аймактарды эсептегич колдонмолор карта боюнча издөөгө мүмкүндүк берет.
SketchAndCalc муну узундук жана кеңдик боюнча издөөлөрдү колдонуу менен абдан так аткарат. Ченелип жаткан аймак айыл чарба жериндеби же деңиздеби, колдонуучу издөөгө азыраак убакыт коротот жана аймакты эсептөөгө көбүрөөк убакыт коротот. Бул көптөгөн тармактарда, курулушта, багбанчылыкта колдонулуучу универсалдуу программа. Ал ошондой эле үй жана жергиликтүү аймакты жакшыртуу үчүн энтузиасттар тарабынан колдонулат. Пейзаж калькулятору же жер аянтынын калькулятору да табылгананы пайдалануучулардын арасында жерди. Эми алар участоктун аянтын тез жана оңой эсептөөнү билишет.
Бирок, бул жалпы колдонмолордон тышкары, билим берүү, медицина, илим жана изилдөө тармагында иштеген көптөгөн адамдар клетка мембраналары же биологияда табылган башка объекттер сыяктуу туура эмес формалардын аянтын эсептеп, колдонуудан ырахат алышы керек. бул колдонмо.
Математиканы күнүмдүк жашоодо колдонуу үчүн бирден бирди санай билүү жетишсиз. Айлана-чөйрөнүн маанилүү аспектиси болуп геометриялык түзүлүштөр саналат, башкача айтканда, тик бурчтуу, төрт бурчтуу, тегерек же үч бурчтук формадагы күнүмдүк буюмдарды көрсөтүү. Жана керектүү аймакты эсептей билишиңиз керек.
Мындан тышкары геометриялык фигуралар диаграммаларды, схемаларды, презентацияларды курууда да колдонулат. Ошондуктан ар кандай эсептөөлөрдү, анын ичинде аянтты эсептөөнү жасай билүү абдан маанилүү.
