Көптөгөн адамдар үчүн математикалык анализ – бул реалдуу жашоодон алыс болгон түшүнүксүз сандар, иконалар жана аныктамалардын жыйындысы. Бирок, биз жашап жаткан дүйнө сандык үлгүлөргө негизделген, аларды аныктоо бизди курчап турган дүйнөнү таанып-билүүгө жана анын татаал маселелерин чечүүгө гана эмес, ошондой эле күнүмдүк практикалык милдеттерди жөнөкөйлөтүүгө жардам берет. Математик сандар ырааттуулугу жакындайт деп эмнени билдирет? Бул кененирээк талкууланышы керек.
Чексиз кичине деген эмне?
Келгиле, бири-бирине дал келген матрешкаларды элестетип көрөлү. Алардын чоңунан башталып, эң кичүүсү менен аяктаган сандар түрүндө жазылган өлчөмдөрү ырааттуулукту түзөт. Эгер сиз мындай жаркыраган фигуралардын чексиз санын элестетсеңиз, анда пайда болгон катар укмуштуудай узун болот. Бул конвергенттик сандар тизмеги. Жана ал нөлгө барабар, анткени ар бир кийинки уя салган куурчактын көлөмү катастрофалык түрдө азайып, бара-бара эч нерсеге айланат. Ошентип, бул оңойтүшүндүрсө болот: чексиз кичине деген эмне.
Ошондой эле мисал, алыска баруучу жол болот. Ал эми анын боюндагы байкоочудан алыстап бара жаткан унаанын визуалдык өлчөмдөрү акырындык менен кичирейип, чекитке окшош формасыз такка айланат. Ошентип, машина, бир нерсе сыяктуу, белгисиз багытта алыстап, чексиз кичинекей болуп калат. Көрсөтүлгөн дененин параметрлери сөздүн түз маанисинде эч качан нөл болбойт, бирок акыркы чекте бул мааниге дайыма ыкташат. Демек, бул ырааттуулук кайрадан нөлгө жакындайт.
Баарын тамчылап эсептеңиз
Келгиле, азыр дүйнөлүк абалды элестетели. Дарыгер бейтапка дарыны күнүнө он тамчыдан баштап, кийинки күнү экиден кошуп ичүүнү сунуштады. Ошентип, дарыгер көлөмү 190 тамчы болгон дары флаконунун ичиндегилер түгөнгөнгө чейин улантууну сунуштады. Жогоруда айтылгандардан көрүнүп тургандай, алардын саны күнү боюнча пландаштырылган, төмөнкү сандар сериясы болот: 10, 12, 14 жана башкалар.
Бардык курсту аяктоо убактысын жана ырааттуулуктун мүчөлөрүнүн санын кантип билсе болот? Бул жерде, албетте, примитивдүү түрдө тамчыларды санаса болот. Бирок үлгүнү эске алганда, d=2 кадамы бар арифметикалык прогрессиянын суммасынын формуласын колдонуу алда канча жеңилирээк. Жана бул ыкманы колдонуу менен, сандар катарынын мүчөлөрүнүн саны 10 экенин билиңиз. Бул учурда., a10=28. Пенис саны дары-дармекти кабыл алган күндөрдүн санын көрсөтөт, ал эми 28 – пациент тамчылатууга тийиш болгон тамчылардын санына туура келет.акыркы күнү колдонуу. Бул ырааттуулук биригеби? Жок, анткени ылдыйдан 10 жана жогорудан 28 менен чектелгенине карабастан, мурунку мисалдардан айырмаланып, мындай сандар катарында чек жок.
Эмне айырмасы бар?
Эми тактаганга аракет кылалы: качан сандар сериясы конвергенттик ырааттуулукка айланат. Мындай түрдөгү аныктама, жогоруда айтылгандардан корутундуга келгендей, чектүү чек түшүнүгүнө түздөн-түз байланыштуу, анын болушу маселенин маңызын ачып берет. Ошентип, мурда келтирилген мисалдардын ортосунда кандай принципиалдуу айырма бар? Эмне үчүн алардын акыркысында 28 санын X =10 + 2(n-1) сандык катардын чеги катары кароого болбойт?
Бул суроону тактоо үчүн төмөнкү формула боюнча берилген башка ырааттуулукту карап көрүңүз, мында n натурал сандар жыйындысына кирет.
Мүчөлөрдүн бул коомчулугу – алым 1 болгон, ал эми бөлүүчү тынымсыз көбөйүп турган жалпы бөлчөктөрдүн жыйындысы: 1, ½ …
Мындан тышкары, бул катардын ар бир өкүлү сан сызыгында жайгашкан жери боюнча барган сайын 0гө жакындайт. Бул чекиттер нөлдүн тегерегинде топтолгон жерде ушундай коңшулук пайда болот дегенди билдирет, бул чек. Жана алар ага канчалык жакын болсо, алардын сан сызыгында концентрациясы ошончолук тыгыз болот. Жана алардын ортосундагы аралык катастрофалык түрдө кыскарып, чексиз кичинеге айланат. Бул ырааттуулук жакындап жатканынын белгиси.
ОкшошОшентип, сүрөттө көрсөтүлгөн көп түстүү тик бурчтуктар мейкиндикте алыстап баратканда визуалдык жактан көбүрөөк жыш болуп, гипотетикалык чекте анчалык деле жок болуп калат.
Чексиз чоң ырааттуулук
Конвергенттик ырааттуулуктун аныктамасын талдап чыккандан кийин, каршы мисалдарга өтөлү. Алардын көбү байыркы замандан бери адамдарга белгилүү. Дивергенттик тизмектердин эң жөнөкөй варианттары натурал жана жуп сандардын катарлары. Алар башка жол менен чексиз чоң деп аталат, анткени алардын мүчөлөрү дайыма көбөйүп, позитивдүү чексиздикке барган сайын жакындап баратышат.
Мындай мисал катары кадамы жана бөлүүчүсү нөлдөн чоң болгон арифметикалык жана геометриялык прогрессиянын кайсынысы болбосун болушу мүмкүн. Мындан тышкары, сандык катарлар дивергенттик тизмектер катары каралат, алардын чеги такыр жок. Мисалы, X =(-2) -1.
Фибоначчи ырааттуулугу
Мурда айтылган сандар сериясынын адамзат үчүн практикалык пайдасы талашсыз. Бирок башка көптөгөн сонун мисалдар бар. Алардын бири Fibonacci ырааттуулугу болуп саналат. Анын бирден башталган мүчөлөрүнүн ар бири мурункуларынын жыйындысы болуп саналат. Анын биринчи эки өкүлү 1 жана 1. Үчүнчүсү 1+1=2, төртүнчүсү 1+2=3, бешинчиси 2+3=5. Андан ары, ошол эле логикага ылайык, 8, 13, 21 жана башка сандар.
Сандардын бул сериясы чексиз көбөйөт жана жокакыркы чек. Бирок анын дагы бир сонун касиети бар. Ар бир мурунку сандын кийинкисине болгон катышы барган сайын өз мааниси боюнча 0,618ге жакындап баратат. Бул жерден конвергент жана дивергенттик ырааттуулуктун айырмасын түшүнүүгө болот, анткени эгер сиз алынган жарым-жартылай бөлүнүүлөрдүн сериясын жасасаңыз, көрсөтүлгөн сан системасы 0,618ге барабар чектүү чеги бар.
Фибоначчи катыштарынын ырааттуулугу
Жогоруда көрсөтүлгөн сандар сериясы рыноктордун техникалык анализи үчүн практикалык максаттарда кеңири колдонулат. Бирок бул мисирликтер жана гректер билген жана байыркы убакта иш жүзүндө колдоно алган, анын мүмкүнчүлүктөрү менен эле чектелбейт. Муну алар курган пирамидалар жана Парфенон далилдеп турат. Анткени, 0,618 саны - бул алтын бөлүмдүн туруктуу коэффициенти, эски күндөрдө белгилүү. Бул эрежеге ылайык, каалаган сегментти анын бөлүктөрүнүн ортосундагы катыш сегменттердин эң чоңу менен жалпы узундуктун ортосундагы катышка дал келгидей кылып бөлүүгө болот.
Келгиле, көрсөтүлгөн мамилелердин сериясын түзөлү жана бул ырааттуулукту талдап көрөлү. Сандык катар төмөнкүдөй болот: 1; 0,5; 0.67; 0.6; 0.625; 0.615; 0, 619 жана башкалар. Ушундай жол менен улантсак, конвергенттик ырааттуулуктун чеги чындап эле 0,618 болоруна ишенсек болот. Бирок бул мыйзамдуулуктун башка касиеттерин да белгилей кетүү керек. Бул жерде сандар өсүү же кемүү иретинде такыр эле эмес, туш келди кеткендей көрүнөт. Бул конвергенттик ырааттуулук монотондуу эмес экенин билдирет. Эмне үчүн мындай болгондугу мындан ары талкууланат.
Монотондук жана чектөө
Сан сериясынын мүчөлөрү саны көбөйгөн сайын азайышы мүмкүн (эгерде x1>x2>x3>…>x >…) же көбөйтүү (эгерде x1<x21x63223<…<x <…). Бул учурда, ырааттуулук катуу монотондуу деп айтылат. Сандык катарлар азайбайт жана көбөйбөй турган башка үлгүлөрдү да байкоого болот (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… же x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), анда ырааттуу конвергент да монотондуу болот, бир гана катуу мааниде эмес. Бул варианттардын биринчисинин жакшы мисалы - төмөнкү формула менен берилген сандар сериясы.
Бул сериянын сандарын боёп, анын 1ге чексиз жакындаган мүчөлөрүнүн эч кимиси бул мааниден эч качан ашпасын көрө аласыз. Бул учурда конвергенттик ырааттуулук чектелген деп аталат. Бул M оң саны болгондо болот, ал ар дайым катар модулунун бардык шарттарынан чоңураак. Эгерде сандык катар монотондуулуктун белгилерине ээ болсо жана чеги болсо, демек, жакындаса, анда ал сөзсүз түрдө ушундай касиетке ээ болот. Ал эми тескерисинче чындык болушу керек эмес. Муну конвергенттик ырааттуулук үчүн чектелгендик теоремасы далилдейт.
Мындай байкоолорду практикада колдонуу абдан пайдалуу. Келгиле, X ырааттуулугунун касиеттерин карап, конкреттүү мисал келтирели.n/n+1, жана анын конвергенциясын далилдегиле. Анын монотондуу экенин көрсөтүү оңой, анткени (x +1 – x) оң сан каалаган n баалуулуктар үчүн. Тартиптин чеги 1 санына барабар, бул Вейерштрасс теоремасы деп да аталган жогорудагы теореманын бардык шарттары аткарылганын билдирет. Конвергенттик ырааттуулуктун чектүүлүгү жөнүндөгү теорема, эгерде анын чеги болсо, анда кандай болгон күндө да ал чектүү болуп чыгат деп айтылат. Бирок, төмөнкү мисалды алалы. X =(-1) ылдыйдан -1 жана жогорудан 1 менен чектелген. Бирок бул ырааттуулук монотондуу эмес, эч кандай чектейт, ошондуктан жакындабайт. Башкача айтканда, чектин болушу жана конвергенция дайыма эле чектөөдөн чыга бербейт. Бул иштеши үчүн, Фибоначчи катыштарындагыдай, төмөнкү жана жогорку чектер дал келиши керек.
Ааламдын сандары жана мыйзамдары
Конвергенттик жана дивергенттик ырааттуулуктун эң жөнөкөй варианттары, балким, X =n жана X =1/n сандык сериялары болушу мүмкүн. Алардын биринчиси сандардын табигый катарлары. Бул, мурда айтылгандай, чексиз чоң. Экинчи конвергент ырааттуулугу чектелген жана анын мүчөлөрү чоңдугу боюнча чексиз аздыкка жакын. Бул формулалардын ар бири көп кырдуу Ааламдын бир тарабын чагылдырып, адамга цифралардын жана белгилердин тилинде чектелген кабыл алуу үчүн жеткиликтүү эмес, билинбеген нерсени элестетүүгө жана эсептөөгө жардам берет.
Аалам мыйзамдары да 0,618 алтын катышын билдирет.нерселердин маңызынын негизи болуп саналат жана анын бөлүктөрүн түзүү үчүн жаратылыш тарабынан колдонулат деп эсептешет. Биз жогоруда айтып өткөн Fibonacci сериясынын кийинки жана мурунку мүчөлөрүнүн ортосундагы мамилелер бул уникалдуу катардын укмуштуудай касиеттерин көрсөтүүнү аягына чыгара албайт. Эгерде мурунку мүчөнү кийинки мүчөгө бөлүүнүн коэффициентин карасак, анда 0,5 катарды алабыз; 0.33; 0.4; 0.375; 0.384; 0.380; 0, 382 жана башкалар. Кызыгы, бул чектелген ырааттуулук жакындайт, ал монотондуу эмес, бирок белгилүү бир мүчөнүн чектен чыккан чектеш сандарынын катышы ар дайым болжол менен 0,382ге барабар, аны архитектура, техникалык анализ жана башка тармактарда да колдонсо болот.
Фибоначчи сериясынын дагы башка кызыктуу коэффициенттери бар, алардын баары жаратылышта өзгөчө роль ойнойт, ошондой эле адам тарабынан практикалык максаттарда колдонулат. Математиктер Аалам көрсөтүлгөн коэффициенттерден түзүлгөн белгилүү бир "алтын спираль" боюнча өнүгөт деп ишенишет. Алардын жардамы менен кээ бир бактериялардын санынын өсүшүнөн тартып, алыскы кометалардын кыймылына чейин Жерде жана космосто болуп жаткан көптөгөн кубулуштарды эсептеп чыгууга болот. Көрсө, ДНК коду окшош мыйзамдарга баш ийет.
Төмөндөөчү геометриялык прогрессия
Конвергенттик ырааттуулуктун чегинин уникалдуулугун ырастаган теорема бар. Бул анын эки же андан көп чеги болушу мүмкүн эмес дегенди билдирет, бул анын математикалык мүнөздөмөлөрүн табуу үчүн маанилүү.
Келгиле, кээ бирлерин карап көрөлүучурлар. Арифметикалык прогрессиянын мүчөлөрүнөн турган ар кандай сандык катар дивергенттүү, нөл кадамы бар учурду кошпогондо. Бул геометриялык прогрессияга да тиешелүү, анын бөлүүчүсү 1ден чоң. Мындай сандык катарлардын чектери чексиздиктин “плюс” же “минус” болуп саналат. Эгерде бөлүүчү -1ден аз болсо, анда такыр чек жок. Башка параметрлер да мүмкүн.
X =(1/4) -1 формуласы боюнча берилген сандар сериясын карап көрөлү. Бир караганда, бул конвергенттик ырааттуулук чектелүү экенин оңой эле байкаса болот, анткени ал такыр азайып баратат жана эч кандай терс маанилерди ала албайт.
Келгиле, анын бир катар мүчөлөрүн катары менен жазалы.
Чыгып калат: 1; 0.25; 0.0625; 0.015625; 0, 00390625 жана башкалар. Бул геометриялык прогрессия 0<q<1 бөлүүчүлөрүнөн канчалык тез азаятын түшүнүү үчүн абдан жөнөкөй эсептөөлөр жетиштүү. Терминдердин бөлүүчүсү чексиз өссө, алар өзүлөрү чексиз аздыкка айланат. Бул сандар сериясынын чеги 0 экенин билдирет. Бул мисал дагы бир жолу конвергенттик ырааттуулуктун чектелген мүнөзүн көрсөтүп турат.
Негизги ырааттуулук
Француз окумуштуусу Августин Луи Коши математикалык анализге байланыштуу көптөгөн эмгектерди дүйнөгө ачып берген. Дифференциал, интегралдык, чектүүлүк, үзгүлтүксүздүк сыяктуу түшүнүктөргө аныктамаларды берген. Ал ошондой эле конвергенттик тизмектердин негизги касиеттерин изилдеген. Анын идеяларынын маңызын түшүнүү үчүнкээ бир маанилүү деталдарды жалпылоо керек.
Макаланын эң башында эле белгилүү бир катардын мүчөлөрүн билдирген чекиттер барган сайын катар тизилип, нукура сызыкта топтоло баштаган кошуналар бар ырааттуулуктар бар экени көрсөтүлгөн. жыш. Ошол эле учурда алардын ортосундагы аралык кийинки өкүлдүн саны көбөйгөн сайын азайып, чексиз кичинекейге айланат. Ошентип, белгилүү бир коңшулукта берилген катардын чексиз сандагы өкүлдөрү топтолгон, ал эми анын сыртында алардын чектүү саны бар экени белгилүү болот. Мындай ырааттуулуктар негизги деп аталат.
Француз математиги тарабынан түзүлгөн атактуу Коши критерийи тизмектин жакындашын далилдөө үчүн мындай касиеттин болушу жетиштүү экенин ачык көрсөтүп турат. Мунун тескериси да туура.
Француз математикинин бул корутундусу негизинен жалаң теориялык кызыкчылыкты туудурарын белгилей кетүү керек. Аны практикада колдонуу кыйла татаал маселе болуп эсептелет, ошондуктан катарлардын жакындашуусун тактоо үчүн ырааттуулуктун чектүү чегинин бар экендигин далилдөө алда канча маанилүү. Болбосо, ал дивергент деп эсептелет.
Маселелерди чыгарууда конвергенттик тизмектердин негизги касиеттерин да эске алуу керек. Алар төмөндө көрсөтүлгөн.
Чексиз суммалар
Антикалык Архимед, Евклид, Евдокс сыяктуу атактуу окумуштуулар ийри сызыктардын узундугун, денелердин көлөмдөрүн эсептөө үчүн чексиз сандар катарларынын суммаларын колдонушкан.жана фигуралардын аймактары. Атап айтканда, бул жол менен параболикалык сегменттин аянтын табууга мүмкүн болгон. Бул үчүн q=1/4 болгон геометриялык прогрессиянын сандык катарларынын суммасы колдонулган. Башка ыктыярдуу фигуралардын көлөмү жана аянттары да ушундай эле жол менен табылган. Бул вариант "чыгуу" ыкмасы деп аталды. Идеясы татаал формадагы изилденген дене бөлүкчөлөргө бөлүнгөн, алар оңой өлчөнгөн параметрлери бар фигуралар болгон. Ушул себептен улам, алардын аймактарын жана көлөмүн эсептөө кыйын болгон жок, анан алар кошулду.
Баса, окшош тапшырмалар заманбап мектеп окуучуларына абдан тааныш жана USE тапшырмаларында кездешет. Алыскы ата-бабалар тапкан уникалдуу ыкма эң жөнөкөй чечим болуп саналат. Сандык цифра бөлүнгөн эки же үч гана бөлүк болсо да, алардын аймактарын кошуу дагы эле сандар сериясынын суммасы болуп саналат.
Байыркы грек окумуштуулары Лейбниц менен Ньютондон бир топ кечирээк, алардан мурунку акылмандардын тажрыйбасына таянып, интегралдык эсептөөнүн үлгүлөрүн үйрөнүшкөн. Катышуулардын касиеттерин билүү аларга дифференциалдык жана алгебралык теңдемелерди чечүүгө жардам берген. Азыркы учурда таланттуу окумуштуулардын көптөгөн муундарынын аракети менен түзүлгөн катар теориясы көптөгөн математикалык жана практикалык маселелерди чечүүгө мүмкүнчүлүк берет. Ал эми сандык тизмектерди изилдөө жаралгандан бери математикалык анализ аркылуу чечилген негизги маселе болуп калды.
