Кокус чоңдуктардын жана алардын өзгөрмөлөрүнүн бөлүштүрүү функцияларын табуу үчүн билимдин бул тармагынын бардык өзгөчөлүктөрүн изилдөө керек. Каралып жаткан баалуулуктарды табуу үчүн бир нече ар кандай ыкмалар бар, анын ичинде өзгөрмөнү өзгөртүү жана учурду түзүү. Бөлүштүрүү - дисперсия, вариация сыяктуу элементтерге негизделген түшүнүк. Бирок алар чачыратуу амплитудасынын даражасын гана мүнөздөйт.
Кокус чоңдуктардын маанилүү функциялары - бул өз ара байланышкан жана көз карандысыз жана бирдей бөлүштүрүлгөн функциялар. Мисалы, эгерде X1 - эркек популяциядан кокусунан тандалган инсандын салмагы, X2 - башкасынын салмагы, … жана Xn - эркек популяциядан дагы бир адамдын салмагы, анда биз кокустуктун кандайча иштешин билишибиз керек. X бөлүштүрүлөт. Бул учурда борбордук чек теоремасы деп аталган классикалык теорема колдонулат. Бул чоң n үчүн функция стандарттык бөлүштүрүүгө ылайык келерин көрсөтүүгө мүмкүндүк берет.
Бир кокустук чоңдуктун функциялары
Борбордук чек теоремасы биномдук жана Пуассон сыяктуу каралып жаткан дискреттик маанилерди жакындатуу үчүн. Кокус чоңдуктардын бөлүштүрүү функциялары, биринчи кезекте, бир өзгөрмөнүн жөнөкөй маанилери боюнча каралат. Мисалы, эгерде X өзүнүн ыктымалдык бөлүштүрүлүшүнө ээ болгон үзгүлтүксүз кокустук болсо. Бул учурда, биз эки түрдүү ыкманы, атап айтканда бөлүштүрүү функциясынын ыкмасын жана өзгөрмөнүн өзгөрүүсүн колдонуп, Yнин тыгыздык функциясын кантип табууга болорун изилдейбиз. Биринчиден, бирден-бир баалуулуктар гана каралат. Андан кийин анын ыктымалдуулугун табуу үчүн өзгөрмөнүн өзгөртүү техникасын өзгөртүү керек. Акырында, тескери кумулятивдүү бөлүштүрүү функциясы белгилүү бир ырааттуу схемаларды карманган кокус сандарды моделдөөгө кандайча жардам берерин үйрөнүшүбүз керек.
Каралган баалуулуктарды бөлүштүрүү ыкмасы
Кокус чоңдуктун ыктымалдык бөлүштүрүү функциясынын ыкмасы анын тыгыздыгын табуу үчүн колдонулат. Бул ыкманы колдонууда топтолгон маани эсептелет. Андан кийин, аны дифференциялоо менен, сиз ыктымалдык тыгыздыгын ала аласыз. Эми биз бөлүштүрүү функциясынын ыкмасына ээ болгондон кийин, биз дагы бир нече мисалдарды карай алабыз. X белгилүү бир ыктымалдык тыгыздыгы менен үзгүлтүксүз кокустук чоңдук болсун.
x2 ыктымалдык тыгыздык функциясы кандай? Эгер сиз функцияны (жогорку жана оң) y \u003d x2 карасаңыз же графигин көрсөтсөңүз, анын X жана 0 <y<1 өсүп жатканын байкасаңыз болот. Эми Y табуу үчүн каралып жаткан ыкманы колдонуу керек. Биринчиден, кумулятивдүү бөлүштүрүү функциясы табылды, ыктымалдык тыгыздыгын алуу үчүн жөн гана дифференциялоо керек. Ошентип, биз алабыз: 0<y<1. Бөлүштүрүү ыкмасы Y Xтин өсүүчү функциясы болгондо Y табуу үчүн ийгиликтүү ишке ашырылды. Айтмакчы, f(y) 1ге y үстүнө интеграцияланат.
Акыркы мисалда, кумулятивдик функцияларды жана ыктымалдык тыгыздыгын X же Y менен индекстөө үчүн, алардын кайсы кокустук чоңдукка таандык экенин көрсөтүү үчүн өтө кылдаттык колдонулган. Мисалы, Yнин кумулятивдүү бөлүштүрүү функциясын тапканда, биз X алдык. Эгер кокус X чоңдугун жана анын тыгыздыгын табышыңыз керек болсо, анда аны жөн гана дифференциялоо керек.
Өзгөрмөлөрдү өзгөртүү техникасы
X жалпы бөлүүчү f (x) менен бөлүштүрүү функциясы тарабынан берилген үзгүлтүксүз кокустук чоңдук болсун. Бул учурда, эгерде сиз у маанисин X=v (Y) ге койсоңуз, анда хтин маанисин аласыз, мисалы v (y). Эми үзгүлтүксүз кокустук Y чоңдугунун бөлүштүрүү функциясын алышыбыз керек. Бул жерде биринчи жана экинчи теңчилик кумулятивдик Y аныктамасынан орун алат. Үчүнчү теңчилик орундалат, анткени функциянын u (X) ≦ y болгон бөлүгү X ≦ v (Y) экендиги да туура. Ал эми акыркысы X үзгүлтүксүз кокустук чоңдугундагы ыктымалдыкты аныктоо үчүн жасалат. Эми Y ыктымалдык тыгыздыгын алуу үчүн FY (y) туундусун, Yнин кумулятивдүү бөлүштүрүү функциясын алышыбыз керек.
Төмөндөө функциясы үчүн жалпылоо
X c1<x<c2 боюнча аныкталган жалпы f (x) менен үзгүлтүксүз кокустук өзгөрмө болсун. Ал эми Y=u (X) тескери X=v (Y) менен Хтин азайуучу функциясы болсун. Функция үзгүлтүксүз жана азаят болгондуктан, тескери X=v (Y) функциясы бар.
Бул маселени чечүү үчүн, сиз сандык маалыматтарды чогултуп, эмпирикалык кумулятивдүү бөлүштүрүү функциясын колдонсоңуз болот. Бул маалымат менен жана ага кызыкканыңыз үчүн, сиз каражаттардын үлгүлөрүн, стандарттык четтөөлөрдү, медиа дайындарын жана башкаларды бириктиришиңиз керек.
Ошондой эле, бир кыйла жөнөкөй ыктымалдык модели да көп натыйжаларга ээ болушу мүмкүн. Мисалы, сиз тыйынды 332 жолу которсоңуз. Анда флиптерден алынган натыйжалардын саны google (10100) натыйжаларынан көп болот - бул сан, бирок белгилүү ааламдагы элементардык бөлүкчөлөрдөн 100 квинтилион эсе жогору эмес. Ар бир мүмкүн болгон жыйынтыкка жооп берген талдоо кызыктырбайт. Баштардын саны же куйруктардын эң узун штрихи сыяктуу жөнөкөй түшүнүк керек болот. Кызыккан маселелерге көңүл буруу үчүн конкреттүү жыйынтык кабыл алынат. Бул учурда аныктама төмөнкүдөй: кокустук чоңдук ыктымалдык мейкиндиги бар реалдуу функция.
Кокус чоңдуктун S диапазону кээде абал мейкиндиги деп аталат. Ошентип, эгерде X каралып жаткан маани болсо, анда N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc ж.б.у.с. Алардын акыркысы, Xти эң жакын бүтүн санга тегеректөө, кабат функциясы деп аталат.
Бөлүштүрүү функциялары
Кокустук x чоңдугу үчүн кызыкчылыктын бөлүштүрүү функциясы аныкталгандан кийин, адатта суроо туулат: "X В маанилеринин кээ бир бөлүгүнө түшүү мүмкүнчүлүгү кандай?". Мисалы, B={так сандар}, B={1ден чоңу}, же B={2 жана 7 ортосунда} X болгон натыйжаларды көрсөтүү үчүн, маанисикокустук өзгөрмө, A топтомунда. Ошентип, жогорудагы мисалда окуяларды төмөнкүдөй сүрөттөй аласыз.
{X – так сан}, {X 1ден чоң}={X> 1}, {X 2 жана 7 ортосунда}={2 <X <7} B кичи көптүгү үчүн жогорудагы үч параметрге дал келет. Кокус чоңдуктардын көптөгөн касиеттери белгилүү бир X менен байланыштуу эмес. Тескерисинче, алар X анын маанилерин кантип бөлүштүрөөрүнө көз каранды. Бул төмөнкүдөй угулган аныктамага алып келет: кокустук x чоңдугунун бөлүштүрүү функциясы кумулятивдүү жана сандык байкоолор менен аныкталат.
Кокус өзгөрмөлөр жана бөлүштүрүү функциялары
Ошентип, сиз x кокустук чоңдуктун бөлүштүрүү функциясынын интервалда маанилерди алуу ыктымалдыгын кемитүү жолу менен эсептей аласыз. Акыркы чекиттерди кошуу же алып салуу жөнүндө ойлонуп көрүңүз.
Эгерде чектүү же саналуу чексиз абал мейкиндиги болсо, кокус өзгөрмө дискреттик деп аталат. Ошентип, X - р ыктымалдыгы менен өскөн бир тараптуу монетанын үч көз карандысыз шилтелген баштарынын саны. Биз X үчүн дискреттүү кокус өзгөрмөнүн FX кумулятивдик бөлүштүрүү функциясын табышыбыз керек. X үч карттын коллекциясындагы чокулардын саны болсун. Андан кийин Y=X3 FX аркылуу. FX 0дөн башталып, 1де аяктайт жана x баалуулуктары жогорулаган сайын азайбайт. X дискреттик кокустук шамасынын кумулятивдүү FX бөлүштүрүү функциясы секирүүлөрдү кошпогондо, туруктуу. Секирип жатканда FX үзгүлтүксүз болот. Туура жөнүндөгү билдирүүнү далилдеңизыктымалдык касиетинен бөлүштүрүү функциясынын үзгүлтүксүздүгү аныктоону колдонуу менен мүмкүн болот. Бул мындай угулат: туруктуу кокустук чоңдуктун дифференциалдануучу кумулятивдүү FX бар.
Мунун кантип болушу мүмкүн экенин көрсөтүү үчүн, биз мисал келтирсек болот: бирдик радиусу бар бутага. Болжол менен. жебе белгиленген аянтка бир калыпта бөлүштүрүлөт. Кээ бир λ> 0 үчүн. Ошентип, үзгүлтүксүз кокус чоңдуктардын бөлүштүрүү функциялары бир калыпта өсөт. FX бөлүштүрүү функциясынын касиеттерине ээ.
Бир киши автобус келгенче аялдамада күтүп турат. Күтүү 20 мүнөткө жеткенде баш тартам деп өзү чечти. Бул жерде Т үчүн кумулятивдүү бөлүштүрүү функциясын табуу керек. Адам дагы эле автовокзалда боло турган же кетпей турган убакыт. Кумулятивдүү бөлүштүрүү функциясы ар бир кокустук чоңдук үчүн аныкталгандыгына карабастан. Ошол эле учурда башка мүнөздөмөлөр да көп колдонулат: дискреттик өзгөрмө үчүн масса жана кокус чоңдуктун бөлүштүрүү тыгыздыгы функциясы. Адатта маани ушул эки маанинин бири аркылуу чыгарылат.
Массалык функциялар
Бул маанилер жалпы (массалык) мүнөзгө ээ болгон төмөнкү касиеттер менен каралат. Биринчиси, ыктымалдыктардын терс эмес экендигине негизделет. Экинчиси, бардык x=2S үчүн топтом, X үчүн мамлекеттик мейкиндик Xтин ыктымалдык эркиндигинин бөлүгүн түзөрүн байкоодон келип чыгат. Мисал: натыйжалары көз карандысыз болгон бир жактуу монетаны ыргытуу. Сиз жасай берсеңиз болотбир түрмөк баштарды алганга чейин белгилүү бир иш-аракеттер. X биринчи баштын алдындагы куйруктардын санын берген кокустук чоңдукту белгилесин. Жана p кандайдыр бир иш-аракеттин ыктымалдыгын билдирет.
Ошентип, массалык ыктымалдык функциясы төмөнкүдөй мүнөздөмөлөргө ээ. Терминдер сандык ырааттуулукту түзгөндүктөн, X геометриялык кокустук чоңдук деп аталат. Геометриялык схема c, cr, cr2,.,,, crn суммасы бар. Демек, sn n 1 чегине ээ. Бул учурда чексиз сумма чек болуп саналат.
Жогорудагы масса функциясы катышы бар геометриялык ырааттуулукту түзөт. Демек, а жана б натурал сандары. Бөлүштүрүү функциясындагы маанилердин айырмасы массалык функциянын маанисине барабар.
Каралып жаткан тыгыздык маанилеринин аныктамасы бар: X FX бөлүштүрүүсү туундуга ээ болгон кокус өзгөрмө. FX канааттандыруучу Z xFX (x)=fX (t) dt-1 ыктымалдык тыгыздык функциясы деп аталат. Ал эми X үзгүлтүксүз кокустук деп аталат. Эсептөөнүн негизги теоремасында тыгыздык функциясы бөлүштүрүүнүн туундусу болуп саналат. Белгилүү интегралдарды эсептөө менен ыктымалдуулуктарды эсептей аласыз.
Маалыматтар бир нече байкоолордон чогултулгандыктан, эксперименталдык процедураларды моделдөө үчүн бир эле учурда бирден ашык кокустук өзгөрмө каралышы керек. Демек, бул баалуулуктардын жыйындысы жана алардын эки өзгөрмө X1 жана X2 үчүн биргелешкен бөлүштүрүү окуяларды көрүү дегенди билдирет. Дискреттүү кокус чоңдуктар үчүн биргелешкен ыктымалдык масса функциялары аныкталат. Үзгүлтүксүз болгондор үчүн fX1, X2 каралат, мындабиргелешкен ыктымалдык тыгыздыгы канааттандырылды.
Көз карандысыз кокус өзгөрмөлөр
Эки кокус өзгөрмө X1 жана X2 көз карандысыз, эгерде алар менен байланышкан эки окуя бирдей болсо. Сөз менен айтканда, эки окуянын {X1 2 B1} жана {X2 2 B2} бир убакта пайда болуу ыктымалдыгы, у, жогорудагы өзгөрмөлөрдүн көбөйтүндүсүнө барабар, алардын ар бири өз алдынча пайда болот. Көз карандысыз дискреттүү кокус чоңдуктар үчүн чектөөчү иондун көлөмүнүн көбөйтүлүшү болгон биргелешкен ыктымалдык масса функциясы бар. Көзкарандысыз болгон үзгүлтүксүз кокустук чоңдуктар үчүн биргелешкен ыктымалдык тыгыздык функциясы чектүү тыгыздык маанилеринин көбөйтүндүсү болуп саналат. Акырында, биз n көз карандысыз байкоолорду карап көрөлү x1, x2,.,,, xn белгисиз тыгыздык же масса функциясынан келип чыккан f. Мисалы, автобустун күтүү убактысын сүрөттөгөн экспоненциалдык кокустук чоңдуктун функцияларындагы белгисиз параметр.
Кокус өзгөрмөлөрдү имитациялоо
Бул теориялык талаанын негизги максаты статистикалык илимдин негиздүү принциптерине негизделген тыянак чыгаруу процедураларын иштеп чыгуу үчүн зарыл болгон куралдар менен камсыз кылуу. Ошентип, программалык камсыздоону колдонуунун эң маанилүү жагдайларынын бири - бул чыныгы маалыматты тууроо үчүн псевдо-маалыматтарды түзүү мүмкүнчүлүгү. Бул реалдуу маалымат базаларында аларды колдонуудан мурун талдоо ыкмаларын сынап көрүүгө жана өркүндөтүүгө мүмкүндүк берет. Бул аркылуу маалыматтардын касиеттерин изилдөө үчүн талап кылынатмоделдөө. Кокус өзгөрмөлөрдүн көп колдонулган үй-бүлөлөрү үчүн R аларды түзүү үчүн буйруктарды берет. Башка жагдайлар үчүн жалпы бөлүштүрүлүшү бар көз карандысыз кокустук чоңдуктардын ырааттуулугун моделдөө ыкмалары талап кылынат.
Дискреттик кокус өзгөрмөлөр жана буйрук үлгүсү. Үлгү буйругу жөнөкөй жана катмарланган кокус үлгүлөрдү түзүү үчүн колдонулат. Натыйжада, эгерде x тизмеги киргизилсе, үлгү(x, 40) x ичинен 40 жазууну тандайт, 40 өлчөмүндөгү бардык тандоолор бирдей ыктымалдуулукка ээ. Бул алмаштыруусуз алуу үчүн демейки R буйругун колдонот. Ошондой эле дискреттик кокустук чоңдуктарды моделдөө үчүн колдонулушу мүмкүн. Бул үчүн x векторунда абал мейкиндигин жана f масса функциясын берүү керек. Алмаштыруу үчүн чакыруу=TRUE үлгү алуу алмаштыруу менен ишке ашарын көрсөтөт. Андан кийин, жалпы f массалык функциясына ээ болгон n көз карандысыз кокустук чоңдуктун үлгүсүн берүү үчүн үлгү (x, n, алмаштыруу=TRUE, prob=f) колдонулат.
1 көрсөтүлгөн эң кичине маани, ал эми 4 баарынан чоңу экени аныкталды. Эгерде prob=f буйругу алынып салынса, анда үлгү x векторундагы маанилерден бирдей тандалат. Сиз==кош барабар белгисин карап, симуляцияны маалыматтарды түзгөн масса функциясына каршы текшере аласыз. Жана х үчүн мүмкүн болгон бардык маанилерди алган байкоолорду кайра эсептөө. Сиз стол жасай аласыз. Муну 1000 үчүн кайталаңыз жана симуляцияны тиешелүү масса функциясы менен салыштырыңыз.
Ыктымалдуулуктун трансформациясынын иллюстрациясы
Биринчиu1, u2, кокус чоңдуктардын бир тектүү бөлүштүрүү функцияларын симуляциялоо.,,, un [0, 1] интервалында. Сандардын болжол менен 10% [0, 3, 0, 4] ичинде болушу керек. Бул көрсөтүлгөн FX бөлүштүрүү функциясы менен кокус өзгөрмө үчүн [0, 28, 0, 38] интервалындагы симуляциялардын 10% туура келет. Ошо сыяктуу эле, кокус сандардын 10% жакыны [0, 7, 0, 8] аралыкта болушу керек. Бул FX бөлүштүрүү функциясы менен кокустуктун [0, 96, 1, 51] интервалындагы 10% симуляцияларга туура келет. x огундагы бул маанилерди FX тескерисин алуу менен алууга болот. Эгерде X үзгүлтүксүз кокус өзгөрмө болсо, тыгыздыгы fX анын доменинин бардык жеринде оң болсо, анда бөлүштүрүү функциясы катуу өсөт. Бул учурда, FX квантилдик функция катары белгилүү болгон тескери FX-1 функциясына ээ. FX (x) u x FX-1 (u) болгондо гана. Ыктымалдуулуктун өзгөрүшү U=FX (X) кокустук чоңдугунун анализинен келип чыгат.
FX 0дөн 1ге чейинки диапазонго ээ. Ал 0дөн төмөн же 1ден жогору болбошу керек. 0 жана 1 ортосундагы u маанилери үчүн. Эгер U окшоштурулса, анда FX бөлүштүрүлүшү менен кокус өзгөрмө болушу керек. кванттык функция аркылуу симуляцияланган. Туундуну алгыла, u тыгыздыгы 1 ичинде өзгөрөт. U кокустук чоңдугу өзүнүн мүмкүн болгон маанилеринин интервалында туруктуу тыгыздыкка ээ болгондуктан, ал [0, 1] интервалында бирдей деп аталат. Ал R-да runif буйругу менен моделделет. Иденттик ыктымалдык трансформация деп аталат. Анын кантип иштээрин дарт тактасынын мисалында көрө аласыз. 0 жана 1 ортосундагы X, функциябөлүштүрүү u=FX (x)=x2, демек, квантилдик функция x=FX-1 (u). Дарт панелинин борборуна чейинки аралыкка көз карандысыз байкоолорду моделдештирип, ошентип U1, U2, бирдей кокустук чоңдуктарды түзүүгө болот.,, Ун. Бөлүштүрүү функциясы жана эмпирикалык функция дарт тактасын бөлүштүрүүнүн 100 симуляциясына негизделген. Экспоненциалдык кокустук чоңдук үчүн, болжолдуу түрдө u=FX (x)=1 - exp (- x), демек, x=- 1 ln (1 - u). Кээде логика эквиваленттүү билдирүүлөрдөн турат. Бул учурда, аргументтин эки бөлүгүн бириктирүү керек. Кесилиштин идентификациясы кээ бир маанинин ордуна бардык 2 {S i i} S үчүн окшош. Ci бирикмеси S мамлекеттик мейкиндигине барабар жана ар бир жуп бири-бирин жокко чыгарат. Анткени Би - үч аксиомага бөлүнөт. Ар бир текшерүү тиешелүү P ыктымалдуулугуна негизделген. Кандайдыр бир бөлүмчө үчүн. Жооп интервалдын акыркы чекиттери камтылганына көз каранды эмес экенин текшерүү үчүн идентификацияны колдонуу.
Экспоненциалдык функция жана анын өзгөрмөлөрү
Бардык окуялардагы ар бир жыйынтык үчүн акырында аксиоматикалык деп эсептелген ыктымалдуулуктун үзгүлтүксүздүгүнүн экинчи касиети колдонулат. Бул жердеги кокус чоңдуктун функциясынын бөлүштүрүү мыйзамы ар биринин өзүнүн чечими жана жообу бар экенин көрсөтүп турат.
