Математика байыркы замандан келип чыккан. Анын аркасында архитектура, курулуш жана аскер илими өнүгүүнүн жаңы айлампасын берди, математиканын жардамы менен жетишкендиктер прогресстин кыймылына алып келди. Бүгүнкү күнгө чейин, математика бардык башка тармактарда табылган негизги илим бойдон калууда.
Билим алуу үчүн 1-класстан баштап балдар акырындап бул чөйрөгө аралаша башташат. Математиканы түшүнүү абдан маанилүү, анткени ал тигил же бул даражада ар бир адамдын жашоосунда болот. Бул макалада негизги элементтердин бири талданат - туундуларды табуу жана колдонуу. Бул түшүнүк канчалык кеңири колдонуларын ар бир адам элестете албайт. Айрым тармактарда же илимде туундулардын 10дон ашык колдонуусун карап көрүңүз.
Туундуну функцияны изилдөөдө колдонуу
Туунду мындай чекаргументтин көрсөткүчү нөлгө барабар болгондо функциянын өсүшүнүн анын аргументинин өсүүсүнө болгон катышы. Туунду функцияны изилдөөдө зарыл нерсе. Мисалы, анын жардамы менен акыркы, экстремалык, томпоктук жана ойгондуктун көбөйүшүн жана азайышын аныктоого болот. Дифференциалдык эсептөө математика университеттеринин 1 жана 2-курстарынын студенттери үчүн милдеттүү окуу планына киргизилген.
Калктоо жана функция нөлдөрү
Графикти изилдөөнүн биринчи этабы аныктама доменин, сейрек учурларда - маанини табуудан башталат. Аныктоо домени абсцисса огу боюнча белгиленген, башкача айтканда, бул OX огундагы сандык маанилер. Көп учурда масштаб мурунтан эле коюлган, бирок ал жок болсо, анда х аргументинин маанисин баалоо керек. Айталы, эгер аргументтин кээ бир маанилери үчүн функция мааниси жок болсо, анда бул аргумент алкактан чыгарылат.
Функциянын нөлдөрү жөнөкөй жол менен табылат: f(x) функциясы нөлгө барабар болушу керек жана алынган теңдеме бир х өзгөрмөсүнө карата чечилиши керек. Теңдеменин алынган тамыры функциянын нөлдөрү, башкача айтканда, бул хларда функция 0 болот.
Көбөйтүү жана азайтуу
Монотондуулуктун функцияларын изилдөө үчүн туундунун колдонулушун эки позициядан кароого болот. Монотондук функция - бул туундунун оң маанилери же терс гана маанилери бар категория. Жөнөкөй сөз менен айтканда, функция изилденип жаткан бардык аралыкта гана көбөйөт же азаят:
- Параметрди жогорулатуу. Функцияf`(x) туундусу нөлдөн чоң болсо, f(x) көбөйөт.
- Төмөндөөчү параметр. f`(x) туундусу нөлдөн аз болсо, f(x) функциясы азаят.
Тангенс жана эңкейиш
Туундунун функцияны изилдөө үчүн колдонулушу да берилген чекиттеги функциянын графигинин тангенси (бурчка багытталган түз сызык) менен аныкталат. Бир чекиттеги тангенс (x0) - чекит аркылуу өткөн сызык жана координаттары (x0, f(x) болгон функцияга таандык. 0 )) жана эңкейиштүү f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - функциянын графигинин берилген чекитине тангенстин теңдемеси.
Туундунун геометриялык мааниси: f(x) функциясынын туундусу берилген х чекитинде бул функциянын графигине түзүлгөн тангенстин эңкейишине барабар. Бурчтук коэффицент өз кезегинде оң багыттагы ОК огуна (абсцисса) тангенстин жантайтуу бурчунун тангенсине барабар. Бул жыйынтык туундуну функциянын графигине колдонуу үчүн негиз болуп саналат.
Экстремум упайлар
Изилдөөдө туунду колдонуу жогорку жана төмөнкү пункттарды табууну камтыйт.
Минималдуу жана максималдуу упайларды табуу жана аныктоо үчүн сизге төмөнкүлөр керек:
- f(x) функциясынын туундусун табыңыз.
- Натыйжадагы теңдемени нөлгө коюңуз.
- Теңдеменин тамырларын табыңыз.
- Жогорку жана төмөнкү чекиттерди табыңыз.
Экстремалды табуу үчүнөзгөчөлүктөрү:
- Жогорудагы ыкманы колдонуп минималдуу жана максималдуу упайларды табыңыз.
- Бул пункттарды түпнуска теңдемеге алмаштырыңыз жана ymax жана ymin
эсептеңиз
Функциянын максималдуу чекити f(x) функциясынын интервалдагы эң чоң мааниси, башкача айтканда xmax.
Функциянын минималдуу чекити f(x) функциясынын интервалдагы эң кичине мааниси, башкача айтканда xname
Экстремум чекиттери функциянын максималдуу жана минималдуу чекиттери жана экстремумдары менен бирдей (yмакс. жана yminimum) - экстремум чекиттерине туура келген функциянын маанилери.
Дөңсөө жана оюк
Сиз графигин түзүү үчүн туундуну колдонуу менен томпок жана ойуулукту аныктай аласыз:
- (a, b) интервалында изилденген f(x) функциясы, эгерде функция бул интервалдын ичиндеги бардык тангенстеринин астында жайгашкан болсо, оюк болот.
- (a, b) интервалында изилденген f(x) функциясы бул интервалдын ичиндеги бардык тангенстеринин үстүндө жайгашкан болсо, томпок болот.
Төмөнкү менен ойуулукту бөлүүчү чекит функциянын ийилүү чекити деп аталат.
Бүкүрлүү чекиттерди табуу үчүн:
- Экинчи түрдөгү критикалык пункттарды табыңыз (экинчи туунду).
- Булуу чекиттери эки карама-каршы белгини бөлүп турган критикалык чекиттер.
- Функциянын ийилүү чекиттериндеги функциянын маанилерин эсептеңиз.
Жарым-жартылай туундулар
Колдонмобирден ашык белгисиз өзгөрмө колдонулган маселелерде бул түрдөгү туундулар бар. Көбүнчө, мындай туундулар функциянын графигин түзүүдө, тагыраак айтканда, мейкиндикте эки октун ордуна үч, демек, үч чоңдук (эки өзгөрмө жана бир туруктуу) бар мейкиндикте беттер кездешет.
Жарым-жартылай туундуларды эсептөөдө негизги эреже - бир өзгөрмөнү тандап, калганын туруктуулар катары кароо. Демек, жарым-жартылай туундуну эсептөөдө туруктуу сан сандык мааниге ээ болуп калат (туундулардын көп таблицаларында алар C=const деп белгиленет). Мындай туундунун мааниси z=f(x, y) функциясынын OX жана OY огу боюнча өзгөрүү ылдамдыгы болуп саналат, башкача айтканда, ал курулган беттин ойдуңдарынын жана дөңгөчтөрүнүн тиктигин мүнөздөйт.
Физикадагы туунду
Туундунун физикада колдонулушу кеңири таралган жана маанилүү. Физикалык мааниси: жолдун убакытка карата туундусу - ылдамдык, ал эми ылдамдануу - ылдамдыктын убакытка карата туундусу. Физикалык мааниден көптөгөн бутактарды физиканын ар кандай тармактарына тартууга болот, мында туундунун мааниси толугу менен сакталат.
Туундунун жардамы менен төмөнкү маанилер табылат:
- Кинематикадагы ылдамдык, мында басып өткөн жолдун туундусу эсептелет. Эгерде жолдун экинчи туундусу же ылдамдыктын биринчи туундусу табылса, анда дененин ылдамдыгы табылат. Кошумчалай кетсек, материалдык чекиттин көз ирмемдик ылдамдыгын табууга болот, бирок бул үчүн ∆t жана ∆r өсүүсүн билүү зарыл.
- Электродинамика боюнча:өзгөрмө токтун көз ирмемдик күчүн, ошондой эле электромагниттик индукциянын ЭМӨсүн эсептөө. Туундуну эсептөө менен сиз максималдуу кубаттуулукту таба аласыз. Электр зарядынын көлөмүнүн туундусу өткөргүчтөгү токтун күчү болуп саналат.
Химия жана биологиядагы туунду
Химия: Туунду химиялык реакциянын ылдамдыгын аныктоо үчүн колдонулат. Туундунун химиялык мааниси: функция p=p(t), бул учурда p - t убакытта химиялык реакцияга кирген заттын саны. ∆t - убакыттын өсүшү, ∆p - заттын санынын өсүшү. ∆p менен ∆t катышынын чеги, анда ∆t нөлгө умтулат, химиялык реакциянын ылдамдыгы деп аталат. Химиялык реакциянын орточо мааниси ∆p/∆t катышы. Ылдамдыкты аныктоодо бардык керектүү параметрлерди, шарттарды так билүү, заттын жана агымдын чөйрөнүн агрегаттык абалын билүү зарыл. Бул химиянын бир кыйла чоң аспектиси, ал ар кандай тармактарда жана адамдын иш-аракеттеринде кеңири колдонулат.
Биология: туунду түшүнүгү орточо көбөйүү ылдамдыгын эсептөө үчүн колдонулат. Биологиялык мааниси: y=x(t) функциясы бар. ∆t - убакыттын өсүшү. Андан кийин кээ бир трансформациялардын жардамы менен y`=P(t)=x`(t) функциясын алабыз - t убакыттагы популяциянын тиричилик активдүүлүгү (көбөйүүнүн орточо ылдамдыгы). Туундуну мындай колдонуу статистиканы жүргүзүүгө, көбөйүү ылдамдыгына көз салууга жана башкаларга мүмкүндүк берет.
География жана экономикадагы туунду
Туунду географтарга чечим кабыл алууга мүмкүнчүлүк береткалкты табуу, сейсмографиядагы маанилерди эсептөө, ядролук геофизикалык көрсөткүчтөрдүн радиоактивдүүлүгүн эсептөө, интерполяцияны эсептөө сыяктуу милдеттер.
Экономикада эсептөөлөрдүн маанилүү бөлүгү дифференциалдык эсептөө жана туундуну эсептөө болуп саналат. Бул баарыдан мурда зарыл экономикалык баалуулуктардын чектерин аныктоого мумкундук берет. Мисалы, эң жогорку жана эң төмөнкү эмгек өндүрүмдүүлүгү, чыгымдар, пайда. Негизинен, бул маанилер функция графиктеринен эсептелет, алар экстремаларды табат, функциянын керектүү аймакта монотондуулугун аныктайт.
Тыянак
Бул дифференциалдык эсептин ролу, макалада белгиленгендей, ар кандай илимий структураларда. Туунду функцияларды колдонуу илимдин жана өндүрүштүн практикалык бөлүгүнүн маанилүү элементи болуп саналат. Бизге орто мектепте жана университетте татаал графиктерди түзүүгө, функцияларды изилдөөгө жана иштөөгө үйрөтүлгөнү бекер эмес. Көрүнүп тургандай, туундуларсыз жана дифференциалдык эсептөөлөрсүз маанилүү көрсөткүчтөрдү жана чоңдуктарды эсептөө мүмкүн эмес. Адамзат ар кандай процесстерди моделдештирип, аларды изилдөөнү, татаал математикалык маселелерди чечүүнү үйрөндү. Чынында эле, математика бардык илимдердин ханышасы, анткени бул илим башка бардык табигый жана техникалык дисциплиналардын негизинде жатат.
