Математика боюнча даража деген түшүнүк 7-класста алгебра сабагында киргизилет. Ал эми келечекте, математиканы изилдөөнүн жүрүшүндө, бул түшүнүк жигердүү анын ар кандай түрлөрүндө колдонулат. Даражалар баалуулуктарды жаттап алууну жана туура жана тез эсептөө жөндөмүн талап кылган өтө татаал тема. Математикалык даражалар менен тезирээк жана жакшыраак иштөө үчүн, алар даражанын касиеттерин ойлоп табышты. Алар чоң эсептөөлөрдү кыскартууга, чоң мисалды кандайдыр бир деңгээлде бирдиктүү санга айландыруу үчүн жардам берет. Мынчалык көп касиеттери жок жана алардын бардыгын эстеп калуу жана иш жүзүндө колдонуу оңой. Ошондуктан, макалада даражанын негизги касиеттери, ошондой эле алар кайда колдонулары талкууланат.
Даража касиеттери
Биз даражалардын 12 касиетин, анын ичинде бирдей негиздердеги даражалардын касиеттерин карап чыгабыз жана ар бир касиетке мисал келтиребиз. Бул касиеттердин ар бири даражалар боюнча маселелерди тезирээк чечүүгө жардам берет, ошондой эле көптөгөн эсептөө каталарынан сактап калат.
1-мүлк.
a0=1
Көпчүлүк бул мүлк жөнүндө унутуп коюшатнөлдүн даражасына чейинки санды нөл катары көрсөтүү менен каталар.
2-мүлк.
a1=a
3-мүлк.
a am=a(n+m)
Бул касиетти сандарды көбөйтүүдө гана колдонсо болорун унутпашыңыз керек, ал сумма менен иштебейт! Бул жана төмөнкү касиеттер бир эле базадагы ыйгарым укуктарга гана тиешелүү экенин унутпаңыз.
4-мүлк.
a/am=a(n-m)
Эгерде бөлгүчтөгү сан терс даражага көтөрүлсө, анда кемитүү учурунда, андан аркы эсептөөлөрдөгү белгини туура алмаштыруу үчүн кашаанын ичинде бөлүнүүчүнүн даражасы алынат.
Менчик кемитүү үчүн эмес, бөлүү үчүн гана иштейт!
5-мүлк.
(a)m=a(nm)
6-мүлк.
a-n=1/a
Бул касиетти тескери түрдө да колдонсо болот. Санга кандайдыр бир даражада бөлүнгөн бирдик, ал сан терс даражага барабар.
7-мүлк.
(ab)m=am bm
Бул мүлктү суммага жана айырмага колдонууга болбойт! Кошумчаны же айырманы даражага чыгарууда күчтүн касиеттери эмес, кыскартылган көбөйтүү формулалары колдонулат.
8-мүлк.
(a/b)=a/b
9-мүлк.
a½=√a
Бул касиет бирге барабар алым менен каалаган бөлчөк даража үчүн иштейт,формула бирдей болот, даражанын бөлүүчүсүнө жараша тамырдын даражасы гана өзгөрөт.
Ошондой эле, бул касиет көбүнчө тескери колдонулат. Сандын кандайдыр бир даражасынын тамырын ошол сандын тамырдын даражасына бөлгөн биринин даражасы катары көрсөтүүгө болот. Бул касиет сандын тамыры алынбаган учурларда абдан пайдалуу.
10-мүлк.
(√a)2=a
Бул касиет чарчы тамырлар жана экинчи даражалар менен гана иштебейт. Эгерде тамырдын даражасы менен бул тамырдын көтөрүлүү даражасы бирдей болсо, анда жооп радикалдуу туюнтма болот.
11-мүлк.
√a=a
Чечүү учурунда өзүңүздү чоң эсептөөлөрдөн сактап калуу үчүн бул касиетти өз убагында көрө билишиңиз керек.
12-мүлк.
am/n=√am
Бул касиеттердин ар бири сизге тапшырмаларда бир нече жолу жолугат, ал таза түрүндө берилиши мүмкүн же кээ бир трансформацияларды жана башка формулаларды колдонууну талап кылышы мүмкүн. Ошондуктан, туура чечим үчүн касиеттерин гана билүү жетишсиз, калган математикалык билимдерди практикада жана байланыштырып туруу керек.
Даражаларды жана алардын касиеттерин колдонуу
Алар алгебра жана геометрияда активдүү колдонулат. Математика боюнча даражалар өзүнчө, маанилүү орунга ээ. Алардын жардамы менен көрсөткүчтүк теңдемелер жана теңсиздиктер чечилет, ошондой эле ыйгарым укуктар көбүнчө математиканын башка бөлүмдөрүнө тиешелүү теңдемелерди жана мисалдарды татаалдаштырат. Көрсөткүчтөр чоң жана узун эсептөөлөрдөн качууга жардам берет, көрсөткүчтөрдү азайтуу жана эсептөө оңой. Бирок үчүнчоң күчтөр менен же чоң сандагы ыйгарым укуктар менен иштөөдө, сиз даражанын касиеттерин гана билбестен, өзүңүздүн милдетиңизди жеңилдетүү үчүн негиздер менен компетенттүү иштөө, аларды ажырата билүү керек. Ыңгайлуу болуу үчүн, сиз дагы бир күчкө көтөрүлгөн сандардын маанисин билишиңиз керек. Бул узак эсептөөлөргө муктаж болбостон, чечүүгө убакытыңызды кыскартат.
Логарифмдерде даража түшүнүгү өзгөчө роль ойнойт. Логарифм, маңызы боюнча, сандын күчү болгондуктан.
Кыскартылган көбөйтүү формулалары ыйгарым укуктарды колдонуунун дагы бир мисалы болуп саналат. Алар даражалардын касиеттерин колдоно алышпайт, алар атайын эрежелер боюнча ажыратылат, бирок ар бир кыскартылган көбөйтүү формуласында дайыма даражалар болот.
Даражалар физика жана информатикада да жигердүү колдонулат. СИ системасына бардык котормолор даражаларды колдонуу менен жүргүзүлөт жана келечекте маселелерди чечүүдө даражанын касиеттери колдонулат. Информатикада экинин ыйгарым укуктары активдүү колдонулат, бул сандарды кабыл алууну жеңилдетүү жана эсептөөнүн ыңгайлуулугу үчүн. Физикадагыдай эле өлчөө бирдиктерин конверсиялоо боюнча кийинки эсептөөлөр же маселелердин эсептөөлөрү даражанын касиеттери аркылуу ишке ашат.
Даражалар астрономияда да абдан пайдалуу, бул жерде сиз даражанын касиеттерин сейрек колдоносуз, бирок градустун өзү ар кандай чоңдуктарды жана аралыктарды жазууну кыскартуу үчүн жигердүү колдонулат.
Граждар күнүмдүк жашоодо аймактарды, көлөмдөрдү, аралыктарды эсептөөдө да колдонулат.
Даражалардын жардамы менен илимдин каалаган тармагында өтө чоң жана өтө аз өлчөмдөр жазылат.
Экспоненциалдык теңдемелер жана теңсиздиктер
Даража касиеттери экспоненциалдык теңдемелерде жана теңсиздикте өзгөчө орунду ээлейт. Бул тапшырмалар мектеп курсунда да, экзамендерде да көп кездешет. Алардын баары даражанын касиеттерин колдонуу менен чечилет. Белгисиз ар дайым даражанын өзүндө болот, андыктан бардык касиеттерин билип туруп, мындай теңдемени же теңсиздикти чечүү кыйын болбойт.
