Көпчүлүгү "Ыктымалдуулук теориясы" түшүнүгүнө туш болуп, бул өтө татаал, өтө татаал нерсе деп ойлоп коркушат. Бирок мунун баары эле трагедиялуу эмес. Бүгүн биз ыктымалдуулук теориясынын негизги концепциясын карап чыгабыз, конкреттүү мисалдар аркылуу маселелерди кантип чечүүнү үйрөнөбүз.
Илим
Математиканын «ыктимдуулук теориясы» сыяктуу тармагы эмнени изилдейт? Ал кокустук окуялардын жана чоңдуктардын үлгүлөрүн белгилейт. Биринчи жолу илимпоздор бул маселеге XVIII кылымда, алар кумар оюндарын изилдеп жүргөндө кызыгышкан. Ыктымалдуулук теориясынын негизги түшүнүгү окуя болуп саналат. Бул тажрыйба же байкоо аркылуу аныкталган ар кандай чындык. Бирок тажрыйба деген эмне? Ыктымалдуулук теориясынын дагы бир негизги концепциясы. Бул жагдайлардын бул курамы кокустан эмес, белгилүү бир максат үчүн түзүлгөн дегенди билдирет. Ал эми байкоого келсек, бул жерде изилдөөчү өзү экспериментке катышпайт, жөн гана бул окуялардын күбөсү, ал болуп жаткандарга эч кандай таасир этпейт.
Окуялар
Биз ыктымалдуулук теориясынын негизги концепциясы окуя экенин билдик, бирок классификацияны караган жокпуз. Алардын баары төмөнкү категорияларга бөлүнөт:
- Ишенимдүү.
- Мүмкүн эмес.
- Кокус.
Эч нерсе эместажрыйбанын жүрүшүндө кандай окуялар байкалат же түзүлөт, алардын бардыгы ушул классификацияга баш ийет. Ар бир түр менен өз-өзүнчө таанышууну сунуштайбыз.
Кээ бир окуя
Бул жагдайга чейин зарыл чаралардын комплекси көрүлгөн. Маңызын жакшыраак түшүнүү үчүн бир нече мисалдарды келтиргенибиз оң. Физика, химия, экономика жана жогорку математика бул мыйзамга баш ийет. Ыктымалдуулук теориясы белгилүү бир окуя сыяктуу маанилүү түшүнүктү камтыйт. Бул жерде кээ бир мисалдар:
- Биз иштейбиз жана эмгек акы түрүндө сыйлык алабыз.
- Экзамендерди жакшы тапшырдык, сынактан өттүк, бул үчүн окуу жайга кирүү түрүндө сыйлык алабыз.
- Биз банкка акча салганбыз, керек болсо кайтарып алабыз.
Мындай окуялар ишенимдүү. Эгерде биз бардык керектүү шарттарды аткарган болсок, анда күтүлгөн натыйжаны сөзсүз алабыз.
Мүмкүн эмес окуялар
Азыр биз ыктымалдуулук теориясынын элементтерин карап жатабыз. Биз окуянын кийинки түрүн түшүндүрүүгө өтүүнү сунуштайбыз, тактап айтканда, мүмкүн эмес. Биринчиден, эң маанилүү эрежени тактап алалы – мүмкүн эмес окуянын ыктымалдыгы нөлгө барабар.
Маселелерди чечүүдө бул сөздөн четтей албайсыз. Тактоо үчүн, мындай окуялардын мисалдары:
- Суу плюс ондо тоңду (бул мүмкүн эмес).
- Электр энергиясынын жетишсиздиги өндүрүшкө эч кандай таасирин тийгизбейт (мурунку мисалдагыдай эле мүмкүн эмес).
Дагы мисалдарЖогоруда айтылгандар бул категориянын маңызын ачык чагылдыргандыктан, келтирүүнүн кереги жок. Мүмкүн эмес окуя тажрыйба учурунда эч качан болбойт.
Кокус окуялар
Ыктымалдуулук теориясынын элементтерин изилдеп, окуянын ушул өзгөчө түрүнө өзгөчө көңүл буруу керек. Муну илим изилдеп жатат. Тажрыйбанын натыйжасында бир нерсе болушу мүмкүн же болбой калышы мүмкүн. Мындан тышкары, тест чексиз көп жолу кайталанышы мүмкүн. Жаркын мисалдар:
- Тыйын ыргытуу - бул тажрыйба же сыноо, рубрика - окуя.
- Топту баштыктан сокур чыгаруу - бул сыноо, кызыл топту кармоо - окуя жана башкалар.
Мындай мисалдардын чексиз саны болушу мүмкүн, бирок, жалпысынан, маңызы ачык болушу керек. Окуялар жөнүндө алынган билимдерди жалпылоо жана системалаштыруу үчүн таблица берилет. Ыктымалдуулук теориясы берилгендердин акыркы түрүн гана изилдейт.
| аталышы | аныктоо | мисалы |
| Ишенимдүү | Белгилүү шарттарда 100% кепилдик менен болгон окуялар. | Окуу жайына жакшы кирүү экзамени менен кабыл алуу. |
| Мүмкүн эмес | Эч качан эч качан болбой турган окуялар. | Плюс отуз градус Цельсияда кар жаайт. |
| Кокус | Эксперимент/сыноо учурунда болушу же болбошу мүмкүн болгон окуя. | Баскетбол тобун обручка ыргытып жатканда уруңуз же өткөрүп жибериңиз. |
Мыйзамдар
Ыктымалдуулук теориясы – окуянын болушу мүмкүндүгүн изилдөөчү илим. Башкалар сыяктуу эле, анын кээ бир эрежелери бар. Ыктымалдуулук теориясынын төмөнкү мыйзамдары бар:
- Кокус чоңдуктардын ырааттуулугу.
- Чоң сандар мыйзамы.
Комплекстин мүмкүнчүлүгүн эсептөөдө, натыйжага оңой жана тезирээк жетүү үчүн жөнөкөй окуялардын комплексин колдонсоңуз болот. Ыктымалдуулук теориясынын мыйзамдары кээ бир теоремалардын жардамы менен оңой далилдене тургандыгына көңүл буруңуз. Биринчи мыйзамдан баштайлы.
Кокус чоңдуктардын тизмегинин конвергенциясы
Жакындаштыруунун бир нече түрү бар экенин эске алыңыз:
- Кокус өзгөрмөлөрдүн ырааттуулугу ыктымалдуулукта биригет.
- Дээрлик мүмкүн эмес.
- RMS конвергенциясы.
- Бөлүштүрүүдөгү конвергенция.
Ошентип, учуп баратып, анын түбүнө жетүү абдан кыйын. Бул теманы түшүнүүгө жардам берүү үчүн кээ бир аныктамалар бар. Биринчи кароодон баштайлы. Төмөнкү шарт аткарылса, ырааттуулук ыктымалдыгы боюнча конвергент деп аталат: n чексиздикке умтулат, ырааттуулукка умтулган сан нөлдөн чоң жана бирге жакын.
Кийинки көрүнүшкө өтүү, дээрлик сөзсүз. Алар ошентип айтышатырааттуулук дээрлик сөзсүз түрдө кокустук чоңдукка жакындайт, n чексиздикке умтулат жана P бирге жакын мааниге умтулат.
Кийинки түрү - тамыр-орто чарчы конвергенциясы. SC-конвергенцияны колдонууда вектордук кокустук процесстерди изилдөө алардын координаттык кокустук процесстерин изилдөөгө кыскартылат.
Акыркы түрү калды, келгиле, көйгөйлөрдү түз чечүүгө өтүү үчүн аны кыскача карап чыгалы. Бөлүштүрүү конвергенциясы башка аталышка ээ - "алсыз", эмне үчүн төмөндө түшүндүрөбүз. Алсыз жакындашуу – чектик бөлүштүрүү функциясынын үзгүлтүксүздүгүнүн бардык чекиттериндеги бөлүштүрүү функцияларынын жакындашуусу.
Убаданы сөзсүз аткарыңыз: начар конвергенция жогоруда айтылгандардын баарынан кокустук чоңдуктун ыктымалдык мейкиндигинде аныкталбаганы менен айырмаланат. Бул шарт бөлүштүрүүчү функцияларды колдонуу менен түзүлгөндүктөн мүмкүн.
Чоң сандар мыйзамы
Бул мыйзамды далилдөөдө эң сонун жардамчылар ыктымалдуулук теориясынын теоремалары болот, мисалы:
- Чебышев теңсиздиги.
- Чебышев теоремасы.
- Жалпыланган Чебышев теоремасы.
- Марковдун теоремасы.
Эгерде бул теоремалардын баарын эске алсак, анда бул суроо бир нече ондогон барактарга созулуп кетиши мүмкүн. Биздин негизги милдетибиз – ыктымалдуулук теориясын практикада колдонуу. Сизди азыр муну кылууга чакырабыз. Бирок ага чейин ыктымалдуулук теориясынын аксиомаларын карап көрөлү, алар маселелерди чечүүдө негизги жардамчы болот.
Аксиомалар
Мүмкүн эмес окуя жөнүндө сүйлөшкөндө биринчи жолуктук. Эсибизде болсун: мүмкүн эмес окуянын ыктымалдыгы нөлгө барабар. Биз абдан ачык жана эсте каларлык мисал келтирдик: абанын температурасы отуз градус Цельсияда кар жаады.
Экинчиси мындай угулат: ишеничтүү окуя бирге барабар ыктымалдуулук менен болот. Эми аны математикалык тил менен кантип жазуу керектигин көрсөтөлү: P(B)=1.
Үчүнчүсү: Кокус окуя болушу мүмкүн же болбошу мүмкүн, бирок мүмкүнчүлүк ар дайым нөлдөн бирге чейин өзгөрөт. Маани бирге канчалык жакын болсо, ошончолук көп мүмкүнчүлүк; эгерде маани нөлгө жакындаса, ыктымалдуулук өтө төмөн. Муну математикалык тилде жазалы: 0<Р(С)<1.
Ушундай угулган акыркы, төртүнчү аксиоманы карап көрөлү: эки окуянын суммасынын ыктымалдыгы алардын ыктымалдыктарынын суммасына барабар. Биз математикалык тилде жазабыз: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Ыктымалдуулук теориясынын аксиомалары – эсте калууга оңой болгон эң жөнөкөй эрежелер. Келиңиз, буга чейин алган билимдердин негизинде кээ бир маселелерди чечкенге аракет кылалы.
Лотерея билети
Биринчи, эң жөнөкөй мисалды - лотереяны карап көрөлү. Ийгилик үчүн бир лотерея билетин сатып алдыңыз деп элестетиңиз. Сиз жок дегенде жыйырма рубль утуп алуу ыктымалдыгы кандай? Бардыгы болуп жүгүртүүгө миң билет катышат, алардын бирөө беш жүз рублдан, он жүз рублдан, элүүдөн жыйырма рублдан, жүз беш сомдон сыйлыкка ээ. Ыктымалдуулук теориясындагы маселелер мүмкүнчүлүктү табууга негизделгенИйгиликтер. Эми биз жогоруда берилген тапшырманы чечүүнү чогуу талдайбыз.
Эгер А тамгасы менен беш жүз рублдик утушту белгилесек, анда А алуу ыктымалдыгы 0,001 болот. Биз аны кантип алдык? Сиз жөн гана "бактылуу" билеттердин санын алардын жалпы санына бөлүшүңүз керек (бул учурда: 1/1000).
B – жүз рублдик утуш, ыктымалдык 0,01 болот. Эми биз мурунку аракеттегидей принцип боюнча иш-аракет кылдык (10/1000)
C - утуштар жыйырма рублга барабар. Ыктымалдуулукту табыңыз, ал 0,05ке барабар.
Калган билеттер бизди кызыктырбайт, анткени алардын байге фонду шартта көрсөтүлгөндөн аз. Төртүнчү аксиоманы колдонолу: Жыйырма рублдан кем эмес утуп алуу ыктымалдыгы P(A)+P(B)+P(C). P тамгасы бул окуянын пайда болуу ыктымалдыгын билдирет, биз аларды мурунку кадамдарда тапканбыз. Керектүү маалыматтарды кошуу гана калды, жоопто 0, 061 алабыз. Бул сан тапшырманын суроосуна жооп болот.
Карта палубасы
Ыктымалдуулук теориясынын маселелери татаалыраак болушу мүмкүн, мисалы, төмөнкү тапшырманы аткарыңыз. Сиздин алдыңызда отуз алты картадан турган палуба. Сиздин милдетиңиз үймөктү аралаштырбастан катары менен эки картаны тартуу, биринчи жана экинчи карталар эйс болушу керек, костюм маанилүү эмес.
Биринчи, биринчи картанын Эйс болуу ыктымалдыгын табалы, бул үчүн төрттү отуз алтыга бөлөбүз. Алар аны четке коюшту. Биз экинчи картаны чыгарабыз, ал үч отуз бештен ыктымалдыгы бар эйс болот. Экинчи окуянын ыктымалдыгы биз кайсы картаны биринчи тартканыбызга жараша болотбул Эйс беле же жокпу. Демек, В окуясы А окуясынан көз каранды.
Кийинки кадам бир эле учурда ишке ашыруу ыктымалдыгын табуу, башкача айтканда, биз А жана В көбөйтөбүз. Алардын продуктысы төмөнкүчө табылат: бир окуянын ыктымалдыгы экинчи окуянын шарттуу ыктымалдыгына көбөйтүлөт, аны биз эсептейбиз., биринчи окуя болду деп ойлосок, башкача айтканда, биринчи карта менен биз Эйс тарттык.
Баары түшүнүктүү болуш үчүн, окуянын шарттуу ыктымалдыгы сыяктуу элементке белги берели. А окуясы болгон деп эсептелинет. Төмөнкүдөй эсептелген: P(B/A).
Маселени чечүүнү улантыңыз: P(AB)=P(A)P(B/A) же P (AB)=P(B)P(A/B). Ыктымалдуулук (4/36)((3/35)/(4/36). Жүздүктөргө тегеректөө менен эсептеңиз. Бизде: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Катары менен эки эйс тартуу ыктымалдыгы тогуз жүздөн бир бөлүгү. Мааниси өтө кичинекей, демек, окуянын болуу ыктымалдыгы өтө аз.
Унутулган номер
Ыктымалдуулук теориясы менен изилденген тапшырмалардын дагы бир нече варианттарын талдап чыгууну сунуштайбыз. Сиз бул макалада алардын айрымдарын чечүүнүн мисалдарын көрдүңүз, келгиле, төмөнкү маселени чечүүгө аракет кылалы: бала досунун телефон номеринин акыркы санын унутуп калыптыр, бирок чалуу абдан маанилүү болгондуктан, ал баарын кезеги менен тере баштады. Ал үч жолудан ашык эмес телефон чалуу ыктымалдыгын эсептеп чыгышыбыз керек. Ыктымалдуулук теориясынын эрежелери, мыйзамдары жана аксиомалары белгилүү болсо, маселени чечүү эң жөнөкөй болуп саналат.
Көрүүдөн мурунчечим, аны өзүңүз чечкенге аракет кылыңыз. Биз акыркы цифра нөлдөн тогузга чейин болушу мүмкүн экенин билебиз, башкача айтканда, жалпысынан он маани бар. Туурасын алуу ыктымалдыгы 1/10.
Кийин, окуянын келип чыгышынын варианттарын карап чыгышыбыз керек, бала туура ойлоп таап, дароо туура гол киргизди дейли, мындай окуянын ыктымалдыгы 1/10. Экинчи вариант: биринчи чалуу сагынуу, экинчиси максаттуу. Биз мындай окуянын ыктымалдыгын эсептейбиз: 9/10ду 1/9га көбөйтөбүз, натыйжада биз да 1/10 алабыз. Үчүнчү вариант: биринчи жана экинчи чалуулар туура эмес даректе болуп чыкты, үчүнчүдөн гана бала каалаган жерине жетти. Биз мындай окуянын ыктымалдыгын эсептейбиз: 9/10ду 8/9га жана 1/8ге көбөйтөбүз, натыйжада 1/10 алабыз. Көйгөйдүн шартына ылайык, бизди башка варианттар кызыктырбайт, ошондуктан жыйынтыктарды кошуу бизге калды, натыйжада бизде 3/10. Жооп: Баланын үч жолудан ашык чалуу ыктымалдыгы 0,3.
Сандар бар карталар
Алдыңызда тогуз карта бар, алардын ар бирине бирден тогузга чейинки сандар жазылган, сандар кайталанбайт. Алар кутуга салынып, жакшылап аралаштырылды. Сиз
ыктымалдыгын эсептешиңиз керек
- жуп сан чыгат;
- эки орундуу.
Чечимге өтүүдөн мурун, m - ийгиликтүү иштердин саны, ал эми n - варианттардын жалпы саны экенин шарттайлы. Сандын жуп болуу ыктымалдыгын табыңыз. Төрт жуп сан бар экенин эсептөө кыйын болбойт, бул биздин m болот, бардыгы болуп тогуз вариант бар, башкача айтканда, m=9. Андан кийин ыктымалдуулук0, 44 же 4/9 барабар.
Экинчи учурду карап көрөлү: варианттардын саны тогуз жана эч кандай ийгиликтүү жыйынтык болушу мүмкүн эмес, башкача айтканда, m нөлгө барабар. Тартылган картада эки орундуу сан болушу ыктымалдыгы да нөлгө барабар.
