Көптөгөн адамдардын аздыр-көптүр кокустуктарды эсептөө мүмкүнбү деп ойлошу күмөн. Жөнөкөй сөз менен айтканда, сөөктөрдөгү өлчөмдүн кайсы тарабы кийинки түшүп калаарын билүү реалдуубу. Окуянын ыктымалдыгы абдан кеңири изилденген ыктымалдуулук теориясы сыяктуу илимге негиз салган эки улуу илимпоз дал ушул суроону беришкен.
Түпкүлүк
Эгер сиз ыктымалдуулук теориясы сыяктуу түшүнүккө аныктама берүүгө аракет кылсаңыз, анда сиз төмөнкүнү аласыз: бул математиканын кокустук окуялардын туруктуулугун изилдеген тармактарынын бири. Албетте, бул концепция чындыгында бүтүндөй маанини ачып бере албайт, ошондуктан аны кененирээк карап чыгуу зарыл.
Мен теорияны жаратуучулардан баштагым келет. Жогоруда айтылгандай, алардын экөө болгон, бул Пьер Ферма жана Блез Паскаль. Дал ошолор биринчилерден болуп формулаларды жана математикалык эсептөөлөрдү колдонуп окуянын жыйынтыгын эсептөөгө аракет кылышкан. Жалпысынан алганда, бул илимдин негиздери эрте эле пайда болгонОрто кылымдар. Ошол убакта ар кандай ойчулдар жана илимпоздор кумар оюндарын, мисалы, рулетка, крапс жана башка ушул сыяктууларды анализдөөгө аракет кылышкан, ошону менен белгилүү бир сандын калыптаныш схемасын жана пайызын түзүшкөн. Анын пайдубалын XVII кылымда жогоруда аталган окумуштуулар түптөгөн.
Адегенде алардын эмгегин бул тармактагы чоң жетишкендиктер менен байланыштырууга болбойт, анткени алар жасаган бардык нерсе жөн гана эмпирикалык фактылар жана эксперименттер формулаларды колдонбостон, визуалдык түрдө коюлган. Убакыттын өтүшү менен ал сөөк ыргытууну байкоонун натыйжасында пайда болгон чоң натыйжаларга жетишти. Дал ушул курал биринчи түшүнүктүү формулаларды алууга жардам берген.
Associates
"Ыктымалдуулук теориясы" (окуянын ыктымалдыгы бул илимде так камтылган) деген теманы изилдөө процессинде Кристиан Гюйгенс сыяктуу инсанды айтпай коюуга болбойт. Бул адам абдан кызыктуу. Ал, жогоруда келтирилген илимпоздор сыяктуу эле, математикалык формулалар түрүндө кокус окуялардын мыйзамдуулугун чыгарууга аракет кылган. Белгилей кетчү нерсе, ал муну Паскаль жана Ферма менен бирге жасабаган, башкача айтканда, анын бардык чыгармалары бул акылдар менен эч кандай түрдө кесилишкен эмес. Гюйгенс ыктымалдуулук теориясынын негизги түшүнүктөрүн алган.
Кызыктуу факт, анын эмгектери пионерлердин ишинин жыйынтыгынан алда канча мурда, тагыраак айтканда, жыйырма жыл мурда чыккан. Белгиленген түшүнүктөрдүн ичинен эң белгилүүлөрү:
- кокустуктун чоңдугу катары ыктымалдуулук түшүнүгү;
- дискреттик күтүүучурлар;
- көбөйтүү жана ыктымалдыктарды кошуу теоремасы.
Ошондой эле проблеманы изилдөөгө чоң салым кошкон Якоб Бернуллини да эстебей коюу мүмкүн эмес. Эч кимге көз каранды эмес өз алдынча сыноолорду жүргүзүү менен ал чоң сандар мыйзамынын далилин көрсөтүүгө жетишти. Өз кезегинде, XIX кылымдын башында иштеген окумуштуулар Пуассон жана Лаплас баштапкы теоремаларды далилдей алышкан. Дал ушул учурдан тартып ыктымалдуулук теориясы байкоолордун жүрүшүндөгү каталарды талдоо үчүн колдонула баштаган. Орус окумуштуулары, тагыраак айтканда, Марков, Чебышев, Дяпуновдор да бул илимди кыйгап өтө алышкан эмес. Улуу генийлердин жасаган иштерине таянып, бул предметти математиканын бир тармагы катары бекитишти. Бул сандар он тогузунчу кылымдын аягында иштеген жана алардын салымынын аркасында төмөнкүдөй көрүнүштөр пайда болгон:
- чоң сандар мыйзамы;
- Марков чынжыр теориясы;
- борбордук чек теоремасы.
Ошентип, илимдин жаралуу тарыхы жана ага таасир эткен негизги адамдар менен баары аздыр-көптүр ачык-айкын көрүнүп турат. Эми бардык фактыларды конкреттештирүүгө убакыт келди.
Негизги түшүнүктөр
Мыйзамдарга жана теоремаларга кайрылуудан мурун, ыктымалдуулук теориясынын негизги түшүнүктөрүн изилдеп чыгуу зарыл. Бул окуя башкы ролду алат. Бул тема абдан көлөмдүү, бирок ансыз башканын баарын түшүнүү мүмкүн эмес.
Ыктымалдуулук теориясындагы окуя – бул эксперименттин натыйжаларынын ар кандай жыйындысы. Бул кубулуштун түшүнүктөрү анча көп эмес. Ошентип, окумуштуу Лотман,бул тармакта иштеп, бул учурда биз бир нерсе жөнүндө сөз болуп жатканын айтты "болбогон болушу мүмкүн, бирок, болгон."
Кокус окуялар (ыктимдуулук теориясы аларга өзгөчө көңүл бурат) – бул пайда болуу мүмкүнчүлүгүнө ээ болгон ар кандай кубулушту билдирген түшүнүк. Же тескерисинче, бул сценарий көп шарттар аткарылганда болбой калышы мүмкүн. Бул болуп өткөн кубулуштардын бүт көлөмүн камтыган кокустук окуялар экенин да билүү керек. Ыктымалдуулук теориясы бардык шарттар дайыма кайталанышы мүмкүн экенин көрсөтүп турат. Бул алардын жүрүм-туруму "тажрыйба" же "сыноо" деп аталды.
Белгилүү окуя – бул берилген сыноодо 100% боло турган окуя. Демек, мүмкүн болбой турган окуя болуп болбойт.
Бир жуп иш-аракеттердин айкалышы (шарттуу түрдө А жана В учуру) – бир убакта пайда болуучу кубулуш. Алар AB катары белгиленген.
А жана В окуялардын жуптарынын суммасы С болот, башкача айтканда, алардын жок дегенде бири (А же В) ишке ашса, анда С болот. Сүрөттөлгөн кубулуштун формуласы төмөнкүчө жазылат.: C=A + B.
Ыктымалдуулук теориясындагы ажырым окуялар эки учур бири-бирин жокко чыгарат. Алар эч качан бир убакта боло албайт. Ыктымалдуулук теориясындагы биргелешкен окуялар алардын антиподу болуп саналат. Бул эгер А болгон болсо, анда ал Бга тоскоол болбойт дегенди билдирет.
Карама-каршы окуялар (ыктимдуулук теориясы аларды майда-чүйдөсүнө чейин карайт) түшүнүү оңой. Салыштыруу менен алар менен күрөшүү эң жакшы. Алар дээрлик бирдейжана ыктымалдуулук теориясында бири-бирине дал келбеген окуялар. Бирок алардын айырмачылыгы көп көрүнүштөрдүн бири баары бир болушу керек экендигинде.
Эквиваленттүү окуялар – мүмкүндүгү бирдей болгон аракеттер. Түшүнүктүү болуш үчүн, монетанын ыргытылышын элестетсек болот: анын бир капталынын түшүшү, экинчи тарабынын кулашы бирдей.
Бактылуу окуяны мисал менен көрүү оңой. Б эпизоду жана А эпизоду бар дейли. Биринчиси, так сандын көрүнүшү менен чүчүкулак ыргытылышы, ал эми экинчиси - беш сандын өлчөмдөгү көрүнүшү. Ошондо А Бге жакшылык кылат экен.
Ыктымалдуулук теориясындагы көз карандысыз окуялар эки же андан көп учурларда гана болжолдонот жана кандайдыр бир аракеттин башкасынан көз карандысыздыгын билдирет. Мисалы, А - тыйын ыргытылганда куйруктардын жоголушу, ал эми В - палубадан домкраттын чийилиши. Алар ыктымалдуулук теориясында көз карандысыз окуялар. Бул көз ирмем менен айкыныраак болуп калды.
Ыктымалдуулук теориясындагы көз каранды окуялар да алардын жыйындысы үчүн гана жол берилет. Алар биринин экинчисине көз карандылыгын билдирет, башкача айтканда, В кубулушу эгерде А буга чейин болгон же, тескерисинче, боло элек болсо, бул В үчүн негизги шарт болгондо гана болушу мүмкүн.
Бир компоненттен турган кокустук эксперименттин жыйынтыгы элементардык окуялар болуп саналат. Ыктымалдуулук теориясы бул бир гана жолу болгон кубулуш экенин түшүндүрөт.
Негизги формулалар
Ошентип, "окуя", "ыктимдуулук теориясы",бул илимдин негизги терминдеринин аныктамасы да берилген. Эми маанилүү формулалар менен түздөн-түз таанышууга убакыт келди. Бул туюнтмалар ыктымалдуулук теориясы сыяктуу татаал предметтердеги бардык негизги түшүнүктөрдү математикалык жактан тастыктайт. Бул жерде да окуянын ыктымалдыгы чоң роль ойнойт.
Комбинаториканын негизги формулаларынан баштаганыңыз жакшы. Жана аларга өтүүдөн мурун анын эмне экенин карап чыгуу керек.
Комбинаторика биринчи кезекте математиканын бир тармагы, ал бүтүн сандардын эбегейсиз санын, ошондой эле сандардын өздөрүнүн да, алардын элементтеринин да ар кандай алмаштырууларын, ар кандай маалыматтарды ж.б., пайда болушуна алып келген изилдөө менен алектенет. бир катар комбинациялар. Ыктымалдуулук теориясынан тышкары, бул тармак статистика, информатика жана криптография үчүн маанилүү.
Демек, эми формулалардын өзүн көрсөтүүгө жана аларды аныктоого өтсөк болот.
Биринчиси алмаштыруулардын санынын туюнтмасы болот, мындай көрүнөт:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Теңдеме элементтер ирети боюнча гана айырмаланганда гана колдонулат.
Эми жайгаштыруу формуласы каралат, мындай көрүнөт:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - м)!
Бул туюнтма элементтин тартибине гана эмес, анын курамына да тиешелүү.
Комбинаторикадагы үчүнчү теңдеме, ошондой эле акыркы теңдеме, комбинациялардын санынын формуласы деп аталат:
C_n^m=n !: ((n -м))!:м !
Айкалышуулар - тиешелүүлүгүнө жараша ирээтсиз тандоолор жана бул эреже аларга карата колдонулат.
Комбинаторика формулаларын аныктоо оңой болуп чыкты, эми биз ыктымалдыктардын классикалык аныктамасына өтсөк болот. Бул туюнтма мындай көрүнөт:
P(A)=m: n.
Бул формулада m - А окуясы үчүн жагымдуу шарттардын саны, ал эми n - бардыгы бирдей мүмкүн болгон жана элементардык жыйынтыктардын саны.
Көп сандагы туюнтмалар бар, макалада алардын бардыгы камтылбайт, бирок алардын эң негизгилери козголот, мисалы, окуялардын суммасынын ыктымалдыгы:
P(A + B)=P(A) + P(B) - бул теорема туура келбеген окуяларды гана кошуу үчүн;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - жана бул туура келгендерди гана кошуу үчүн.
Окуялардын жаралуу ыктымалдыгы:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – бул теорема көз карандысыз окуялар үчүн;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - жана бул үчүн көз карандылар.
Окуя формуласы тизмени аяктайт. Ыктымалдуулук теориясы бизге Байес теоремасы жөнүндө айтып берет, ал төмөнкүдөй көрүнөт:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
Бул формулада H1, H2, …, H гипотезалардын толук тобу.
Бул жерден токтойлу, андан кийин практикадан конкреттүү маселелерди чечүү үчүн формулаларды колдонуу мисалдары каралат.
Мисалдар
Эгерде сиз кайсы бир бөлүмдү кылдат изилдесеңизматематика, ал көнүгүүлөрсүз жана үлгү чечимдерсиз болбойт. Ыктымалдуулук теориясы да ошондой: бул жердеги окуялар, мисалдар илимий эсептөөлөрдү тастыктаган ажырагыс компонент.
Алмашуулардын санынын формуласы
Карталардын палубасында номиналдуу бирден баштап отуз карта бар дейли. Кийинки суроо. Номиналы бир жана эки болгон карталар бири-бирине жанаша болбошу үчүн палубаны топтоонун канча жолу бар?
Тапшырма коюлду, эми аны чечүүгө өтөлү. Адегенде отуз элементтин алмаштыруу санын аныктоо керек, бул үчүн биз жогорудагы формуланы алабыз, ал P_30=30 болуп чыгат!.
Бул эрежеге таянып, палубаны ар кандай жолдор менен бүктөөнүн канча варианты бар экенин билебиз, бирок алардан биринчи жана экинчи карталардын кийинкисин алып салуу керек. Бул үчүн биринчиси экинчиден жогору турган варианттан баштайлы. Көрсө, биринчи карта жыйырма тогуз орунду ээлей алат - биринчиден жыйырма тогузунчуга чейин, ал эми экинчи карта экинчиден отузуна чейин бир жуп карта үчүн жыйырма тогуз орунга чыгат. Өз кезегинде, калган жыйырма сегиз орунду ээлей алат, жана каалаган тартипте. Башкача айтканда, жыйырма сегиз картаны алмаштыруу үчүн жыйырма сегиз вариант бар P_28=28!
Натыйжада, эгер биринчи карта экинчиден ашканда чечимди карап көрсөк, 29 ⋅ 28 кошумча мүмкүнчүлүктөр бар экен!=29!
Ошол эле ыкманы колдонуу менен, биринчи карта экинчисинин астында болгон учурда ашыкча варианттардын санын эсептөө керек. Ошондой эле 29 ⋅ 28 чыгат!=29!
Мындан улам 2 ⋅ 29 кошумча вариант бар!, ал эми палубаны куруу үчүн 30 талап кылынган ыкма бар! - 2 ⋅ 29!. Саноо үчүн гана калды.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Эми бирден жыйырма тогузга чейинки бардык сандарды чогуу көбөйтүү керек, анан аягында бардыгын 28ге көбөйтүү керек. Жооп: 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Мисалдын чечими. Жайгаштыруу номеринин формуласы
Бул маселеде он беш томду бир текчеге коюунун канча жолу бар экенин, бирок жалпысынан отуз том болушу шарт менен аныкташыңыз керек.
Бул маселенин мурункуга караганда бир аз жеңилирээк чечими бар. Буга чейин белгилүү болгон формуланы колдонуп, он бештен турган отуз томдон жайгашкан жерлердин жалпы санын эсептөө керек.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 20733 20720
Жооп, тиешелүүлүгүнө жараша, 202 843 204 931 727 360 000 болот.
Эми тапшырманы бир аз татаалыраак аткаралы. Бир текчеде он беш том гана болушу мүмкүн болсо, отуз китепти эки текчеге жайгаштыруунун канча жолу бар экенин такташыңыз керек.
Чечүүнү баштоодон мурун, кээ бир көйгөйлөр бир нече жол менен чечилерин тактап айткым келет, андыктан бул жолдун эки жолу бар, бирок экөөндө тең бирдей формула колдонулат.
Бул маселеде сиз мурункусунан жооп ала аласыз, анткени ал жерде сиз он беш китепке текчени канча жолу толтурууга болорун эсептеп чыктык.башкача. Көрсө, A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Экинчи текчени алмаштыруу формуласы менен эсептейбиз, анткени ага он беш китеп коюлган, ал эми он беши гана калды. P_15=15 формуласын колдонуңуз!.
Жалпы A_30^15 ⋅ P_15 жолдору болот экен, бирок, мындан тышкары, отуздан он алтыга чейинки бардык сандардын көбөйтүндүсүн бирден он бешке чейинки сандардын көбөйтүлүшүнө көбөйтүү керек болот, анткени натыйжада бирден отузга чейинки бардык сандардын көбөйтүлүшү, андыктан жооп 30!
Бирок бул көйгөйдү башка жол менен чечсе болот - жеңилирээк. Бул үчүн сиз отуз китепке бир текче бар экенин элестете аласыз. Алардын баары ушул тегиздикте жайгаштырылат, бирок шарт эки текче болушун талап кылгандыктан, бирден узунду экиге бөлөбүз, ар бири экиден он бештен чыгат. Ушундан көрүнүп тургандай, жайгаштыруу параметрлери P_30=30 болушу мүмкүн!.
Мисалдын чечими
айкалышы үчүн формула
Эми биз комбинаторикадан үчүнчү маселенин вариантын карап чыгабыз. Он беш китепти иреттештирүүнүн канча жолу бар экенин такташыңыз керек, эгер сиз отуздан таптакыр окшошту тандасаңыз.
Чечим үчүн, албетте, комбинациялардын санынын формуласы колдонулат. Шарттан көрүнүп тургандай, бирдей он беш китептин тартиби маанилүү эмес. Ошондуктан, алгач он бештен турган отуз китептин жалпы санын табышыңыз керек.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: он беш !=155 117 520
Болуптур. Бул формуланы колдонуу менен, мүмкүн болушунча кыска мөөнөттө мүмкүн болгонмындай маселени чечүү, жооп, тиешелүүлүгүнө жараша, 155 117 520 болуп саналат.
Мисалдын чечими. Ыктымалдуулуктун классикалык аныктамасы
Жогорудагы формула менен сиз жөнөкөй маселенин жообун таба аласыз. Бирок ал визуалдык түрдө көрүүгө жана аракеттердин жүрүшүн ээрчүүгө жардам берет.
Маселеде урнада такыр окшош он шар бар экени берилген. Алардын ичинен төртөө сары, алтоо көк. Урнадан бир топ алынат. Көк түс алуу ыктымалдыгын билишиңиз керек.
Маселени чечүү үчүн көк топту алууну А окуясы катары белгилөө керек. Бул тажрыйба он натыйжага ээ болушу мүмкүн, алар өз кезегинде элементардык жана бирдей ыктымалдуу. Ошол эле учурда, ондун ичинен алтоо А окуясы үчүн ыңгайлуу. Биз формула боюнча чечебиз:
P(A)=6: 10=0, 6
Бул формуланы колдонуу менен көк шарды алуу ыктымалдыгы 0,6 экенин билдик.
Мисалдын чечими. Окуялардын суммасынын ыктымалдыгы
Эми вариант сунушталат, ал окуялардын суммасынын ыктымалдыгы формуласы аркылуу чечилет. Ошентип, эки кутуча бар деген шартта, биринчисинде бир боз жана беш ак шар, экинчисинде сегиз боз жана төрт ак шар бар. Натыйжада алардын бири биринчи жана экинчи кутулардан алынган. Сиз алган топтордун ак жана боз болушуна кандай мүмкүнчүлүк бар экенин билишиңиз керек.
Бул көйгөйдү чечүү үчүн окуяларды белгилөө керек.
- Демек, A - биринчи кутудан боз топту алыңыз: P(A)=1/6.
- A’ – биринчи кутудан да ак топту алыңыз: P(A')=5/6.
- B – боз топ экинчи кутудан мурунтан эле чыгарылган: P(B)=2/3.
- B’ – экинчи кутудан боз топту алыңыз: P(B')=1/3.
Маселенин шартына ылайык, кубулуштардын бири болушу керек: AB' же A'B. Формула аркылуу биз төмөнкүлөрдү алабыз: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Эми ыктымалдыкты көбөйтүү формуласы колдонулду. Андан кийин, жооп табуу үчүн, аларды кошуу үчүн теңдемени колдонушуңуз керек:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Ушинтип формуланы колдонуп, окшош маселелерди чече аласыз.
Натыйжа
Макалада окуянын ыктымалдыгы чечүүчү роль ойногон "Ыктымалдуулук теориясы" темасы боюнча маалымат берилген. Албетте, бардыгы эске алынган жок, бирок берилген тексттин негизинде математиканын бул бөлүмү менен теориялык жактан таанышууга болот. Сөз болуп жаткан илим профессионалдык иште гана эмес, күнүмдүк турмушта да пайдалуу болушу мүмкүн. Анын жардамы менен сиз каалаган окуянын мүмкүндүгүн эсептей аласыз.
Текстте ыктымалдуулук теориясынын илим катары калыптануу тарыхындагы маанилүү даталарга жана ага эмгектери жумшалган адамдардын ысымдарына да токтолгон. Мына ушинтип адамдын кызыгуусу адамдар кокусунан болгон окуяларды да эсептегенди үйрөнүшкөн. Бир кезде алар жөн гана кызыгып жүрүшкөн, бирок бүгүн бул тууралуу баары билет. Ал эми келечекте бизди эмне күтүп турганын, каралып жаткан теорияга байланыштуу дагы кандай жаркыраган ачылыштар жасала турганын эч ким айта албайт. Бирок бир нерсе анык - изилдөө токтобойт!
