Мейкиндик фигураларынын көлөмүн эсептей билүү геометриянын бир катар практикалык маселелерин чечүүдө маанилүү. Кеңири таралган формалардын бири - пирамида. Бул макалада биз пирамиданын толук жана кыскартылган көлөмүнүн формулаларын карап чыгабыз.
Пирамида үч өлчөмдүү фигура
Ар бир адам Египет пирамидалары жөнүндө билет, ошондуктан алар кайсы фигура талкууланарын жакшы билишет. Бирок Египеттин таш конструкциялары пирамидалардын чоң классынын өзгөчө учуру гана.
Жалпы жагдайда каралып жаткан геометриялык объект көп бурчтуу негиз болуп саналат, анын ар бир чокусу мейкиндиктин негизги тегиздигине кирбеген кандайдыр бир чекитине туташкан. Бул аныктама бир n-бурчтан жана n үч бурчтуктан турган фигурага алып келет.
Кар кандай пирамида n+1 беттен, 2n четинен жана n+1 чокусунан турат. Каралып жаткан фигура кемчиликсиз көп жактуу болгондуктан, белгиленген элементтердин саны Эйлер теңдигине баш ийет:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Негизиндеги көп бурчтук пирамиданын атын берет,мисалы, үч бурчтук, беш бурчтук ж.б.у.с. Төмөнкү сүрөттө ар кандай негиздери бар пирамидалардын топтому көрсөтүлгөн.
Фигуранын n үч бурчтугу кошулган чекит пирамиданын чокусу деп аталат. Эгерде андан негизге перпендикуляр түшүрүлсө жана ал аны геометриялык борбордо кесип өтсө, анда мындай фигура түз сызык деп аталат. Эгер бул шарт аткарылбаса, анда жантайган пирамида бар.
Тазасы тең капталдуу (тең бурчтук) n-гондон түзүлгөн түз фигура регулярдуу деп аталат.
Пирамиданын көлөм формуласы
Пирамиданын көлөмүн эсептөө үчүн интегралдык эсептөөнү колдонобуз. Бул үчүн фигураны негизге параллелдүү чексиз сандагы жука катмарларга бөлөбүз. Төмөнкү сүрөттө бийиктиги h жана капталынын узундугу L болгон төрт бурчтуу пирамида көрсөтүлгөн, анда кесилишинин жука катмары төрт бурчтук менен белгиленген.
Ар бир катмардын аянтын формула менен эсептесе болот:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Бул жерде A0 - базанын аянты, z - вертикалдык координатанын мааниси. Эгерде z=0 болсо, анда формула A0 маанисин берерин көрүүгө болот.
Пирамиданын көлөмүнүн формуласын алуу үчүн фигуранын бүткүл бийиктиги боюнча интегралды эсептөө керек, башкача айтканда:
V=∫h0(A(z)dz).
А(z) көз карандылыгын алмаштыруу жана антитуундуну эсептөө менен төмөнкү туюнтмага келебиз:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0с.
Пирамиданын көлөмүнүн формуласын алдык. V маанисин табуу үчүн фигуранын бийиктигин негиздин аянтына көбөйтүп, андан кийин жыйынтыкты үчкө бөлүү жетиштүү.
Натыйжадагы туюнтма ыктыярдуу түрдөгү пирамиданын көлөмүн эсептөө үчүн жарактуу экенин эске алыңыз. Башкача айтканда, ал эңкейиштүү жана анын негизи каалагандай n-gon болушу мүмкүн.
Туура пирамида жана анын көлөмү
Жогорудагы абзацта алынган көлөмдүн жалпы формуласын негизи туура пирамидада тактоого болот. Мындай базанын аянты төмөнкү формула менен эсептелет:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Бул жерде L - n чокусу бар кадимки көп бурчтуктун каптал узундугу. pi символу - pi саны.
Жалпы формулага A0 туюнтмасын алмаштыруу менен кадимки пирамиданын көлөмүн алабыз:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Мисалы, үч бурчтуу пирамида үчүн бул формула төмөнкү туюнтмага алып келет:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2с.
Кадимки төрт бурчтуу пирамида үчүн көлөм формуласы:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2с.
Жөнөкөй пирамидалардын көлөмүн аныктоо үчүн алардын негизинин тарабын жана фигуранын бийиктигин билүү керек.
Кесилген пирамида
Алдык дейлиыктыярдуу пирамида жана үстүн камтыган анын каптал бетинин бир бөлүгүн кесип. Калган фигура кесилген пирамида деп аталат. Ал буга чейин эки n-гоналдык негиздерден жана аларды бириктирүүчү n трапециядан турат. Эгерде кесүүчү тегиздик фигуранын негизине параллель болсо, анда параллель окшош негиздер менен кесилген пирамида түзүлөт. Башкача айтканда, алардын биринин капталдарынын узундугун экинчисинин узундугун кандайдыр бир к коэффициентине көбөйтүү жолу менен табууга болот.
Жогорудагы сүрөттө кесилген кадимки алты бурчтуу пирамида көрсөтүлгөн. Анын үстүнкү негизи, төмөнкүдөй, кадимки алты бурчтуктан түзүлгөнүн көрүүгө болот.
Берилгенге окшош интегралдык эсептөөнүн жардамы менен алынышы мүмкүн болгон кесилген пирамиданын көлөмүнүн формуласы:
V=1/3с(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Бул жерде A0 жана A1 тиешелүүлүгүнө жараша төмөнкү (чоң) жана жогорку (кичине) базалардын аймактары. h өзгөрмөсү кесилген пирамиданын бийиктиги.
Хеопс пирамидасынын көлөмү
Эң чоң Египет пирамидасынын ичиндеги көлөмүн аныктоо маселесин чечүү кызыктуу.
1984-жылы британиялык египетологдор Марк Лехнер жана Жон Гудман Хеопс пирамидасынын так өлчөмдөрүн аныкташкан. Анын баштапкы бийиктиги 146,50 метрди (учурда 137 метрге жакын) түзгөн. Курулуштун төрт тарабынын ар биринин орточо узундугу 230,363 метрди түзгөн. Пирамиданын негизи жогорку тактык менен төрт бурчтуу.
Бул таш гиганттын көлөмүн аныктоо үчүн берилген сандарды колдонолу. Пирамида кадимки төрт бурчтуу болгондуктан, ал үчүн формула жарактуу:
V4=1/3L2с.
Сандардын ордуна:
алабыз
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Хеопс пирамидасынын көлөмү дээрлик 2,6 миллион м3. Салыштыруу үчүн, олимпиадалык бассейндин көлөмү 2,5 миң м3 экенин белгилейбиз. Башкача айтканда, бүт Хеопс пирамидасын толтуруу үчүн бул бассейндердин 1000ден ашыгы керек болот!
