Конус – айлануунун мейкиндик фигураларынын бири, анын мүнөздөмөлөрү жана касиеттери стереометрия менен изилденет. Бул макалада биз бул фигураны аныктап, конустун сызыктуу параметрлерин анын бетинин аянты жана көлөмү менен байланыштырган негизги формулаларды карап чыгабыз.
Конус деген эмне?
Геометрия көз карашынан алганда, сөз мейкиндиктин белгилүү бир чекити менен жылмакай жалпак ийри сызыктын бардык чекиттери менен байланыштырган түз сегменттердин жыйындысынан түзүлгөн мейкиндик фигурасы жөнүндө болуп жатат. Бул ийри тегерек же эллипс болушу мүмкүн. Төмөнкү сүрөттө конус көрсөтүлгөн.
Сунушталган фигуранын көлөмү жок, анткени анын бетинин дубалдарынын калыңдыгы чексиз аз. Бирок, эгерде ал затка толтурулуп, жогору жактан ийри сызык менен эмес, жалпак фигура, мисалы, тегерек менен чектелсе, анда биз катуу көлөмдүү денени алабыз, аны көбүнчө конус деп да аташат.
Конустун формасы жашоодо көп кездешет. Ошентип, анда жол кыймылынын катышуучуларынын көңүлүн буруу үчүн жолго коюлган балмуздак же чаар кара жана кызгылт сары түстөгү жол конустары бар.
Конустун элементтери жана анын түрлөрү
Конус көп кырдуу болбогондуктан, аны түзгөн элементтердин саны көп жүздүүлөрдүкиндей көп эмес. Геометрияда жалпы конус төмөнкү элементтерден турат:
- база, анын чектеш ийри сызыгы директриса же генератрица деп аталат;
- каптал бетинин, ал багыттоочу ийри сызыктын чокусун жана чекиттерин бириктирген түз сызык сегменттеринин (генератристердин) бардык чекиттеринин жыйындысы;
- вертекс, бул генераторлордун кесилишкен жери.
Көңүл буруңуз, чоку негиздин тегиздигинде жатпашы керек, анткени бул учурда конус жалпак фигурага айланат.
Эгер биз жогорудан түптү көздөй перпендикуляр кесинди тартсак, фигуранын бийиктигин алабыз. Эгерде акыркы негиз геометриялык борбордо кесилсе, анда ал түз конус болот. Эгерде перпендикуляр негиздин геометриялык борборуна дал келбесе, анда фигура жантайыңкы болот.
Түз жана кыйгач конустар сүрөттө көрсөтүлгөн. Бул жерде конустун негизинин бийиктиги жана радиусу тиешелүүлүгүнө жараша h жана r менен белгиленет. Фигуранын үстү менен негиздин геометриялык борборун бириктирген сызык конустун огу болуп саналат. Сүрөттөн көрүнүп тургандай, түз фигура үчүн бийиктик ушул огтун үстүндө жатат, ал эми жантайыңкы фигура үчүн бийиктик огу менен бурчту түзөт. Конустун огу a тамгасы менен көрсөтүлгөн.
Тегерек негизи бар түз конус
Балким, бул конус фигуралардын каралып жаткан классынын эң кеңири таралганыдыр. Ал тегерек жана капталдан туратбеттер. Аны геометриялык ыкмалар менен алуу кыйын эмес. Бул үчүн, тик үч бурчтук алып, буттарынын бирине дал келген огунун айланасында айлантыңыз. Албетте, бул бут фигуранын бийиктиги болуп калат, ал эми үч бурчтуктун экинчи бутунун узундугу конустун негизинин радиусун түзөт. Төмөнкү диаграмма каралып жаткан айлануу фигурасын алуу үчүн сүрөттөлгөн схеманы көрсөтөт.
Сүрөттөлгөн үч бурчтукту башка буттун тегерегине айландырса болот, анын натыйжасында биринчисинен чоңураак негиз радиусу жана бийиктиги төмөн конус пайда болот.
Тегерек түз конустун бардык параметрлерин так аныктоо үчүн анын эки сызыктуу мүнөздөмөсүн билүү керек. Алардын ичинен r радиусу, h бийиктиги же генератриканын узундугу g айырмаланат. Бул чоңдуктардын баары каралып жаткан тик бурчтуу үч бурчтуктун тараптарынын узундуктары, ошондуктан алардын байланышы үчүн Пифагор теоремасы жарактуу:
g2=r2+ h2.
Беттин аянты
Кандайдыр бир үч өлчөмдүү фигуранын бетин изилдеп жатканда анын өнүгүшүн тегиздикте колдонуу ыңгайлуу. Конус да өзгөчө эмес. Тегерек конус үчүн иштеп чыгуу төмөндө көрсөтүлгөн.
Биз фигуранын ачылышы эки бөлүктөн турганын көрөбүз:
- Конустун негизин түзгөн тегерек.
- Айлананын сектору, ал фигуранын конус бети.
Айлананын аянтын табуу оңой жана тиешелүү формула ар бир окуучуга белгилүү. Тегерек сектор жөнүндө айта турган болсок, биз муну белгилейбизрадиусу g (конустун генатрицасынын узундугу) болгон айлананын бир бөлүгү. Бул сектордун жаасынын узундугу негиздин айланасына барабар. Бул параметрлер анын аянтын так аныктоого мүмкүндүк берет. Тиешелүү формула:
S=pir2+ pirg.
Туташуудагы биринчи жана экинчи мүчөлөр тиешелүүлүгүнө жараша негиздин конусу жана аймактын каптал бети.
Эгер генератордун узундугу g белгисиз болсо, бирок фигуранын h бийиктиги берилсе, анда формуланы төмөнкүдөй кайра жазууга болот:
S=pir2+ pir√(r2+ h2).
Фигуранын көлөмү
Эгер түз пирамиданы алып, анын пайдубалынын капталдарынын санын чексиздикте көбөйтсөк, анда негиздин формасы тегерекчеге ыктайт, ал эми пирамиданын каптал бети конус бетине жакындайт. Бул ойлор конус үчүн окшош маанини эсептөөдө пирамиданын көлөмүнүн формуласын колдонууга мүмкүндүк берет. Конустун көлөмүн формула менен тапса болот:
V=1/3сSo.
Бул формула конустун негизи So аянтына карабастан, ар дайым туура. Мындан тышкары, формула кыйгач конуска да тиешелүү.
Биз тегерек негизи бар түз фигуранын касиеттерин изилдеп жаткандыктан, анын көлөмүн аныктоо үчүн төмөнкү туюнтманы колдонсок болот:
V=1/3hpir2.
Формула айдан ачык.
Беттин аянтын жана көлөмүн табуу маселеси
Конус берилсин, анын радиусу 10 см, ал эми тукумунун узундугу 20караңыз Бул форманын көлөмүн жана бетинин аянтын аныктоо керек.
S аянтын эсептөө үчүн жогоруда жазылган формуланы дароо колдонсоңуз болот. Бизде:
S=pir2+ pirg=942 cm2.
Көлөмүн аныктоо үчүн фигуранын h бийиктигин билүү керек. Конустун сызыктуу параметрлеринин ортосундагы байланышты колдонуу менен аны эсептейбиз. Биз алабыз:
h=√(g2- r2)=√(202- 102) ≈ 17, 32 см.
Эми V формуласын колдонсоңуз болот:
V=1/3hpir2=1/317, 323, 14102 ≈ 1812, 83см3.
Тегерек конустун көлөмү ал жазылган цилиндрдин үчтөн бир бөлүгүн түзөөрүнө көңүл буруңуз.
