Үч бурчтук – тегиздикте жабылган эң жөнөкөй фигура, бири-бири менен байланышкан үч гана сегменттен турат. Геометрия маселелеринде көбүнчө бул фигуранын аянтын аныктоо керек болот. Бул үчүн эмнени билишиңиз керек? Макалада үч бурчтуктун аянтын кантип табуу керек деген суроого жооп беребиз.
Жалпы формула
Ар бир окуучу үч бурчтуктун аянты анын каалаган тарабынын узундугунун – а жарым бийиктигинин – h тандалып алынган тарапка түшүрүлгөн көбөйтүндүсү катары эсептелерин билет. Төмөндө тиешелүү формула келтирилген: S=ah/2.
Бул туюнтманы жок дегенде эки тарап жана алардын ортосундагы бурчтун мааниси белгилүү болсо колдонсо болот. Бул учурда h бийиктигин синус сыяктуу тригонометриялык функциялардын жардамы менен эсептөө оңой. Бирок үч бурчтуктун үч тарабындагы аймакты кантип табууну баары эле биле бербейт.
Герон формуласы
Бул формула кантип деген суроого жоопүч тарап үч бурчтуктун аянтын табат. Аны жазуудан мурун, ыктыярдуу фигуранын кесиндилеринин узундугун a, b жана c деп белгилейли. Герон формуласы төмөнкүчө жазылган: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Бул жерде p - фигуранын жарым периметри, б.а.: p=(a+b+c)/2.
Көрүнүп турган түйшүктүүлүгүнө карабастан, S аймагы үчүн жогорудагы сөздү эстеп калуу оңой. Бул үчүн, адегенде үч бурчтуктун жарым периметрин эсептеп, андан фигуранын капталынын бир узундугуна кемитип, алынган бардык айырмачылыктарды жана жарым периметрдин өзүн көбөйтүү керек. Акырында продуктунун квадрат тамырын алыңыз.
Бул формула биздин доордун башында жашаган Александриялык Герондун атынан коюлган. Азыркы тарых дал ушул философ биринчи жолу тиешелүү эсептөөлөрдү жүргүзүү үчүн бул туюнтманы колдонгон деп эсептейт. Бул формула биздин замандын 60-жылдарына таандык Метрикада басылып чыккан. Герондон эки кылым мурда жашаган Архимеддин айрым эмгектеринде грек философу формуланы мурунтан эле билгендигинин белгилери бар экенине көңүл бурсаңыз. Кошумчалай кетсек, байыркы кытайлар үч бурчтуктун аянтын табууну да билишкен, үч тарабын билишкен.
Бул маселени Герон формуласынын бар экенин билбей туруп эле чечсе болорун белгилей кетүү маанилүү. Бул үчүн үч бурчтукка бир нече бийиктикти чийиңиз жана мурунку абзацтагы жалпы формуланы колдонуп, тиешелүү теңдемелер системасын түзүңүз.
Герон туюнтмасы ыктыярдуу көп бурчтуктардын аймактарын аларды бөлгөндөн кийин эсептөө үчүн колдонулушу мүмкүнүч бурчтуктар жана пайда болгон диагоналдардын узундуктарын эсептөө.
Маселени чечүү мисалы
Үч бурчтуктун аянтын кантип табуу керектигин билүү менен, төмөнкү маселени чечүү менен билимибизди бекемдейли. Фигуранын капталдары 5 см, 4 см жана 3 см болсун. Районду табыңыз.
Үч бурчтуктун үч тарабы белгилүү, андыктан Герон формуласын колдонсоңуз болот. Биз жарым периметрди жана керектүү айырмачылыктарды эсептейбиз, бизде:
- p=(a+b+c)/2=6 см;
- p-a=1см;
- p-b=2см;
- p-c=3 см.
Анда биз аймакты алабыз: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
Маселенин шартында берилген үч бурчтук тик бурчтуу, аны Пифагор теоремасын колдонсоңуз текшерүү оңой. Мындай үч бурчтуктун аянты буттардын көбөйтүндүсүнүн жарымы болгондуктан, биз алабыз: S=43/2=6 см2.
Натыйжадагы маани Герон формуласы менен бирдей, бул акыркысынын тууралыгын тастыктайт.
