Буттар жана гипотенузалар тик бурчтуктун капталдары. Биринчиси туура бурчка жанаша турган сегменттер, ал эми гипотенуза фигуранын эң узун бөлүгү жана 90o бурчка карама-каршы турат. Пифагор үч бурчтугу - капталдары натурал сандарга барабар болгон үч бурчтук; бул учурда алардын узундугу "Пифагордук үчтүк" деп аталат.
Египеттик үч бурчтук
Азыркы муун геометрияны азыр мектепте кандай формада окутса, ошол формада үйрөнүшү үчүн ал бир нече кылымдар бою өнүгүп келе жатат. Негизги пункт - Пифагор теоремасы. Тик бурчтуктун тараптары (фигура бүткүл дүйнөгө белгилүү) 3, 4, 5.
"Пифагордук шым бардык багытта бирдей" деген сөздү билбегендер аз. Бирок теорема чындыгында мындай угулат: c2 (гипотенузанын квадраты)=a2+b2(чарчы буттарынын суммасы).
Математиктер арасында 3, 4, 5 (см, м ж.б.) тараптары болгон үч бурчтук «египеттик» деп аталат. Кызыгы, сүрөттө жазылган тегеректин радиусу бирге барабар. Бул ысым биздин заманга чейинки 5-кылымдын тегерегинде, грек философтору Египетке саякат кылганда пайда болгон.
Пирамидаларды курууда архитекторлор жана геодезисттер 3:4:5 катышын колдонушкан. Мындай структуралар пропорционалдуу, көзгө жагымдуу жана кенен болуп чыкты, ошондой эле сейрек кулап калат.
Туура бурч куруу үчүн куруучулар арканды колдонушкан, ага 12 түйүн байланган. Бул учурда, тик бурчтуу үч бурчтуктун түзүлүшүнүн ыктымалдыгы 95% га чейин өстү.
Бирдей цифралардын белгилери
- Түк бурчтуктагы курч бурч жана экинчи үч бурчтуктун бирдей эле элементтерине барабар болгон чоң каптал фигуралардын теңдигинин талашсыз белгиси. Бурчтардын суммасын эсепке алуу менен, экинчи курч бурчтар да барабар экенин далилдөө оңой. Ошентип, үч бурчтуктар экинчи өзгөчөлүктө окшош.
- Эки фигура бири-биринин үстүнө коюлганда, алар биригип, бир тең жактуу үч бурчтукка айлана тургандай кылып айлантыңыз. Анын касиети боюнча, капталдары, тагыраак айтканда, гипотенузалар, негиздеги бурчтар менен бирдей, демек, бул цифралар бирдей.
Биринчи белги менен үч бурчтуктар чындап эле бирдей экенин далилдөө абдан оңой, эң негизгиси эки кичинекей тарап (б.а. буттары) бири-бирине барабар.
Үч бурчтуктар II өзгөчөлүктө бирдей болот, анын маңызы - буттун теңдиги жана курч бурч.
Түк бурчтуу үч бурчтуктун касиеттери
Тура бурчтан түшүрүлгөн бийиктик фигураны эки бирдей бөлүккө бөлөт.
Түк бурчтуу үч бурчтуктун тараптарын жана анын медианасын эреже боюнча таануу оңой: гипотенузага түшүрүлгөн медиана анын жарымына барабар. Фигуранын аянтын Герон формуласы боюнча да, ал буттардын жарымына барабар деген сөз менен да табууга болот.
Тик бурчтукта 30o, 45o жана 60o бурчтарынын касиеттери.
- 30o бурч менен, карама-каршы бут эң чоң капталынын 1/2 бөлүгүнө барабар болорун унутпаңыз.
- Эгер бурч 45o болсо, анда экинчи курч бурч да 45o болот. Бул үч бурчтуктун тең жактуу экенин жана анын буттары бирдей экенин көрсөтүп турат.
- 60o бурчтун касиети үчүнчү бурчтун даражасы 30o.
Аймакты үч формуланын бири менен оңой табууга болот:
- бийиктиги жана жыгылган тарабы аркылуу;
- Герон формуласы боюнча;
- капталдарда жана алардын ортосундагы бурч.
Түк бурчтуу үч бурчтуктун капталдары, тагыраак айтканда, буттары эки бийиктикке жакындайт. Үчүнчүсүн табуу үчүн, пайда болгон үч бурчтукту карап чыгуу керек, андан кийин Пифагор теоремасын колдонуп, керектүү узундукту эсептөө керек. Бул формуладан тышкары, гипотенузанын эки эселенген аянты менен узундугунун катышы да бар. Студенттер арасында эң кеңири таралган сөз биринчиси, анткени ал азыраак эсептөөлөрдү талап кылат.
Төрт бурчтукка колдонулуучу теоремаларүч бурчтук
Тик бурчтуктун геометриясы төмөнкүдөй теоремаларды колдонууну камтыйт:
- Пифагор теоремасы. Анын маңызы гипотенузанын квадраты буттардын квадраттарынын суммасына барабар экендигинде. Евклиддик геометрияда бул байланыш негизги болуп саналат. Эгер үч бурчтук берилсе, формуланы колдоно аласыз, мисалы, SNH. SN гипотенуза жана аны табуу керек. Анда SN2=NH2+HS2.
- Косинус теоремасы. Пифагор теоремасын жалпылайт: g2=f2+s2-2fsалардын ортосундагы бурчтун cos. Мисалы, үч бурчтук DOB берилген. Аяк ДБ жана DO гипотенузасы белгилүү, ОБ табуу керек. Анда формула төмөнкү форманы алат: OB2=DB2+DO2-2DBDO cos бурч D. Үч натыйжасы бар: үч бурчтуктун бурчу курч болот, эгерде эки тараптын квадраттарынын суммасынан үчүнчүнүн узундугунун квадраты алынып салынса, натыйжа нөлдөн аз болушу керек. Бул туюнтма нөлдөн чоң болсо, бурч сүйрү болуп саналат. Бурч нөлгө барабар болгондо тик бурч болуп саналат.
- Синус теоремасы. Бул тараптардын карама-каршы бурчтарга болгон мамилесин көрсөтөт. Башкача айтканда, бул тараптардын узундуктарынын карама-каршы бурчтардын синустарына катышы. Гипотенузасы HF болгон HFB үч бурчтугунда, бул туура болот: HF/B бурчунун sin=FB/H=HB бурчунун күнөөсү/F бурчунун sin.
