Үч бурчтук – эң кеңири таралган геометриялык фигуралардын бири, аны биз башталгыч мектепте эле жакшы билебиз. Үч бурчтуктун аянтын кантип табуу керек деген суроо геометрия сабагында ар бир окуучунун алдында турат. Ошентип, берилген фигуранын аянтын табууда кандай өзгөчөлүктөр менен айырмалоого болот? Бул макалада биз мындай тапшырманы аткаруу үчүн зарыл болгон негизги формулаларды карап чыгабыз, ошондой эле үч бурчтуктун түрлөрүн талдайбыз.
Үч бурчтуктун түрлөрү
Үч бурчтуктун аянтын такыр башка жолдор менен таба аласыз, анткени геометрияда үч бурчту камтыган фигуранын бирден ашык түрү бар. Бул түрлөргө төмөнкүлөр кирет:
- Уч бурчтук.
- Түз бурчтуу.
- Тең жактуу (туура).
- Оң үч бурчтук.
- Изоцелдер.
Келгиле, үч бурчтуктун учурдагы түрлөрүн кененирээк карап чыгалы.
Акутаүч бурчтук
Мындай геометриялык фигура геометриялык маселелерди чыгарууда эң кеңири таралган фигура болуп эсептелет. Качан ыктыярдуу үч бурчтук тартуу зарыл болгондо, бул опция жардамга келет.
Турук үч бурчтукта, аты айтып тургандай, бардык бурчтар курч жана 180° чейин кошулат.
Тут бурчтуу үч бурчтук
Бул үч бурчтук да абдан кеңири таралган, бирок курч бурчтукка караганда бир аз азыраак. Мисалы, үч бурчтуктарды чечүүдө (башкача айтканда, сиз анын бир нече капталын жана бурчтарын билесиз жана калган элементтерин табышыңыз керек), кээде бурчтун сүйрү же туура эмес экенин аныктоо керек. Толук бурчтун косинусу терс сан.
Түктүү үч бурчтукта бурчтардын биринин мааниси 90° ашат, андыктан калган эки бурч кичинекей маанилерди кабыл алышы мүмкүн (мисалы, 15° же 3°).
Ушул түрдөгү үч бурчтуктун аянтын табуу үчүн кээ бир нюанстарды билишиңиз керек, алар жөнүндө кийинчерээк сүйлөшөбүз.
Үч бурчтуктар
Үзгүлтүксүз көп бурчтук - бул n бурчту камтыган фигура жана бардык тараптары менен бурчтары бирдей. Бул туура үч бурчтук. Үч бурчтуктун бардык бурчтарынын суммасы 180° болгондуктан, үч бурчтун ар бири 60°.
Касиетинен улам туура үч бурчтук тең жактуу фигура деп да аталат.
Ошондой эле белгилей кетүү керекнормалдуу үч бурчтукту бир гана тегерек менен чегип, анын айланасында бир гана тегеректи чийүүгө болот жана алардын борборлору бир чекитте жайгашкан.
Тең каптал түрүнөн тышкары, андан бир аз айырмаланган тең жактуу үч бурчтукту да тандаса болот. Мындай үч бурчтуктун эки тарабы жана эки бурч бири-бирине барабар, ал эми үчүнчү тарабы (бирдей бурчтар кошулган) негиз болуп саналат.
Сүрөттө D жана F бурчтары барабар болгон DEF тең жактуу үч бурчтук көрсөтүлгөн, ал эми DF негизи.
Оң үч бурчтук
Тик бурчтуу үч бурчтук ушундай аталды, анткени анын бир бурчу тик бурч, б.а. 90° барабар. Калган эки бурчтун кошулмасы 90°.
Мындай үч бурчтуктун 90° бурчка карама-каршы жаткан эң чоң капталы гипотенуза, ал эми калган эки жагы буттары болуп саналат. Үч бурчтуктардын бул түрү үчүн Пифагор теоремасы колдонулат:
Бутун узундуктарынын квадраттарынын суммасы гипотенузанын узундугунун квадратына барабар.
Сүрөттө AC гипотенузасы жана буттары AB жана BC болгон тик бурчтук BAC үч бурчтугу көрсөтүлгөн.
Түк бурчтуу үч бурчтуктун аянтын табуу үчүн анын буттарынын сандык маанилерин билишиңиз керек.
Бул фигуранын аянтын табуу формулаларына өтөбүз.
Аймактын негизги формулалары
Геометрияда үч бурчтуктун көпчүлүк түрлөрүнүн аянтын табууга ылайыктуу эки формула бар, атап айтканда, курч бурчтуу, сүйрү бурчтуу, регулярдуу жанатең жактуу үч бурчтуктар. Келгиле, алардын ар бирин талдап көрөлү.
Канат жана бийиктикте
Бул формула биз карап жаткан фигуранын аянтын табуу үчүн универсалдуу. Бул үчүн капталдын узундугун жана ага тартылган бийиктиктин узундугун билүү жетиштүү. Формула өзү (негиздин жана бийиктиктин жарымы) мындай көрүнөт:
S=½AH, мында A - берилген үч бурчтуктун капталы жана H - үч бурчтуктун бийиктиги.
Мисалы, курч бурчтуу ACB үч бурчтугунун аянтын табуу үчүн анын AB капталын CD бийиктигине көбөйтүү жана алынган маанини экиге бөлүү керек.
Бирок үч бурчтуктун аянтын ушундай жол менен табуу дайыма эле оңой боло бербейт. Мисалы, бул формуланы сүйрү бурчтуу үч бурчтук үчүн колдонуу үчүн, анын бир тарабын улантып, андан кийин гана ага бийиктик тартуу керек.
Практикада бул формула башкаларга караганда көбүрөөк колдонулат.
Эки тарапта жана бурчта
Бул формула мурункудай эле көпчүлүк үч бурчтуктар үчүн ылайыктуу жана өз мааниси боюнча үч бурчтуктун капталынын жана бийиктигинин аянтын табуу формуласынын натыйжасы болуп саналат. Башкача айтканда, каралып жаткан формула мурункудан оңой эле алынышы мүмкүн. Анын сөздөрү мындай көрүнөт:
S=½sinOAB, мында A жана B үч бурчтуктун тараптары, ал эми О - А жана В тараптарынын ортосундагы бурч.
Эске салсак, бурчтун синусун советтик көрүнүктүү математик В. М. Брадистин атындагы атайын таблицадан көрүүгө болот.
Эми башка формулаларга өтөлү,үч бурчтуктун өзгөчө түрлөрү үчүн гана ылайыктуу.
Түк бурчтуктун аянты
Үч бурчтукка бийиктик тартуу зарылдыгын камтыган универсалдуу формуладан тышкары, тик бурчту камтыган үч бурчтуктун аянтын анын буттары аркылуу табууга болот.
Ошентип, тик бурчту камтыган үч бурчтуктун аянты анын буттарынын жарымына барабар, же:
S=½ab, бул жерде a жана b тик бурчтуктун катеттери.
Үч бурчтук
Геометриялык фигуралардын бул түрү анын аянтын анын бир тарабынын гана көрсөтүлгөн мааниси менен табууга боло тургандыгы менен айырмаланат (себеби туура үч бурчтуктун бардык тараптары бирдей). Ошентип, "капталдары барабар болгон үч бурчтуктун аянтын табуу" тапшырмасы менен жолугушкандан кийин, төмөнкү формуланы колдонушуңуз керек:
S=A2√3 / 4, бул жерде A - тең жактуу үч бурчтуктун тарабы.
Герон формуласы
Үч бурчтуктун аянтын табуунун акыркы варианты - Герон формуласы. Аны колдонуу үчүн фигуранын үч тарабынын узундугун билүү керек. Герондун формуласы мындай көрүнөт:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), бул жерде a, b жана c бул үч бурчтуктун тараптары.
Кээде мындай тапшырма берилет: "катуу үч бурчтуктун аянты - анын капталынын узундугун табыңыз." Бул учурда, кадимки үч бурчтуктун аянтын табуу үчүн мурунтан эле белгилүү болгон формуланы колдонуп, андан капталынын (же анын квадратынын) маанисин алуу керек:
A2=4S / √3.
Экзамен көйгөйлөрү
GIA тапшырмаларындаМатематикада көптөгөн формулалар бар. Кошумчалай кетсек, көбүнчө шашки кагаздан үч бурчтуктун аянтын табуу керек болот.
Мында фигуранын бир тарабына бийиктикти тартуу, анын узундугун уячалар боюнча аныктоо жана аймакты табуу үчүн универсалдуу формуланы колдонуу эң ыңгайлуу:
S=½AH.
Ошентип, макалада берилген формулаларды изилдеп чыккандан кийин, сиз үч бурчтуктун аянтын табууда эч кандай кыйынчылыкка кабылбайсыз.
