Мектепте деле ар бирибиз теңдемелерди жана, албетте, теңдемелер системасын үйрөнчүбүз. Бирок аларды чечүүнүн бир нече жолу бар экенин көп адамдар биле бербейт. Бүгүн биз экиден ашык теңдиктен турган сызыктуу алгебралык теңдемелердин системасын чечүүнүн бардык ыкмаларын кеңири талдап чыгабыз.
Тарых
Бүгүнкү күндө теңдемелерди жана алардын системаларын чечүү искусствосу Байыркы Вавилондо жана Египетте пайда болгондугу белгилүү. Бирок, кадимки формадагы теңдиктер 1556-жылы англис математиги Рекорд тарабынан киргизилген "=" белгиси пайда болгондон кийин пайда болгон. Айтмакчы, бул белги бир себептен улам тандалган: ал эки параллелдүү бирдей сегментти билдирет. Чынында, теңчиликтин мындан жакшы үлгүсү жок.
Белгисиздердин жана даражалардын белгилеринин заманбап тамга белгилеринин негиздөөчүсү француз математиги Франсуа Вьет. Бирок анын наамдары азыркыдан кыйла айырмаланып турду. Мисалы, белгисиз сандын квадратын Q (лат. «quadratus»), кубду С (лат. «cubus») тамгасы менен белгилеген. Бул белгилер азыр ыңгайсыз көрүнөт, бирок андаал сызыктуу алгебралык теңдемелердин системаларын жазуунун эң түшүнүктүү жолу болгон.
Бирок, ошол кездеги чечүү ыкмаларынын кемчилиги математиктер оң тамырларды гана эсептешкен. Балким, бул терс баалуулуктар эч кандай практикалык пайдалануу болгондугу менен байланыштуу. Кандай болбосун, 16-кылымда терс тамырларды биринчилерден болуп италиялык математиктер Никколо Тарталья, Героламо Кардано жана Рафаэль Бомбелли карап чыгышкан. Ал эми заманбап көрүнүш, квадраттык теңдемелерди чечүүнүн негизги ыкмасы (дискриминант аркылуу) 17-кылымда Декарт менен Ньютондун эмгектеринин аркасында гана жаралган.
18-кылымдын орто ченинде швейцариялык математик Габриэль Крамер сызыктуу теңдемелердин системаларын чечүүнү жеңилдетүүнүн жаңы жолун тапкан. Бул ыкма кийин анын ысмы менен аталып калган жана биз аны ушул күнгө чейин колдонуп келебиз. Бирок биз Крамер ыкмасы жөнүндө бир аз кийинчерээк сүйлөшөбүз, бирок азырынча сызыктуу теңдемелерди жана аларды системадан өзүнчө чечүү ыкмаларын талкуулайбыз.
Сызыктуу теңдемелер
Сызыктуу теңдемелер өзгөрмө(лер) менен эң жөнөкөй теңчиликтер. Алар алгебралык деп бөлүнөт. Сызыктуу теңдемелер жалпы формада төмөнкүчө жазылат: 2+…a x =b. Андан ары системаларды жана матрицаларды түзүүдө бизге алардын ушул формада көрсөтүлүшү керек болот.
Сызыктуу алгебралык теңдемелердин системалары
Бул терминдин аныктамасы мындай: бул жалпы белгисиз жана жалпы чечими бар теңдемелердин жыйындысы. Эреже катары, мектепте бардыгы системалар менен чечилчүэки же үч теңдеме менен. Бирок төрт же андан көп компоненттери бар системалар бар. Аларды кийинчерээк чечүү үчүн ыңгайлуу болушу үчүн, адегенде аларды кантип жазуу керектигин аныктап көрөлү. Биринчиден, сызыктуу алгебралык теңдемелердин системалары, эгерде бардык өзгөрмөлөр тиешелүү индекс менен х түрүндө жазылса, жакшыраак көрүнөт: 1, 2, 3 жана башкалар. Экинчиден, бардык теңдемелерди канондук түргө түшүрүү керек: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Ушул кадамдардын бардыгынан кийин биз сызыктуу теңдемелер системасынын чечимин кантип табуу керектиги жөнүндө айта баштайбыз. Бул үчүн матрицалар абдан пайдалуу болот.
Матрицалар
Матрица – бул саптардан жана мамычалардан турган жана анын элементтери алардын кесилишинде жайгашкан таблица. Бул конкреттүү баалуулуктар же өзгөрмөлөр болушу мүмкүн. Көбүнчө элементтерди белгилөө үчүн алардын астына жазылуулар коюлат (мисалы, a11 же a23). Биринчи индекс саптын номерин, экинчиси мамычанын номерин билдирет. Матрицаларда, ошондой эле ар кандай башка математикалык элементтерде ар кандай операцияларды аткара аласыз. Ошентип, сиз:
кыла аласыз
1) Бирдей өлчөмдөгү таблицаларды кемитүү жана кошуу.
2) Матрицаны кандайдыр бир санга же векторго көбөйтүү.
3) Которуу: Матрицалык саптарды мамычаларга, тилкелерди саптарга айландырыңыз.
4) Эгерде алардын биринин саптарынын саны экинчисинин мамычаларынын санына барабар болсо, матрицаларды көбөйтүңүз.
Бул ыкмалардын баарын кененирээк талкуулайбыз, анткени алар келечекте бизге пайдалуу болот. Матрицаларды кемитүү жана кошуу абдан оңой. Ошентипбиз бирдей өлчөмдөгү матрицаларды алганда, анда бир таблицанын ар бир элементи башкасынын ар бир элементине туура келет. Ошентип, биз бул эки элементти кошобуз (кемитебиз) (алардын матрицаларында бирдей жерлерде болушу маанилүү). Матрицаны санга же векторго көбөйткөндө, матрицанын ар бир элементин ошол санга (же векторго) көбөйтүү керек. Транспозиция абдан кызыктуу процесс. Кээде аны реалдуу жашоодо көрүү абдан кызыктуу, мисалы, планшеттин же телефондун багытын өзгөртүүдө. Иш тактадагы иконалар матрица болуп саналат жана сиз позициясын өзгөрткөнүңүздө, ал которулат жана кеңейет, бирок бийиктиги кичирейет.
Матрицаны көбөйтүү сыяктуу процессти дагы бир жолу карап көрөлү. Бизге пайдасы тийбесе да, аны билүү дагы деле пайдалуу болот. Бир таблицадагы мамычалардын саны экинчи таблицадагы саптардын санына барабар болгондо гана эки матрицаны көбөйтө аласыз. Эми бир матрицанын сапынын элементтерин жана башкасынын тиешелүү мамычасынын элементтерин алалы. Биз аларды бири-бирине көбөйтүп, анан кошобуз (мисалы, a11 жана a12 менен b 12жана b22 төмөнкүгө барабар болот: a11b12 + a 12 b22). Ошентип, таблицанын бир элементи алынат жана ал дагы окшош ыкма менен толтурулат.
Эми сызыктуу теңдемелер системасы кантип чечилерин карап баштайбыз.
Гаусс ыкмасы
Бул тема мектепте деле өтө баштайт. Биз «эки сызыктуу теңдемелер системасы» түшүнүгүн жакшы билебиз жана аларды чечүү жолдорун билебиз. Бирок теңдемелердин саны экиден көп болсочы? Буга Гаусс ыкмасы жардам берет.
Албетте, эгер сиз системадан матрица жасасаңыз, бул ыкманы колдонуу ыңгайлуу. Бирок аны өзгөртүп, эң таза түрүндө чече албайсыз.
Анда бул ыкма сызыктуу Гаусс теңдемелеринин системасын кантип чечет? Айтмакчы, бул ыкма анын ысымы менен аталганы менен, ал байыркы заманда эле ачылган. Гаусс төмөндөгүлөрдү сунуш кылат: бара-бара бүт көптүктү тепкичтүү формага келтирүү үчүн теңдемелер менен операцияларды жүргүзүү. Башкача айтканда, жогорудан ылдыйга карай (туура жайгаштырылса) биринчи теңдемеден акыркыга чейин бир белгисиз азаят. Башкача айтканда, биз, айталы, үч теңдемени алганыбызды текшеришибиз керек: биринчисинде - үч белгисиз, экинчисинде - эки, үчүнчүсүндө - бир. Анда акыркы теңдемеден биз биринчи белгисизди табабыз, анын маанисин экинчи же биринчи теңдемеге алмаштырып, андан кийин калган эки өзгөрмөнү табабыз.
Крамер ыкмасы
Бул ыкманы өздөштүрүү үчүн матрицаларды кошуу, кемитүү көндүмдөрүн өздөштүрүү абдан маанилүү, ошондой эле аныктоочуларды таба билүү керек. Ошондуктан, эгер мунун баарын начар жасасаңыз же такыр билбесеңиз, үйрөнүп, көнүгүүңүз керек болот.
Бул методдун маңызы эмнеде жана аны сызыктуу Крамер теңдемелеринин системасы алынгыдай кылып кантип жасоо керек? Баары абдан жөнөкөй. Сызыктуу алгебралык теңдемелердин системасынын сандык (дээрлик дайыма) коэффициенттеринен матрицаны түзүшүбүз керек. Бул үчүн, жөн гана белгисиздердин алдындагы сандарды алып, аларды иретке келтириңизтаблицада алар системада жазылган тартипте. Эгерде сандын алдында "-" белгиси коюлса, анда терс коэффициентти жазабыз. Ошентип, биз биринчи матрицаны бирдей белгилерден кийинки сандарды кошпогондо, белгисиздердин коэффициенттеринен түздүк (табиятта, теңдеме оң тарапта гана сан, ал эми бардык белгисиздер менен канондук формага келтирилиши керек). сол жактагы коэффициенттер). Андан кийин дагы бир нече матрицаларды түзүшүңүз керек - ар бир өзгөрмө үчүн бирден. Бул үчүн биз биринчи матрицадагы ар бир тилкени коэффиценти менен тең белгисинен кийинки сандар мамычасына кезеги менен алмаштырабыз. Ошентип, биз бир нече матрицаларды алып, анан алардын детерминанттарын табабыз.
Атерминанттарды тапкандан кийин, маселе кичинекей. Бизде баштапкы матрица бар жана ар кандай өзгөрмөлөргө туура келген бир нече натыйжалык матрицалар бар. Системанын чечимдерин алуу үчүн жыйынтык таблицанын аныктоочуну баштапкы таблицадагы аныктоочуга бөлөбүз. Натыйжадагы сан өзгөрмөлөрдүн биринин мааниси. Ошо сыяктуу эле, биз бардык белгисиздерди табабыз.
Башка ыкмалар
Сызыктуу теңдемелер системасынын чечимдерин алуунун дагы бир нече ыкмалары бар. Мисалы, Гаусс-Иордан ыкмасы деп аталган, ал квадраттык теңдемелер системасынын чечимдерин табуу үчүн колдонулат жана ошондой эле матрицаларды колдонуу менен байланышкан. Сызыктуу алгебралык теңдемелердин системасын чечүүнүн Якоби ыкмасы да бар. Бул компьютерге ыңгайлаштыруу эң оңой жана эсептөөдө колдонулат.
Оор учурлар
Татаалдуулук адатта теңдемелердин саны өзгөрмөлөрдүн санынан аз болгондо пайда болот. Ошондо биз так айта алабыз, же система карама-каршы келет (башкача айтканда, анын тамыры жок), же анын чечимдеринин саны чексиздикке умтулат. Эгерде бизде экинчи учур болсо, анда сызыктуу теңдемелер системасынын жалпы чечимин жазуу керек. Ал кеминде бир өзгөрмө камтыйт.
Тыянак
Мына биз аягына чыктык. Жыйынтыктап айтканда: биз система жана матрица деген эмне экенин анализдеп чыктык, сызыктуу теңдемелер системасынын жалпы чечимин табууга үйрөндүк. Мындан тышкары, башка варианттар да каралган. Биз сызыктуу теңдемелер системасы кандайча чечилерин билдик: Гаусс ыкмасы жана Крамер ыкмасы. Биз кыйын учурлар жана аларды чечүүнүн башка жолдору жөнүндө сүйлөштүк.
Чынында, бул тема алда канча кеңири жана аны жакшыраак түшүнгүңүз келсе, көбүрөөк атайын адабияттарды окууну сунуштайбыз.
