Университет математикасынын эң татаал жана түшүнүксүз темаларынын бири – интеграция жана дифференциалдык эсептөө. Сиз бул түшүнүктөрдү билип, түшүнүшүңүз керек, ошондой эле аларды колдоно билишиңиз керек. Көптөгөн университеттин техникалык дисциплиналары дифференциалдар жана интегралдар менен байланышкан.
Теңдемелер жөнүндө кыскача маалымат
Бул теңдемелер билим берүү системасындагы эң маанилүү математикалык түшүнүктөрдүн бири. Дифференциалдык теңдеме – көз карандысыз өзгөрмөлөрдү, табыла турган функцияны жана ошол функциянын туундуларын көз карандысыз деп кабыл алынган өзгөрмөлөр менен байланыштырган теңдеме. Бир өзгөрмөлүү функцияны табуу үчүн дифференциалдык эсептөө кадимки деп аталат. Эгерде керектүү функция бир нече өзгөрмөлөргө көз каранды болсо, анда жарым-жартылай дифференциалдык теңдеме жөнүндө сөз болот.
Чындыгында теңдеменин белгилүү бир жообун табуу интеграциядан келип чыгат жана чечүү ыкмасы теңдеменин түрү менен аныкталат.
Биринчи тартиптеги теңдемелер
Биринчи даражадагы дифференциалдык теңдеме – бул өзгөрмөнү, керектүү функцияны жана анын биринчи туундусун сүрөттөй алган теңдеме. Мындай теңдемелерди үч түрдө берүүгө болот: ачык, ачык, дифференциалдык.
Чечүү үчүн керек болгон түшүнүктөр
Баштапкы шарт - көз карандысыз өзгөрмөнүн берилген мааниси үчүн керектүү функциянын маанисин коюу.
Дифференциалдык теңдеменин чечими - баштапкы теңдемеге так алмаштырылган ар кандай дифференциалдалуучу функция аны бирдей барабарга айлантат. Алынган ачык эмес чечим теңдеменин интегралы.
Дифференциалдык теңдемелердин жалпы чечими y=y(x;C) функциясы болуп саналат, ал төмөнкү корутундуларды канааттандыра алат:
- Функция бир гана эркин константага ээ болушу мүмкүн.
- Натыйжадагы функция ыктыярдуу константтын каалаган ыктыярдуу маанилери үчүн теңдеменин чечими болушу керек.
- Берилген баштапкы шарт менен ыктыярдуу константа уникалдуу түрдө аныкталышы мүмкүн, натыйжада белгилүү бир чечим берилген баштапкы шартка шайкеш келет.
Практикада көбүнчө Коши маселеси колдонулат - өзгөчө жана башында коюлган шарт менен салыштырууга боло турган чечимди табуу.
Коши теоремасы – дифференциалдык эсептөөдө белгилүү бир чечимдин бар экендигин жана уникалдуулугун баса белгилеген теорема.
Геометриялык маани:
- Жалпы чечим y=y(x;C)теңдеме – интегралдык ийри сызыктардын жалпы саны.
- Дифференциалдык эсептөө XOY тегиздигиндеги чекиттин координаталары менен интегралдык ийри сызылган тангенсти туташтырууга мүмкүндүк берет.
- Баштапкы шартты коюу учакта чекит коюуну билдирет.
- Коши маселесин чечүү үчүн теңдеменин бир эле чечилишин билдирген интегралдык ийри сызыктардын бүтүндөй жыйындысынан мүмкүн болгон жалгыз чекит аркылуу өтүүчүнү тандоо керек дегенди билдирет.
- Коши теоремасынын шарттарынын бир чекитте аткарылышы интегралдык ийри сызыктын (андан тышкары, бир гана) тегиздиктеги тандалган чекиттен сөзсүз түрдө өтүшүн билдирет.
Бөлүнүүчү өзгөрмө теңдеме
Аныктоо боюнча, дифференциалдык теңдеме – бул анын оң тарабы эки функциянын көбөйтүндүсү (кээде катышы) катары сүрөттөлгөн же чагылдырылган теңдеме, бири "x" га, экинчиси - "y" ге гана көз каранды. ". Мындай ачык мисал: y'=f1(x)f2(y).
Кайсы бир формадагы теңдемелерди чечүү үчүн адегенде y'=dy/dx туундусун түрлөшүңүз керек. Андан кийин, теңдемени манипуляциялоо менен, сиз аны теңдеменин эки бөлүгүн бириктире ала турган формага келтиришиңиз керек. Керектүү өзгөртүүлөрдөн кийин, биз эки бөлүктү тең бириктирип, натыйжаны жөнөкөйлөтөбүз.
Бир тектүү теңдемелер
Аныктама боюнча дифференциалдык теңдеме төмөнкү формага ээ болсо, бир тектүү деп атоого болот: y'=g(y/x).
Бул учурда y/x=алмаштыруу көбүнчө колдонулатt(x).
Мындай теңдемелерди чечүү үчүн бир тектүү теңдемени бөлүнүүчү өзгөрмөлүү формага келтирүү керек. Бул үчүн, сиз төмөнкү операцияларды аткарышыңыз керек:
- Башкы функциянын туундусун жаңы теңдеме катары каалаган баштапкы функциядан туюндурган көрсөтүү.
- Кийинки кадам - бул пайда болгон функцияны f(x;y)=g(y/x) түрүнө которуу. Жөнөкөй сөз менен айтканда, теңдеме y/x катышын жана туруктууларды гана камтысын.
- Төмөнкү алмаштырууну жаса: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Жасатылган алмаштыруу теңдемедеги өзгөрмөлөрдү бөлүүгө жардам берип, бара-бара аны жөнөкөй формага келтирет.
Сызыктуу теңдемелер
Мындай теңдемелердин аныктамасы төмөнкүдөй: сызыктуу дифференциалдык теңдеме – бул анын оң жагы баштапкы функцияга карата сызыктуу туюнтма катары туюнтулган теңдеме. Бул учурда керектүү функция: y'=a(x)y + b(x).
Аныктаманы төмөнкүчө кайталап көрөлү: 1-даражадагы ар кандай теңдеме, эгерде баштапкы функция жана анын туундусу биринчи даражадагы теңдемеге киргизилип, бири-бирине көбөйтүлбөсө, сызыктуу түрдө сызыктуу болуп калат. Сызыктуу дифференциалдык теңдеменин "классикалык формасы" төмөнкү түзүмгө ээ: y' + P(x)y=Q(x).
Мындай теңдемени чечүүдөн мурун аны "классикалык түргө" которуу керек. Кийинки кадам чечүү ыкмасын тандоо болот: Бернулли ыкмасы же Лагранж ыкмасы.
Менен теңдемени чечүүБернулли тарабынан киргизилген ыкманы колдонуу менен сызыктуу дифференциалдык теңдемени баштапкы түрүндө берилген U(x) жана V(x) функцияларына салыштырмалуу өзүнчө өзгөрмөлүү эки теңдемеге алмаштырууну жана кыскартууну билдирет.
Лагранж ыкмасы – баштапкы теңдеменин жалпы чечимин табуу.
- Бир тектүү теңдеменин ошол эле чечилишин табуу керек. Издегенден кийин, y=y(x, C) функциясына ээ болдук, мында C - эркин константа.
- Биз баштапкы теңдеменин чечилишин ошол эле формада издеп жатабыз, бирок биз C=C(x) деп эсептейбиз. y=y(x, C(x)) функциясын баштапкы теңдемеге коебуз, C(x) функциясын табабыз жана жалпы баштапкы теңдеменин чечимин жазабыз.
Бернулли теңдемеси
Бернулли теңдемеси - эгерде эсептөөнүн оң тарабы f(x;y)=a(x)y + b(x)yk түрүн алса, мында k - каалагандай мүмкүн болгон рационалдуу сандык маани, к=0 жана k=1 болгон мисалдар.
Эгер k=1 болсо, анда эсептөө бөлүнүүчү болуп калат, ал эми k=0 болгондо теңдеме сызыктуу бойдон калат.
Бул типтеги теңдемелерди чечүүнүн жалпы абалын карап көрөлү. Бизде стандарттуу Бернулли теңдемеси бар. Аны сызыктууга чейин азайтуу керек, ал үчүн теңдемени ykга бөлүү керек. Бул операциядан кийин z(x)=y1-k алмаштырыңыз. Бир катар өзгөртүүлөрдөн кийин теңдеме сызыктууга кыскартылат, көбүнчө z=UV алмаштыруу ыкмасы менен.
Толук дифференциалдардагы теңдемелер
Аныктама. P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 түзүлүшү бар теңдеме толук теңдеме деп аталат.дифференциалдар, эгерде төмөнкү шарт аткарылса (бул шартта "d" жарым-жартылай дифференциал): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Мурда каралган бардык биринчи тартиптеги дифференциалдык теңдемелерди дифференциал катары көрсөтсө болот.
Мындай эсептөөлөр бир нече жол менен чечилет. Бирок, алардын баары шартты текшерүү менен башталат. Эгерде шарт аткарылса, анда теңдеменин эң сол тарабы белгисиз U(x;y) функциясынын толук дифференциалы болот. Андан кийин, теңдемеге ылайык, dU (x; y) нөлгө барабар болот, демек, жалпы дифференциалдардагы теңдеменин бирдей интегралы U (x; y) u003d C түрүндө көрсөтүлөт. Демек, теңдеменин чечими U (x; y) функциясын табууга келтирилет.
Интеграциялоочу фактор
Эгер dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx шарты теңдемеде аткарылбаса, анда теңдеме жогоруда биз караган формага ээ эмес. Бирок кээде кээ бир M(x;y) функциясын тандап алууга болот, аны көбөйткөндө теңдеме толук “диффурда” теңдеменин формасын алат. M (x;y) функциясы интегралдык фактор деп аталат.
Интегратор бир гана өзгөрмөнүн функциясы болгондо гана табылат.
