Студент 2-тартиптеги беттерге биринчи курста көп жолугат. Башында бул темадагы тапшырмалар жөнөкөй сезилиши мүмкүн, бирок сиз жогорку математиканы окуп, илимий жагын тереңдеткен сайын, акыры болуп жаткан окуяларга багыт алууну токтото аласыз. Буга жол бербөө үчүн жаттап алуу гана эмес, тигил же бул беттин кантип алынарын, коэффициенттердин өзгөрүшү ага жана координаттардын баштапкы системасына салыштырмалуу жайгашкан жерине кандай таасир этээрин, жаңы системаны кантип табуу керектигин түшүнүү зарыл. (анын борбору баш координаталары менен дал келет, ал эми симметрия огу координата окторунун бирине параллель). Башынан баштайлы.
Аныктама
GMT 2-тартиптүү бет деп аталат, анын координаттары төмөнкү формадагы жалпы теңдемени канааттандырат:
F(x, y, z)=0.
Жер бетине тиешелүү ар бир чекит кандайдыр бир белгиленген негизде үч координатка ээ болушу керек экени түшүнүктүү. Кээ бир учурларда чекиттердин локусу, мисалы, тегиздикке айланып кетиши мүмкүн. Бул координаттардын бири туруктуу жана алгылыктуу маанилердин бардык диапазонунда нөлгө барабар экенин гана билдирет.
Жогоруда айтылган теңчиликтин толук боёлгон түрү мындай көрүнөт:
A11x2+A22y2 +A33z2+2A12xy+2A23 yz+2A13xz+2A14x+2A24y+2A 34z+A44=0.
Anm– кээ бир константалар, x, y, z – кандайдыр бир чекиттин аффиндик координаттарына туура келген өзгөрмөлөр. Бул учурда туруктуу факторлордун жок дегенде бири нөлгө барабар болбошу керек, башкача айтканда, теңдемеге эч бир чекит туура келбейт.
Мисалдардын басымдуу көпчүлүгүндө көптөгөн сандык факторлор мурдагыдай эле нөлгө барабар жана теңдеме абдан жөнөкөйлөштүрүлгөн. Практикада чекиттин бетке таандык экендигин аныктоо кыйын эмес (теңдемеге анын координаталарын алмаштыруу жана бирдейликтин сакталып же сакталышын текшерүү жетиштүү). Мындай иштин негизги пункту акыркысын канондук формага жеткирүү болуп саналат.
Жогоруда жазылган теңдеме 2-тартиптеги бардык (баары төмөндө көрсөтүлгөн) беттерди аныктайт. Төмөндө мисалдарды карап чыгабыз.
2-тартиптеги беттердин түрлөрү
2-тартиптеги беттердин теңдемелери Anm коэффициенттеринин маанилери боюнча гана айырмаланат. Жалпы көз караштан алганда, константалардын белгилүү бир маанилери үчүн төмөнкүдөй классификацияланган ар кандай беттерди алууга болот:
- Цилиндрлер.
- Элиптикалык түрү.
- Гиперболикалык түрү.
- Конус түрү.
- Параболикалык түрү.
- Учактар.
Сизделген типтердин ар биринин табигый жана ойдон чыгарылган формасы бар: элестүү формада реалдуу чекиттердин локусу же жөнөкөй фигурага бузулат, же таптакыр жок.
Цилиндрлер
Бул эң жөнөкөй түрү, анткени салыштырмалуу татаал ийри сызык негизде гана болуп, жетектөөчү ролду ойнойт. Генераторлор негиз жаткан тегиздикке перпендикуляр түз сызыктар.
Графикте тегерек цилиндр, эллиптикалык цилиндрдин өзгөчө корпусу көрсөтүлгөн. XY тегиздигинде анын проекциясы эллипс (биздин учурда тегерек) – багыттоочу, ал эми XZде – тик бурчтук болот – генераторлор Z огуна параллель болгондуктан, аны жалпы теңдемеден алуу үчүн керек. коэффициенттерге төмөнкүдөй маанилер берилсин:
Адаттагы символдордун ордуна сериялык номери бар x, y, z, x колдонулат - бул маанилүү эмес.
Чынында, 1/a2жана бул жерде көрсөтүлгөн башка константалар жалпы теңдемеде көрсөтүлгөн бирдей коэффициенттер, бирок аларды ушул формада жазуу салтка айланган - бул канондук өкүлчүлүк. Мындан тышкары, мындай белги гана колдонулат.
Гиперболалык цилиндр ушинтип аныкталат. Схема бирдей - гипербола жетекчилик болот.
y2=2px
Параболикалык цилиндр бир аз башкача аныкталат: анын канондук формасы параметр деп аталган p коэффициентин камтыйт. Чынында, коэффициент q=2pге барабар, бирок аны берилген эки факторго бөлүү салтка айланган.
Цилиндрдин дагы бир түрү бар: ойдон чыгарылган. Мындай цилиндрге эч кандай реалдуу чекит таандык эмес. Бул теңдеме менен сүрөттөлөтэллиптикалык цилиндр, бирок бирдиктин ордуна -1.
Элиптикалык түрү
Эллипсоидди октордун бири боюнча созууга болот (анын боюнда ал жогоруда көрсөтүлгөн a, b, c константаларынын маанилеринен көз каранды; чоңураак окко чоңураак коэффициент туура келээри айдан ачык.).
Ошондой эле ойдон чыгарылган эллипсоид бар - координаттардын коэффициенттерге көбөйтүлгөн суммасы -1 болгон шартта:
Гиперболоиддер
Туруктуулардын биринде минус пайда болгондо эллипсоиддик теңдеме бир барактуу гиперболоиддин теңдемесине айланат. Бул минус x3 координатасына чейин жайгаштырылышы керек эмес экенин түшүнүү керек! Ал гиперболоиддин (же ага параллелдүү) айлануу огу болорун гана аныктайт, анткени квадратта кошумча терминдер пайда болгондо (мисалы, (x-2)2) фигуранын борбору жылыйт, натыйжада бет координата окторуна параллель жылат). Бул 2-тартиптеги бардык беттерге тиешелүү.
Мындан тышкары, теңдемелердин канондук түрдө берилгенин жана аларды туруктууларды өзгөртүү жолу менен өзгөртүүгө болоорун түшүнүү керек (белгиси сакталган!); ал эми алардын формасы (гиперболоид, конус ж.б.) өзгөрүүсүз калат.
Бул теңдеме мурунтан эле эки барактуу гиперболоид тарабынан берилген.
Конустук бет
Конустук теңдемеде бирдик жок - нөлгө барабар.
Чектелген конус бети гана конус деп аталат. Төмөнкү сүрөттө чындыгында диаграммада конус деп аталган эки нерсе болорун көрсөтүп турат.
Маанилүү эскертүү: бардык каралып жаткан канондук теңдемелерде константалар демейки боюнча оң кабыл алынат. Болбосо, белги акыркы диаграммага таасирин тийгизиши мүмкүн.
Координаталык тегиздиктер конустун симметрия тегиздигине айланат, симметрия борбору координациянын башында жайгашкан.
Элестүү конус теңдемесинде бир гана плюс бар; ал бир гана реалдуу упайга ээ.
Параболоиддер
мейкиндиктеги 2-тартиптеги беттер окшош теңдемелерде да ар кандай формада болушу мүмкүн. Мисалы, параболоиддердин эки түрү бар.
x2/a2+y2/b2=2z
Элиптикалык параболоид, Z огу чиймеге перпендикуляр болгондо, эллипске проекцияланат.
x2/a2-y2/b2=2z
Гиперболикалык параболоид: ZY ге параллель тегиздиктери бар кесилиштер параболаларды, ал эми XYге параллель тегиздиктери бар кесилиштер гиперболаларды пайда кылат.
Кесилишкен учактар
2-тартиптеги беттер тегиздикке айланган учурлар бар. Бул учактарды ар кандай жолдор менен жайгаштырса болот.
Адегенде кесилишкен тегиздиктерди карап көрөлү:
x2/a2-y2/b2=0
Канондук теңдеменин бул модификациясы эки эле кесилишкен тегиздикке алып келет (элестетүү!); бардык реалдуу чекиттер теңдемеде жок болгон координата огунда (канондукта - Z огу).
Параллель учактар
y2=a2
Бир гана координат болгондо, 2-тартиптеги беттер жуп параллелдүү тегиздикке айланат. Эсиңизде болсун, Y ордуна каалаган башка өзгөрмө боло алат; анда башка окторго параллелдүү учактар алынат.
y2=−a2
Мындай учурда алар элестүү болуп калат.
Ушуш учактар
y2=0
Мындай жөнөкөй теңдеме менен жуп учактар бири-бирине бузулат - алар дал келет.
Унутпагыла, үч өлчөмдүү базис болгон учурда жогорудагы теңдеме y=0 түз сызыгын аныктабайт! Анда башка эки өзгөрмө жок, бирок бул алардын мааниси туруктуу жана нөлгө барабар экенин билдирет.
Имарат
Студент үчүн эң татаал иштердин бири 2-даражадагы беттерди куруу. Ийри сызыктын окторго карата бурчтарын жана борбордун жылышын эске алганда, бир координаталык системадан экинчисине өтүү андан да кыйын. Келгиле, аналитика менен чийменин келечектеги көрүнүшүн кантип ырааттуу аныктоону кайталап көрөлүжол.
2-тартиптүү бетти куруу үчүн сизге керек:
- тендемени канондук формага келтир;
- изилденип жаткан беттин түрүн аныктоо;
- коэффиценттик маанилердин негизинде түзүлөт.
Төмөндө бардык түрлөрү каралат:
Бириктирүү үчүн, келгиле, тапшырманын бул түрүнүн бир мисалын майда-чүйдөсүнө чейин сүрөттөп берели.
Мисалдар
Бир теңдеме бар дейли:
3(x2-2x+1)+6ж2+2z2+ 60ж+144=0
Келгиле, аны канондук формага келтирели. Толук квадраттарды бөлүп көрөлү, башкача айтканда, биз колдо болгон шарттарды алар сумманын же айырманын квадратынын кеңейиши болуп саналгандай иретке келтирели. Мисалы: (a+1)2=a2+2a+1 анда a2+2a +1=(a+1)2. Экинчи операцияны жасайбыз. Бул учурда кашааларды ачуунун кажети жок, анткени бул эсептөөлөрдү гана татаалдантат, бирок 6 жалпы коэффициентти алып салуу керек (Унун толук квадраты бар кашааларда):
3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6
З өзгөрмөсү бул учурда бир гана жолу пайда болот - аны азырынча жалгыз калтырсаңыз болот.
Биз бул этапта теңдемени талдайбыз: бардык белгисиздердин алдында плюс белгиси коюлат; алтыга бөлгөндө бирөө калат. Демек, эллипсоидди аныктаган теңдемебиз бар.
144 150-6га кошулганын, андан кийин -6 оңго жылдырылганын эске алыңыз. Эмне үчүн ушундай кылыш керек эле? Албетте, бул мисалдагы эң чоң бөлүүчү -6, андыктан ага бөлүнгөндөн кийинбирөө оң тарапта калды, 144төн 6ны так "кийинкиге калтыруу" керек (оң жакта болушу керек экендиги бош терминдин болушу менен көрсөтүлөт - белгисизге көбөйбөгөн туруктуу).
Баарын алтыга бөлүп, эллипсоиддин канондук теңдемесин алыңыз:
(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2 /3=1
Мурда колдонулган 2-тартиптеги беттердин классификациясында фигуранын борбору координаттардын башатында болгондо өзгөчө жагдай каралат. Бул мисалда, ал алмаштырылган.
Белгисиз ар бир кашаа жаңы өзгөрмө деп ойлойбуз. Башкача айтканда: a=x-1, b=y+5, c=z. Жаңы координаттарда эллипсоиддин борбору (0, 0, 0) чекитке дал келет, демек, a=b=c=0, мындан: x=1, y=-5, z=0. Баштапкы координаттарда фигуранын борбору (1, -5, 0) чекитинде жатат.
Эллипсоид эки эллипстен алынат: биринчиси XY тегиздигинде, экинчиси XZ тегиздигинде (же YZ - бул маанилүү эмес). Өзгөрмөлөрдү бөлүүчү коэффициенттер канондук теңдемеде квадратталат. Демек, жогорудагы мисалда эки, бир жана үчтүн тамырына бөлүү туурараак болмок.
Биринчи эллипстин Y огуна параллелдүү кичи огу эки. х огуна параллелдүү чоң огу экиден эки тамыр. Y огуна параллелдүү болгон экинчи эллипстин кичи огу өзгөрүүсүз калат - ал экиге барабар. Жана Z огуна параллелдүү чоң огу үчтүн эки тамырына барабар.
Баштапкы теңдемеден алынган маалыматтардын жардамы менен канондук формага өтүү менен эллипсоид тарта алабыз.
Корытынды
Бул макалада камтылгантема абдан кенен, бирок, чындыгында, азыр көрүп тургандай, өтө татаал эмес. Анын өнүгүшү, чындыгында, беттердин аталыштарын жана теңдемелерин жаттап алган учурда аяктайт (жана, албетте, алар кандай көрүнөт). Жогорудагы мисалда биз ар бир кадамды майда-чүйдөсүнө чейин талкууладык, бирок теңдемени канондук формага келтирүү жогорку математика боюнча минималдуу билимди талап кылат жана студентке эч кандай кыйынчылык жаратпашы керек.
Келечектеги графикти бар болгон теңдик боюнча талдоо - ансыз деле татаалыраак иш. Бирок аны ийгиликтүү чечүү үчүн тиешелүү экинчи тартиптеги ийри сызыктар - эллипс, параболалар жана башкалар кантип куруларын түшүнүү жетиштүү.
Дегенерация учурлары - дагы жөнөкөй бөлүм. Кээ бир өзгөрмөлөрдүн жоктугуна байланыштуу, мурда айтылгандай, эсептөөлөр гана эмес, курулуштун өзү да жөнөкөйлөтүлгөн.
Беттердин бардык түрлөрүн ишенимдүү атай алгандан кийин, константаларды өзгөртүп, графикти тигил же бул формага айландырыңыз - тема өздөштүрүлөт.
Окууңарга ийгилик!
