"Ферма теоремасы - кыскача далил" деген суроонун популярдуулугуна караганда, бул математикалык маселе чындап эле көпчүлүктү кызыктырат. Бул теореманы биринчи жолу 1637-жылы Пьер де Ферма "Арифметика" китебинин бир нускасынын четинде айтып, анда анын четине батпай турган өтө чоң чечим бар деп ырастаган.
Биринчи ийгиликтүү далил 1995-жылы жарык көргөн - бул Эндрю Уайлс тарабынан Ферма теоремасынын толук далили болгон. Бул "таң калыштуу прогресс" катары сыпатталып, Уайлс 2016-жылы Абел сыйлыгын алууга түрткү болгон. Салыштырмалуу кыскача сүрөттөлсө да, Ферма теоремасынын далили модулдук теореманын көп бөлүгүн далилдеди жана башка көптөгөн көйгөйлөргө жаңы ыкмаларды жана модулдукту көтөрүүнүн эффективдүү ыкмаларын ачты. Бул жетишкендиктер математиканы 100 жылдан кийин өнүктүргөн. Ферманын кичинекей теоремасынын далили бүгүнкү күндө андай эмесадаттан тыш нерсе.
Чечилбеген маселе 19-кылымда алгебралык сандар теориясынын өнүгүшүнө жана 20-кылымда модулдук теореманын далилин издөөгө түрткү болгон. Бул математика тарыхындагы эң көрүнүктүү теоремалардын бири жана Ферманын акыркы теоремасы толук бөлүнүү менен далилденгенге чейин ал Гиннесстин рекорддор китебине "эң татаал математикалык маселе" катары кирген, анын өзгөчөлүктөрүнүн бири болуп саналат. анда эң көп ийгиликсиз далилдер бар.
Тарыхый маалымат
Пифагор теңдемеси x2 + y2=z2 чексиз оң санга ээ x, y жана z үчүн бүтүн сан чечимдери. Бул чечимдер Пифагор үчилтиги деп аталат. Болжол менен 1637-жылы Ферма китептин четине a + b =cтеңдемеси жок деп жазган. натурал сандардагы чечимдер, эгерде n 2ден чоң бүтүн сан болсо. Ферма өзү маселенин чечими бар деп ырастаганы менен, анын далили жөнүндө эч кандай майда-чүйдөсүнө чейин калтырган эмес. Ферма теоремасынын негиздүү далили, анын жаратуучусу тарабынан айтылган, анын мактанчаак ойлоп табуусу болгон. Улуу француз математигинин китеби ал өлгөндөн 30 жылдан кийин табылган. Ферманын акыркы теоремасы деп аталган бул теңдеме үч жарым кылым бою математикада чечилбей келген.
Теорема акыры математикадагы эң көрүнүктүү чечилбеген маселелердин бири болуп калды. Муну далилдөө аракеттери сандар теориясынын олуттуу өнүгүшүнө алып келдиубакыттын өтүшү менен Ферманын акыркы теоремасы математикада чечилбеген маселе катары белгилүү болгон.
Далилдердин кыскача тарыхы
Эгер n=4 болсо, Ферма өзү далилдегендей, жөнөкөй сандар болгон n индекстери үчүн теореманы далилдөө жетиштүү. Кийинки эки кылымдын ичинде (1637-1839-ж.) божомол 3, 5 жана 7 жөнөкөй сандар үчүн гана далилденген, бирок Софи Жермен жаңыланган жана жөнөкөй сандардын бүткүл классына тиешелүү ыкманы далилдеген. 19-кылымдын орто ченинде Эрнст Куммер муну кеңейтип, бардык регулярдуу жай сандар үчүн теореманы далилдеген, мында туура эмес жай сандар жекече талданган. Куммердин эмгегинин негизинде жана татаал компьютердик изилдөөлөрдү колдонуу менен, башка математиктер теореманын чечилишин кеңейте алышты, анын максаты бардык негизги көрсөткүчтөрдү төрт миллионго чейин камтууга жетишти, бирок бардык көрсөткүчтөр үчүн далил дагы эле жеткиликтүү эмес (математиктер демейде теореманын чечилишин мүмкүн эмес, өтө татаал же учурдагы билим менен ишке ашыруу мүмкүн эмес деп эсептешет).
Шимура менен Таняманын чыгармасы
1955-жылы жапон математиктери Горо Шимура менен Ютака Танияма эллиптикалык ийри сызыктар менен модулдук формалардын, математиканын такыр башка эки тармагынын ортосунда байланыш бар деп шектенишкен. Ошол кезде Танияма-Шимура-Вейль гипотезасы жана (акыры) модулдук теоремасы катары белгилүү болгон, ал Ферманын акыркы теоремасы менен эч кандай ачык байланышы жок, өз алдынча бар болгон. Анын өзү кеңири маанилүү математикалык теорема катары кабыл алынган, бирок аны (Ферма теоремасы сыяктуу) далилдөө мүмкүн эмес деп эсептелген. ОшондоОшол эле учурда Ферманын акыркы теоремасын (татаал математикалык формулаларды бөлүү жана колдонуу аркылуу) далилдөө жарым кылымдан кийин гана ишке ашты.
1984-жылы Герхард Фрей мурда байланышы жок жана чечилбеген бул эки көйгөйдүн ортосунда ачык байланыш бар экенин байкаган. Эки теореманын бири-бири менен тыгыз байланышта экенин толук ырастоо 1986-жылы Кен Рибет тарабынан жарыяланган, ал Жан-Пьер Серранын жарым-жартылай далилдөөсүнө негизделген, ал "эпсилон гипотезасы" деп аталган бир бөлүгүнөн башкасынын баарын далилдеген. Жөнөкөй сөз менен айтканда, Фрей, Серра жана Рибенин бул эмгектери эгер модулдук теорема жок дегенде эллиптикалык ийри сызыктардын жарым туруктуу классы үчүн далилденсе, анда Ферманын акыркы теоремасынын далили да эртедир-кечтир ачылаарын көрсөттү. Ферманын акыркы теоремасына карама-каршы келе турган ар кандай чечим модулдук теоремага карама-каршы келүү үчүн да колдонулушу мүмкүн. Демек, модулдук теорема туура болуп чыкса, анда аныктама боюнча Ферманын акыркы теоремасына карама-каршы келген чечим болушу мүмкүн эмес, демек, ал жакында далилдениши керек болчу.
Эки теорема тең математикадагы кыйын маселелер болгон, чечилбес деп эсептелгени менен, эки жапондун иши Ферманын акыркы теоремасын кантип кеңейтүүгө жана кээ бир сандарга эмес, бардык сандарга кантип далилдөөгө болорун көрсөткөн биринчи сунуш болду. Изилдөөнүн темасын тандап алган изилдөөчүлөр үчүн Ферманын акыркы теоремасынан айырмаланып, модулдук теорема изилдөөнүн негизги активдүү чөйрөсү болгондугу маанилүү болгон.далилдер иштелип чыккан, жана жөн гана тарыхый кызыкчылык эмес, ошондуктан, анын ишине жумшалган убакыт профессионалдык көз караш менен актоого болот. Бирок, жалпы консенсус Таняма-Симура гипотезасын чечүү орунсуз болуп чыкты.
Фармдын акыркы теоремасы: Уайлс далили
Рибет Фрейдин теориясынын тууралыгын далилдегенин билген англиялык математик Эндрю Уайлс бала кезинен бери Ферманын акыркы теоремасына кызыгып, эллиптикалык ийри сызыктар жана чектеш домендер менен иштөө тажрыйбасы бар, Танияма-Шимураны далилдөөгө аракет кылууну чечти. Ферманын акыркы теоремасын далилдөөнүн бир жолу катары гипотеза. 1993-жылы, өзүнүн максатын жарыялагандан алты жыл өткөндөн кийин, теореманы чечүү маселесинин үстүндө тымызын иштеп жатып, Уайлс тиешелүү божомолду далилдей алган, ал өз кезегинде ага Ферматтын акыркы теоремасын далилдөөгө жардам берет. Уайлстын документинин көлөмү жана көлөмү абдан чоң болгон.
Теореманы биргелешип чечүү үчүн анын түпнуска ишинин бир бөлүгүндө кемчилик табылып, теореманы биргелешип чечүү үчүн Ричард Тейлор менен дагы бир жыл кызматташуу талап кылынган. Натыйжада, Уайлстын Ферманын акыркы теоремасынын акыркы далили көп күттүргөн жок. 1995-жылы ал Уайлстын мурунку математикалык иштерине караганда алда канча кичирээк масштабда басылып чыккан, бул анын теореманы далилдөө мүмкүндүгү жөнүндөгү мурунку корутундуларында жаңылбаганын көрсөтүп турат. Уайлстын жетишкендиги популярдуу басма сөздө кеңири жарыяланып, китептерде жана телекөрсөтүү программаларында кеңири жайылган. Азыр далилденген Танияма-Шимура-Вейль гипотезасынын калган бөлүктөрү жанамодулдук теорема деп аталган, кийинчерээк 1996-2001-жылдар аралыгында Уайлстын иштерине негизделген башка математиктер тарабынан далилденген. Жетишкендиги үчүн Уайлс сыйланган жана көптөгөн сыйлыктарга, анын ичинде 2016-жылы Абел сыйлыгына татыктуу болгон.
Уайлстын Ферманын акыркы теоремасынын далили эллиптикалык ийри сызыктар үчүн модулдук теореманы чечүүнүн өзгөчө учуру. Бирок, бул мындай масштабдуу математикалык операциянын эң белгилүү учуру. Рибе теоремасын чечүү менен бирге англиялык математик Ферманын акыркы теоремасынын далилин да алган. Ферманын акыркы теоремасы жана модулдук теоремасы заманбап математиктер тарабынан дээрлик жалпысынан далилденбейт деп эсептелген, бирок Эндрю Уайлс илим дүйнөсүнө эксперттердин да жаңылышы мүмкүн экенин далилдей алган.
Уайлс биринчи жолу 1993-жылдын 23-июнунда шаршемби күнү Кембридждеги "Модулдук формалар, эллиптикалык ийри сызыктар жана галуа өкүлчүлүктөрү" аттуу лекциясында өзүнүн ачылышын жарыялады. Бирок 1993-жылдын сентябрында анын эсептөөлөрүндө ката бар экени аныкталган. Бир жылдан кийин, 1994-жылдын 19-сентябрында, ал "эмгек жашоосундагы эң маанилүү учур" деп атаган учурда, Уайлс маселенин чечилишин математикалык талаптарга жооп бере тургандай кылып оңдоого мүмкүндүк берген ачылышка чалынган. коомчулук.
Жумуш сүрөттөмөсү
Ферма теоремасын Эндрю Уайлздын далилдери алгебралык геометриядан жана сандар теориясынан көптөгөн ыкмаларды колдонот жана буларда көптөгөн тармактары барматематиканын тармактары. Ал ошондой эле схемалар категориясы жана Ивасава теориясы сыяктуу заманбап алгебралык геометриянын стандарттуу конструкцияларын, ошондой эле 20-кылымдын Пьер де Ферма үчүн жеткиликтүү болбогон башка ыкмаларын колдонот.
Далилдерди камтыган эки макала 129 барактан турат жана жети жылдын ичинде жазылган. Жон Коутс бул ачылышты сандар теориясынын эң чоң жетишкендиктеринин бири деп мүнөздөсө, Жон Конуэй болсо 20-кылымдын негизги математикалык жетишкендиги деп атаган. Уайлс жарым туруктуу эллиптикалык ийри сызыктардын өзгөчө учуру үчүн модулдук теореманы далилдөө аркылуу Ферманын акыркы теоремасын далилдөө үчүн модулдукту көтөрүүнүн күчтүү ыкмаларын иштеп чыккан жана башка көптөгөн көйгөйлөргө жаңы ыкмаларды ачкан. Ферманын акыркы теоремасын чечкени үчүн ал рыцарь наамын алган жана башка сыйлыктарды алган. Уайлс Абел сыйлыгын утуп алганы белгилүү болгондо, Норвегиянын Илимдер академиясы анын жетишкендигин "Ферматтын акыркы теоремасынын эң сонун жана элементардык далили" деп мүнөздөдү.
Кандай болгон
Уайлстын оригиналдуу кол жазмасын теореманын чечими менен карап чыккан адамдардын бири Ник Катц болгон. Карап чыгуунун жүрүшүндө ал британиялыктарга бир катар тактоочу суроолорду берип, Уайлс анын ишинде боштук бар экенин моюнга алууга түрткөн. Далилдөөнүн критикалык бөлүгүндө белгилүү бир топтун тартиби үчүн баа берген ката кетирилген: Колывагин жана Флач ыкмасын кеңейтүү үчүн колдонулган Эйлер системасы толук эмес болчу. Бирок ката анын эмгегин жараксыз кылган жок - Уайлстын ар бир чыгармасы көптөгөн адамдардай эле абдан маанилүү жана жаңычыл болгон.анын ишинин жүрүшүндө жараткан жана кол жазманын бир гана бөлүгүнө таасир эткен өнүгүүлөр жана ыкмалар. Бирок 1993-жылы басылып чыккан бул оригиналдуу эмгекте Ферманын акыркы теоремасынын далили болгон эмес.
Уайлс адегенде жалгыз, анан өзүнүн мурдагы студенти Ричард Тейлор менен кызматташып, теореманын чечимин кайра ачууга дээрлик бир жыл бою аракет кылды, бирок баары текке кеткендей болду. 1993-жылдын аягында Уилстин далилдери сыноодон өтпөй калды деген имиштер тараган, бирок бул ийгиликсиздик канчалык олуттуу экени белгисиз болчу. Математиктер Уилске басым жасай башташты, анын ишинин майда-чүйдөсүнө чейин, ал аткарылганбы же жокпу, ачыкка чыгаруу үчүн, математиктердин кеңири коомчулугу ал эмнеге жетише алса, ошонун баарын изилдеп, колдонушу үчүн. Уайлс катасын тез оңдоонун ордуна Ферманын акыркы теоремасын далилдөөнүн кошумча татаал жактарын гана ачты жана акыры анын канчалык кыйын экенин түшүндү.
Уайлс 1994-жылдын 19-сентябрында эртең менен ал баш тартуунун жана багынуунун чегинде болгонун жана ийгиликсиздик үчүн отставкага кете жаздаганын айтат. Ал бүтпөй калган эмгегин башкалар да куруп, анын кайсы жеринен жаңылышканын табышы үчүн жарыялоого даяр болчу. Англис математиги өзүнө акыркы жолу мүмкүнчүлүк берүүнү чечти жана анын мамилеси иштебей калганынын негизги себептерин түшүнүүгө аракет кылуу үчүн теореманы акыркы жолу талдап чыкты, ал күтүлбөгөн жерден Колывагин-Флак ыкмасы ал ишке ашмайынча иштебей турганын түшүндү.ошондой эле Ивасаванын теориясын далилдөө процессине кошуп, аны ишке ашырат.
6-октябрда Уайлс үч кесиптешинен (анын ичинде Фальтинс) жаңы эмгегин карап чыгууну суранып, 1994-жылдын 24-октябрында эки кол жазманы – «Модулдук эллиптикалык ийри сызыктар жана Ферматтын акыркы теоремасы» жана «Теоретикалык касиеттери кээ бир Хекке алгебраларынын шакекчеси , экинчисин Уайлс Тейлор менен бирге жазып, негизги макаладагы оңдолгон кадамды актоо үчүн белгилүү бир шарттар аткарылганын далилдеген.
Бул эки документ каралып, акыры 1995-жылдын май айында Математика Annals журналында толук текст катары басылып чыккан. Эндрюнун жаңы эсептөөлөрү кеңири талдоого алынып, акыры илимий коомчулук тарабынан кабыл алынган. Бул макалаларда жарым туруктуу эллиптикалык ийри сызыктар үчүн модулдук теорема түзүлгөн - бул Ферманын акыркы теоремасын далилдөөнүн акыркы кадамы, ал түзүлгөндөн 358 жыл өткөндөн кийин.
Улуу маселенин тарыхы
Бул теореманы чечүү көптөгөн кылымдар бою математикадагы эң чоң маселе катары каралып келген. 1816 жана 1850-жылы Француз Илимдер Академиясы Ферманын акыркы теоремасын жалпы далилдегени үчүн сыйлык сунуш кылган. 1857-жылы академия Куммерге идеалдуу сандар боюнча изилдөөсү үчүн 3000 франк жана алтын медаль ыйгарган, бирок ал сыйлыкка талапкерлигин койбогон. Ага дагы бир сыйлык 1883-жылы Брюссель академиясы тарабынан сунушталган.
Вольфскелл сыйлыгы
1908-жылы немис өнөр жайчысы жана ышкыбоз математик Пол Вольфскель 100 000 алтын марканы мураска калтырган (ошол убактагы чоң сумма)Геттинген Илимдер Академиясы, ошондуктан бул акча Ферматтын акыркы теоремасын толук далилдегени үчүн сыйлык болуп калат. 27-июнь, 1908-жылы Академия сыйлык берүүнүн тогуз эрежесин жарыялаган. Башка нерселер менен катар, бул эрежелер рецензияланган журналда жарыяланышы үчүн далилдерди талап кылган. Сыйлык жарыялангандан эки жылдан кийин гана берилиши керек болчу. Сынактын мөөнөтү 2007-жылдын 13-сентябрында - башталганына бир кылымдай убакыт өткөндөн кийин бүтүшү керек болчу. 1997-жылы 27-июнда Уайлс Вольфшельден акчалай сыйлыкка ээ болуп, андан кийин дагы 50 000 доллар алган. 2016-жылдын март айында ал Норвегиянын өкмөтүнөн Абел сыйлыгынын алкагында "сан теориясында жаңы доорду ачкан жарым туруктуу эллиптикалык ийри сызыктар үчүн модулдук гипотезанын жардамы менен Ферманын акыркы теоремасын укмуштуудай далилдегени үчүн" 600 000 евро алган. Бул момун англиялыктын дүйнөлүк жеңиши болду.
Уайлс далилдегенге чейин Ферма теоремасы, жогоруда айтылгандай, кылымдар бою абсолюттук чечилбейт деп эсептелген. Миңдеген туура эмес далилдер ар кайсы убакта Вольфскелл комитетине берилген, алар болжол менен 10 фут (3 метр) кат алышууну түзгөн. Сыйлык пайда болгон биринчи жылы гана (1907-1908) теореманы чечүүгө 621 арыз берилген, бирок 1970-жылдары алардын саны айына 3-4 арызга чейин кыскарган. Вольфшелдин серепчиси Ф. Шлихтингдин айтымында, далилдердин көбү мектептерде окутулган элементардык методдорго негизделген жана алар көбүнчө «техникалык билими бар, бирок карьерасы ийгиликсиз болгон адамдар» катары көрсөтүлгөн. Математика тарыхчысы Ховард Эйвстин айтымында, акыркыФерма теоремасы кандайдыр бир рекорд койду – бул эң көп сандагы туура эмес далилдер бар теорема.
Фермадагы жетишкендиктер жапондорго тийди
Мурда айтылгандай, болжол менен 1955-жылы жапон математиктери Горо Шимура жана Ютака Танияма математиканын такыр башка көрүнгөн эки тармагы - эллиптикалык ийри сызыктар жана модулдук формалар ортосунда мүмкүн болгон байланышты ачышкан. Натыйжадагы модулдук теорема (ал кезде Танияма-Симура гипотезасы деп аталган) ар бир эллиптикалык ийри сызык модулдук экенин, башкача айтканда, ал уникалдуу модулдук форма менен байланыштырылышы мүмкүн экенин айтат.
Теория башында күмөндүү же өтө спекулятивдүү деп четке кагылган, бирок сандар теоретиги Андре Вейл жапондордун корутундусун колдой турган далилдерди тапканда олуттуураак кабыл алынган. Натыйжада, гипотеза көп учурда Таняма-Шимура-Вейл гипотезасы деп аталып калган. Ал келечекте далилдениши керек болгон маанилүү гипотезалардын тизмеси болгон Langlands программасынын бир бөлүгү болуп калды.
Оор текшерүүдөн кийин да, бул гипотеза заманбап математиктер тарабынан абдан кыйын же далилдөө мүмкүн эмес деп таанылган. Эми бул өзгөчө теорема өзүнүн чечими менен бүт дүйнөнү таң калтыра турган Эндрю Уайлсты күтүп жатат.
Ферматтын теоремасы: Перельмандын далили
Таанымал мифке карабастан, орус математиги Григорий Перельман өзүнүн бардык генийине карабастан, Ферма теоремасы менен эч кандай байланышы жок. Бул, бирок, эч кандай жол менен аны жокко чыгарбайт.илимий коомчулукка көптөгөн салымдар.
