Математикада жана иштетүүдө аналитикалык сигнал түшүнүгү (кыскасы - С, AC) терс жыштык компоненттери жок татаал функция. Бул кубулуштун реалдуу жана элестүү бөлүктөрү бири-бири менен Гильберт трансформациясы менен байланышкан реалдуу функциялар. Аналитикалык сигнал – химияда кеңири таралган кубулуш, анын маңызы бул түшүнүктүн математикалык аныктамасына окшош.
Спектакльдер
Чыныгы функциянын аналитикалык көрүнүшү – бул баштапкы функцияны жана анын Гильберт түрдүүлүгүн камтыган аналитикалык сигнал. Бул өкүлчүлүк көптөгөн математикалык манипуляцияларды жеңилдетет. Негизги идея мындай спектрдин гермиттик симметриясынан улам реалдуу функциянын Фурье трансформациясынын (же спектринин) терс жыштык компоненттери ашыкча болот. Бул терс жыштык компоненттери жок жарактан чыгарууга болотанын ордуна татаал функция менен күрөшүүнү кааласаңыз, маалыматты жоготуу. Бул белгилүү бир өзгөчөлүк атрибуттарын жеткиликтүү кылат жана SSB сыяктуу модуляция жана демодуляция ыкмаларын алууну жеңилдетет.
Терс компоненттер
Колдонулуп жаткан функцияда терс жыштык компоненттери жок болсо (б.а. ал дагы эле аналитикалык), татаалдан кайра реалдууга өтүү жөн гана элестүү бөлүктөн баш тартуу маселеси. Аналитикалык чагылдыруу вектор түшүнүгүнүн жалпылоосу болуп саналат: вектор убакыттын өзгөрбөгөн амплитудасы, фазасы жана жыштыгы менен чектелсе, аналитикалык сигналдын сапаттык анализи убакыт боюнча өзгөрүлүүчү параметрлерге мүмкүндүк берет.
Көз ирмемдик амплитудасы, көз ирмемдик фазасы жана жыштыгы кээ бир колдонмолордо Стин жергиликтүү өзгөчөлүктөрүн өлчөө жана аныктоо үчүн колдонулат. Аналитикалык көрсөтүүнүн дагы бир колдонмосу модуляцияланган сигналдардын демодуляциясына тиешелүү. Полярдык координаттар AM жана фазалык (же жыштык) модуляциянын эффекттерин ыңгайлуу бөлүп, айрым түрлөрүн эффективдүү демодуляциялайт.
Анда реалдуу коэффициенттери бар жөнөкөй төмөн өткөрүүчү чыпка кызыккан бөлүгүн кесип салышы мүмкүн. Дагы бир мотив - максимум жыштыкты төмөндөтүү, ал лакап атсыз үлгүлөрдү алуу үчүн минималдуу жыштыкты төмөндөтөт. Жыштыктын жылышы өкүлчүлүктүн математикалык пайдалуулугун бузбайт. Ошентип, бул мааниде, төмөндөтүлгөн дагы эле аналитикалык. Бирок, чыныгы өкүлчүлүктү калыбына келтирүүмындан ары жөн гана чыныгы компонентти бөлүп алуу жөнөкөй маселе эмес. Жогору конверсия талап кылынышы мүмкүн жана эгер сигнал тандалып алынса (дискреттик убакыт), лакап аттан качуу үчүн интерполяция (жогорулатуу) да талап кылынышы мүмкүн.
Өзгөрмөлөр
Түшүнүк адатта убактылуу болгон бир өзгөрмөлүү кубулуштар үчүн жакшы аныкталган. Бул убактылуулук көптөгөн башталгыч математиктерди чаташтырат. Эки же андан көп өзгөрмөлөр үчүн аналитикалык С ар кандай жолдор менен аныкталышы мүмкүн жана төмөндө эки ыкма келтирилген.
Бул кубулуштун реалдуу жана элестүү бөлүктөрү бир өзгөрмөлүү окшош кубулуштар үчүн аныкталгандай вектор-баалуу моногендик сигналдын эки элементине туура келет. Бирок, моногендик n өзгөрмөлүү сигналдар үчүн (n + 1) өлчөмдүү вектордук функцияны түзүп, жөнөкөй жол менен өзгөрмөлөрдүн ыктыярдуу санына чейин узартылышы мүмкүн.
Сигналдын конверсиясы
Сиз чыныгы сигналды аналитикалык сигналга ойдон чыгарылган (Q) компонентти кошуу менен айландырсаңыз болот, ал чыныгы компоненттин Гильберт трансформациясы болуп саналат.
Баса, бул санариптик иштетүү үчүн жаңылык эмес. Жалгыз каптал тилкесин (SSB) AM генерациялоонун салттуу жолдорунун бири, фазалуу метод, аналогдук резистор-конденсатор тармагында аудио сигналдын Гильберт трансформациясын түзүү аркылуу сигналдарды түзүүнү камтыйт. Анын оң жыштыктары гана болгондуктан, аны бир каптал тилкеси менен модуляцияланган RF сигналына айландыруу оңой.
Аныктоо формулалары
Аналитикалык сигнал туюнтмасы – үстүнкү комплекстүү жарым тегиздиктин чегинде аныкталган голоморфтук комплекстүү функция. Үстүнкү жарым тегиздиктин чек арасы кокустук менен дал келет, ошондуктан С картага түшүрүү менен берилет: R → C. Өткөн кылымдын ортосунан бери Денис Габор 1946-жылы бул кубулушту туруктуу амплитуданы жана фазаны изилдөө үчүн колдонууну сунуш кылгандан кийин, сигнал көптөгөн колдонмолорду тапты. Бул кубулуштун өзгөчөлүгү баса белгиленди [Vak96], мында амплитуда, фаза жана жыштык үчүн физикалык шарттарга аналитикалык сигналдын сапаттык анализи гана туура келери көрсөтүлгөн.
Акыркы жетишкендиктер
Акыркы бир нече ондогон жылдар аралыгында сүрөт/видео иштетүүдөн баштап физикадагы көп өлчөмдүү термелүү процесстерине чейин, мисалы, сейсмикалык, электромагниттик жана гравитациялык толкундар. Бир нече өлчөмдөрдүн абалына аналитикалык С (сапаттык анализ) туура жалпылоо үчүн, жөнөкөй комплекс сандарды ыңгайлуу жол менен кеңейтүүчү алгебралык конструкцияга таянуу керек экендиги жалпысынан кабыл алынган. Мындай конструкциялар адатта гиперкомплекстик сандар [SKE] деп аталат.
Акыры, гиперкомплекстүү аналитикалык сигнал fh куруу мүмкүн болушу керек: Rd → S, бул жерде кээ бир жалпы гиперкомплекстүү алгебралык система көрсөтүлөт, ал табигый түрдө заматта амплитуданы алуу үчүн бардык талап кылынган касиеттерди кеңейтет жанафаза.
Окуу
Бир катар эмгектер заматта амплитуданы жана фазаны изилдөө үчүн гиперкомплекстик санауу системасын туура тандоого, Фурьенин гиперкомплекстүү трансформациясын жана Гильберттин фракциялык трансформацияларын аныктоого байланышкан ар кандай маселелерге арналган. Бул иштин көбү Cd, кватерниондор, Клеарон алгебралары жана Кейли-Диксон конструкциялары сыяктуу ар кандай мейкиндиктердин касиеттерине негизделген.
Кийин, биз сигналды көптөгөн өлчөмдөрдө изилдөөгө арналган эмгектердин айрымдарын гана тизмектейбиз. Бизге белгилүү болгондой, көп варианттуу ыкма боюнча алгачкы эмгектер 1990-жылдардын башында алынган. Буларга Эллдин [Ell92] гиперкомплекстүү трансформациялар боюнча эмгеги кирет; Булоунун көп өлчөөлөргө аналитикалык реакция (аналитикалык сигнал) ыкмасын жалпылоо боюнча эмгеги [BS01] жана моногендик сигналдар боюнча Фельсберг менен Соммердин иштери.
Кийинки перспективалар
Гиперкомплекс сигналы 1D учурда бизде болгон бардык пайдалуу касиеттерди кеңейтет деп күтүлүүдө. Биринчиден, биз өлчөөлөрдүн көз ирмемдик амплитудасын жана фазасын чыгарып, жалпылай билишибиз керек. Экинчиден, комплекстүү аналитикалык сигналдын Фурье спектри оң жыштыктарда гана сакталат, ошондуктан биз гиперкомплекс Фурье трансформациясынын өзүнүн гипербаалуу спектрине ээ болушун күтөбүз, ал гиперкомплекс мейкиндигинин кандайдыр бир оң квадрантында гана сакталат. Анткени бул абдан маанилүү.
Үчүнчүдөн, татаал түшүнүктүн коньюгациялык бөлүктөрүаналитикалык сигналдын Гильберт трансформациясына байланыштуу жана биз гиперкомплекстик мейкиндиктеги конъюгациялык компоненттер да Гильберттин трансформацияларынын кандайдыр бир айкалышы менен байланыштуу болушу керек деп күтсөк болот. Акыр-аягы, чынында эле, гиперкомплекс сигналы гиперкомплекстүү мейкиндикте кандайдыр бир форманын чегинде аныкталган бир нече гиперкомплекстүү өзгөрмөлөрдүн кээ бир гиперкомплекстүү холоморфтук функциясынын кеңейтилиши катары аныкталышы керек.
Биз бул маселелерди ырааттуу түрдө чечип жатабыз. Биринчиден, биз Фурье интегралдык формуласын карап баштайбыз жана Гильберттин 1-Dге өзгөрүшү модификацияланган Фурье интегралдык формуласына байланыштуу экенин көрсөтөбүз. Бул факт бизге заматта амплитуданы, фазаны жана жыштыкты гиперкомплекстүү санауу системаларына жана голоморфтук функцияларга шилтеме жасабастан аныктоого мүмкүндүк берет.
Интегралдардын модификациясы
Биз модификацияланган Фурье интегралдык формуласын бир нече өлчөмгө кеңейтүү менен улантабыз жана биз заматта амплитудага жана фазага чогулта турган бардык керектүү фазага которулган компоненттерди аныктайбыз. Экинчиден, биз бир нече гиперкомплекстүү өзгөрмөлөрдүн голоморфтук функцияларынын бар экендиги жөнүндөгү суроого кайрылабыз. [Sch93] кийин эллиптикалык (e2i=-1) генераторлор жыйындысы тарабынан түзүлгөн коммутативдик жана ассоциативдик гиперкомплекс алгебрасы гиперкомплекстүү аналитикалык сигналдын жашоосу үчүн ылайыктуу мейкиндик экени белгилүү болду, биз мындай гиперкомплекстүү алгебраны Шефер мейкиндиги деп атайбыз жана белгилейбиз. алСд.
Ошондуктан, аналитикалык сигналдардын гиперкомплекси полидисктин чегиндеги голоморфтук функция катары аныкталат / кээ бир гиперкомплекстүү мейкиндикте тегиздиктин жогорку жарымы, аны биз жалпы Шефер мейкиндиги деп атайбыз жана Sd менен белгилейбиз. Андан кийин биз Sd → Sd функциялары үчүн Коши интегралдык формуласынын негиздүүлүгүн байкайбыз, алар Sd ичиндеги полидисктин ичиндеги гипер беттин үстүнөн эсептелинет жана гиперкомплекстүү конъюгациялык компоненттерди байланыштырган тиешелүү бөлчөк Гильберт трансформацияларын чыгарабыз. Акыр-аягы, Schaefers мейкиндигинде баалуулуктар менен Фурье трансформациясы терс эмес жыштыктарда гана колдоого алынат экен. Бул макаланын аркасында сиз аналитикалык сигнал эмне экенин түшүндүңүз.
