Чечимдери интегралдык же бүтүн сандардан изделген рационалдуу коэффициенттери бар алгебралык теңсиздиктер же алардын системалары. Эреже катары, диофанттык теңдемелерде белгисиздердин саны көбүрөөк. Ошентип, алар чексиз теңсиздиктер катары да белгилүү. Заманбап математикада жогорудагы түшүнүк алгебралык теңдемелерге колдонулат, алардын чечимдери Q-рационалдык өзгөрмөлөр талаасынын, p-адик өзгөрмөлөр талаасынын, ж.б.у.с. алгебралык бүтүн сандардан изделген.
Бул теңсиздиктердин келип чыгышы
Диофантин теңдемелерин изилдөө сандар теориясы менен алгебралык геометриянын чек арасында. Бүтүн өзгөрмөлөрдөгү чечимдерди табуу эң байыркы математикалык маселелердин бири. Биздин заманга чейинки экинчи миң жылдыктын башында. байыркы вавилондуктар эки белгисиз менен теңдемелер системасын чечүүгө жетишкен. Математиканын бул тармагы эң байыркы Грецияда гүлдөп өнүккөн. Диофанттын арифметикасы (болжол менен 3-кылым) теңдемелердин ар кандай түрлөрүн жана системаларын камтыган маанилүү жана негизги булак.
Бул китепте Диофант экинчи жана үчүнчү теңсиздикти изилдөөнүн бир катар ыкмаларын алдын ала айткан.19-кылымда толук иштелип чыккан даражалар. Байыркы Грециянын бул изилдөөчүсү тарабынан рационалдуу сандар теориясын түзүшү анын китебинде системалуу түрдө баяндалган белгисиз системалардын логикалык чечимдерин талдоого алып келген. Анын эмгектеринде спецификалык диофанттык теңдемелердин чечимдери камтылганына карабастан, ал бир нече жалпы ыкмаларды да жакшы билген деп айтууга негиз бар.
Бул теңсиздикти изилдөө, адатта, олуттуу кыйынчылыктар менен байланышкан. Аларда бүтүн F (x, y1, …, y) коэффициенттери бар көп мүчөлөр камтылгандыктан. Мунун негизинде кандайдыр бир берилген х үчүн F (x, y1, …., y) теңдемесин аныктоо үчүн колдонула турган бирдиктүү алгоритм жок деген тыянак чыгарылды.). Кырдаал y1, …, y үчүн чечилет. Мындай көп мүчөлөрдүн мисалдарын жазууга болот.
Эң жөнөкөй теңсиздик
ax + by=1, мында a жана b салыштырмалуу бүтүн жана жөнөкөй сандар болсо, анын аткаруулардын көп саны бар (эгерде x0, y0 натыйжа түзүлөт, андан кийин өзгөрмөлөр жуптары x=x0 + b жана y=y0 -an, мында n ыктыярдуу, ошондой эле теңсиздик катары каралат). Диофантин теңдемелеринин дагы бир мисалы: x2 + y2 =z2. Бул теңсиздиктин оң интегралдык чечимдери болуп кичинекей тараптардын узундуктары х, у жана тик бурчтуктар, ошондой эле бүтүн каптал өлчөмдөрү бар z гипотенузасы саналат. Бул сандар Пифагор сандары деп аталат. Бардык үч эгиздер көрсөтүлгөнжогорудагы өзгөрмөлөр x=m2 – n2 менен берилген, y=2mn, z=m2+ n2, мында m жана n бүтүн жана жөнөкөй сандар (m>n>0).
Диофант өзүнүн «Арифметикасында» өзүнүн теңсиздиктеринин өзгөчө түрлөрүнүн рационалдуу (сөзсүз интегралдык эмес) чечимдерин издейт. Биринчи даражадагы диофанттык теңдемелерди чечүүнүн жалпы теориясын 17-кылымда К. Г. Башет иштеп чыккан. 19-кылымдын башында башка илимпоздор негизинен окшош теңсиздикти изилдешкен ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, мында a, b, c, d, e, f жалпы, гетерогендүү, экинчи даражадагы эки белгисиз. Лагранж өзүнүн изилдөөсүндө уланган бөлчөктөрдү колдонгон. Гаусс квадраттык формалар үчүн чечимдердин кээ бир түрлөрүнүн негизинде жалпы теорияны иштеп чыккан.
Бул экинчи даражадагы теңсиздикти изилдөөдө 20-кылымда гана олуттуу жылыш болгон. A. Thue Диофантин теңдемесинин a0x + a1xn- 1 экенин аныктады. y +…+a y =c, мында n≧3, a0, …, a , c - бүтүн сандар, жана a0tn + …+ a чексиз сандагы бүтүн чечимдерге ээ боло албайт. Бирок, Thue ыкмасы туура иштелип чыккан эмес. А. Бейкер ушул түрдөгү кээ бир теңдемелердин аткарылышына баа берүүчү эффективдүү теоремаларды түзгөн. Б. Н. Делонай бул теңсиздиктердин тар классына колдонулуучу башка изилдөө ыкмасын сунуштаган. Атап айтканда, ax3 + y3 =1 формасы ушундай жол менен толугу менен чечилет.
Диофантин теңдемелери: чечүү ыкмалары
Диофанттын теориясынын көп багыттары бар. Ошентип, бул системадагы белгилүү маселе - диофантиндик теңдемелердин тривиалдуу эмес чечими жок деген гипотеза xn + y =z n if n ≧ 3 (Ферматтын суроосу). Теңсиздиктин бүтүн сандык аткарылышын изилдөө Пифагордук үчилтиктердин проблемасын табигый жалпылоо болуп саналат. Эйлер n=4 үчүн Ферма маселесинин оң чечимин алды. Бул жыйынтыктын аркасында ал жетишпеген бүтүн сандын далилин билдирет, эгерде n так жөнөкөй сан болсо, теңдеменин нөл эмес изилдөөлөрү.
Чечимге байланыштуу изилдөө аягына чыга элек. Аны ишке ашыруудагы кыйынчылыктар алгебралык бүтүн сандардын шакекчесиндеги жөнөкөй факторизация уникалдуу эмес экендигине байланыштуу. Негизги көрсөткүчтөрдүн n көптөгөн класстары үчүн бул системадагы бөлүнгүчтөр теориясы Ферма теоремасынын тууралыгын ырастоого мүмкүндүк берет. Ошентип, эки белгисиз сызыктуу Диофантин теңдемеси учурдагы ыкмалар жана жолдор менен аткарылат.
Сүрөттөлгөн тапшырмалардын түрлөрү жана түрлөрү
Алгебралык бүтүн сандардын шакекчелеринин арифметикасы башка көптөгөн маселелерде жана диофанттык теңдемелердин чечимдеринде да колдонулат. Мисалы, мындай ыкмалар N(a1 x1 +…+ a түрүндөгү теңсиздиктерди аткарууда колдонулган. x)=m, мында N(a) - а нормасы жана x1, …, xn интегралдык рационалдуу өзгөрмөлөр табылган. Бул класс Pell теңдемесин камтыйт x2–dy2=1.
А1, …, a пайда болгон маанилер, бул теңдеме эки түргө бөлүнөт. Биринчи тип - толук формалар деп аталган теңдемелерди камтыйт, аларда aнын арасында Q рационалдуу өзгөрмөлөр талаасында m сызыктуу көз карандысыз сандар бар, мында m=[Q(a1, …, a):Q], анда Q (a1, …, a ) үстүнөн Q алгебралык көрсөткүчтөрүнүн даражасы бар. Толук эмес түрлөр a i максималдуу саны мден аз.
Толук формалар жөнөкөй, аларды изилдөө толук жана бардык чечимдерди сүрөттөөгө болот. Экинчи түрү, толук эмес түрлөр кыйла татаал жана мындай теорияны иштеп чыгуу аягына чыга элек. Мындай теңдеме F(x, y)=C теңсиздигин камтыган диофантиндик жакындоолордун жардамы менен изилденет, мында F (x, y) n≧3 даражадагы кыскартылгыс, бир тектүү көп мүчө. Ошентип, биз yi→∞ деп ойлойбуз. Демек, эгерде yi жетиштүү чоң болсо, анда теңсиздик Ту, Сигель жана Рот теоремаларына карама-каршы келет, андан F(x, y)=C деген жыйынтык чыгат, мында F үчүнчү даражадагы же андан жогору формада, кыскартылбас чексиз сандагы чечимдерге ээ боло албайт.
Диофантин теңдемесин кантип чечсе болот?
Бул мисал баарынан тар класс болуп саналат. Мисалы, жөнөкөйлүгүнө карабастан, x3 + y3 + z3=N, жана x2 +y 2 +z2 +u2 =N бул класска кирбейт. Чечимдерди изилдөө Диофантин теңдемелеринин кылдат изилденген тармагы болуп саналат, мында сандардын квадраттык формалары менен көрсөтүү негизи болуп саналат. Лагранжбүт табигый N үчүн аткарылышы бар экенин айткан теореманы түздү. Каалаган натурал сан үч квадраттын суммасы катары көрсөтүлүшү мүмкүн (Гаусс теоремасы), бирок ал 4a формасында болбошу керек. (8K- 1), мында a жана k терс эмес бүтүн көрсөткүчтөр.
F тибиндеги диофанттык теңдеме системасынын рационалдуу же интегралдык чечимдери (x1, …, x)=a, мында F (x 1, …, x) – бүтүн коэффициенттери бар квадраттык форма. Ошентип, Минковски-Хассе теоремасы боюнча ∑aijxixj=b ijтеңсиздиги жана b рационалдуу, ар бир жөнөкөй p саны үчүн реалдуу жана p-адикалык сандарда интегралдык чечимге ээ, эгерде ал ушул структурада чечилсе гана.
Тубаса кыйынчылыктан улам үчүнчү даражадагы жана андан жогору эркин формадагы сандарды изилдөө азыраак изилденген. Негизги аткаруу ыкмасы - тригонометриялык суммалар ыкмасы. Бул учурда теңдеменин чечимдеринин саны Фурье интегралы менен ачык жазылат. Андан кийин айлана-чөйрө ыкмасы тиешелүү шайкештиктердин теңсиздигинин аткарылышынын санын билдирүү үчүн колдонулат. Тригонометриялык суммалар ыкмасы теңсиздиктердин алгебралык өзгөчөлүктөрүнө жараша болот. Сызыктуу диофанттык теңдемелерди чечүү үчүн көптөгөн элементардык ыкмалар бар.
Диофантин анализи
Алгебранын теңдемелеринин системаларынын интегралдык жана рационалдуу чечимдерин геометрия методдору менен изилдөө предмети болгон математика бөлүмү, ошол элечөйрөлөр. 19-кылымдын 2-жарымында бул сандар теориясынын пайда болушу коэффициенттери бар ыктыярдуу талаадан диофанттык теңдемелерди изилдөөгө алып келди жана чечимдер анда же анын шакекчелеринде карала баштаган. Алгебралык функциялар системасы сандар менен параллелдүү өнүккөн. Д. Гильберт жана, атап айтканда, Л. Кронеккер баса белгилеген экөөнүн ортосундагы негизги аналогия ар кандай арифметикалык концепциялардын бир калыпта түзүлүшүнө алып келди, алар адатта глобалдык деп аталат.
Бул константалардын чектүү талаасында изилденип жаткан алгебралык функциялар бир өзгөрмө болсо, өзгөчө байкалат. Класстык талаа теориясы, бөлүүчү жана бутактандыруу жана натыйжалар сыяктуу түшүнүктөр жогоруда айтылгандардын жакшы мисалы болуп саналат. Бул көз караш Диофанттык теңсиздиктер системасында кийинчерээк кабыл алынып, сандык коэффициенттер менен гана эмес, функция болгон коэффициенттер менен да системалуу изилдөөлөр 1950-жылдары гана башталган. Бул ыкманын чечүүчү факторлорунун бири алгебралык геометриянын өнүгүшү болгон. Бир эле предметтин бирдей маанилүү эки аспекти катары пайда болгон сандар менен функциялардын тармактарын бир убакта изилдөө жарашыктуу жана ынанымдуу натыйжаларды гана бербестен, эки теманын өз ара байышына алып келди.
Алгебралык геометрияда ар түрдүүлүк түшүнүгү берилген К талаасындагы теңсиздиктердин инварианттык эмес жыйындысы менен алмаштырылат, ал эми алардын чечимдери К маанисинде же анын чектүү узартылышындагы рационалдуу чекиттер менен алмаштырылат. Демек, диофанттык геометриянын негизги маселеси рационалдуу чекиттерди изилдөө деп айтууга болотX(K) алгебралык көптүгүнүн, ал эми X K талаасындагы белгилүү сандар. Бүтүн сандын аткарылышы сызыктуу диофанттык теңдемелерде геометриялык мааниге ээ.
Теңсиздикти изилдөө жана аткаруу параметрлери
Алгебралык сорттор боюнча рационалдуу (же интегралдык) чекиттерди изилдөөдө биринчи маселе келип чыгат, бул алардын бар экендиги. Гильберттин онунчу маселеси бул маселени чечүүнүн жалпы ыкмасын табуу маселеси катары түзүлгөн. Алгоритмдин так аныктамасын түзүү процессинде жана көп сандагы маселелер үчүн мындай аткаруулар жок экендиги далилденгенден кийин, маселе ачык-айкын терс натыйжага ээ болду, ал эми эң кызыктуу маселе - Диофанттык теңдемелердин класстарын аныктоо. бул үчүн жогорудагы система бар. Эң табигый ыкма, алгебралык көз караштан алганда, Хассе принциби деп аталат: баштапкы K талаасы анын бүтүрүүлөрү менен бирге Kv бардык мүмкүн болгон баалардын үстүнөн изилденет. X(K)=X(Kv) жашоонун зарыл шарты болгондуктан, К чекити X(Kv көптүгү эске алынат.) бардык v. үчүн бош эмес
Маанилүүлүгү анын эки көйгөйдү бириктиргенинде. Экинчиси алда канча жөнөкөй, ал белгилүү алгоритм менен чечилет. X сорту проективдүү болгон өзгөчө учурда Ганселдин леммасы жана анын жалпылоолору андан ары кыскартууну мүмкүн кылат: маселени чектүү талаадагы рационалдуу чекиттерди изилдөөгө чейин кыскартууга болот. Андан кийин ал концепцияны ырааттуу изилдөө же натыйжалуураак ыкмалар аркылуу түзүүнү чечет.
АкыркыX(Kv) топтомдору чектүү v санынан башкасынын бардыгы үчүн бош эмес, ошондуктан шарттардын саны ар дайым чектүү жана аларды эффективдүү сынап көрүүгө болот. Бирок, Хассе принциби даражадагы ийри сызыктарга колдонулбайт. Мисалы, 3x3 + 4y3=5 бардык p-adic сан талааларында упайларга ээ жана реалдуу сандар системасында, бирок рационалдуу чекиттери жок.
Бул ыкма Хассе принцибинен «четтөө» үчүн абелдик сорттордун негизги бир тектүү мейкиндиктеринин класстарын сүрөттөгөн концепцияны түзүү үчүн баштапкы чекит катары кызмат кылган. Ал ар бир көп кырдуу (Тате-Шафаревичтин тобу) менен байланыштыра турган өзгөчө структура боюнча сүрөттөлөт. Теориянын негизги кыйынчылыгы топторду эсептөө ыкмаларын алуу кыйын болгондугунда. Бул түшүнүк алгебралык сорттордун башка класстарына да жайылтылган.
Теңсиздикти аткаруу алгоритмин издөө
Диофантин теңдемелерин изилдөөдө колдонулган дагы бир эвристикалык идея, эгерде теңсиздиктердин жыйындысына катышкан өзгөрмөлөрдүн саны көп болсо, анда система адатта чечимге ээ болот. Бирок, бул кандайдыр бир конкреттүү иш үчүн далилдөө өтө кыйын. Бул типтеги маселелерге жалпы мамиле кылууда аналитикалык сандар теориясы колдонулат жана тригонометриялык суммаларды баалоого негизделген. Бул ыкма алгач теңдемелердин өзгөчө түрлөрүнө колдонулган.
Бирок кийинчерээк анын жардамы менен так даражанын формасы F болсо, d менен далилденген.жана n өзгөрмөлүү жана рационалдуу коэффициенттери бар болсо, анда d менен салыштырганда n жетишерлик чоң, ошондуктан проекциялык гипербетин F=0 рационалдуу чекитке ээ. Артиндин божомолу боюнча, бул жыйынтык n > d2. Бул квадраттык формалар үчүн гана далилденген. Ушундай эле көйгөйлөрдү башка тармактарга да суроого болот. Диофантин геометриясынын борбордук маселеси бүтүн же рационалдуу чекиттердин көптүгүнүн түзүлүшү жана аларды изилдөө болуп саналат жана биринчи суроо бул көптүктү чектүүбү. Бул маселеде, системанын даражасы өзгөрмөлөрдүн санынан бир топ чоң болсо, кырдаал, адатта, аткаруулардын чектүү санына ээ. Бул негизги божомол.
Сызыктардагы жана ийри сызыктардагы теңсиздиктер
X(K) тобун r даражасынын эркин структурасынын жана n тартиптеги чектүү тобунун түз суммасы катары көрсөтсө болот. 1930-жылдардан баштап бул сандар берилген К талаасынын үстүндөгү бардык эллиптикалык ийри сызыктардын көптүгү менен чектелгенби деген суроо изилденип келет.. Буралоонун n чектелүүлүгү жетимишинчи жылдарда көрсөтүлгөн. Функционалдык учурда ыктыярдуу жогорку даражадагы ийри сызыктар бар. Сандык учурда бул суроого дагы эле жооп жок.
Акыры, Морделлдин божомолу g>1 түрүнүн ийри сызыгы үчүн интегралдык чекиттердин саны чектүү экенин айтат. Функционалдык учурда бул түшүнүк 1963-жылы Ю. И. Манин тарабынан көрсөтүлгөн. Диофанттык геометрияда чектүүлүк теоремаларын далилдөөдө колдонулган негизги курал бийиктик болуп саналат. Алгебралык сорттордун биринин үстүндөгү өлчөмдөр абелиандык болуп саналатэллиптикалык ийри сызыктардын көп өлчөмдүү аналогдору болгон көп кырдуулар эң кылдат изилденген.
А. Вайль рационалдык чекиттер тобунун генераторлорунун санынын чектүүлүгү жөнүндөгү теореманы ар кандай өлчөмдөгү абелдик сортторго (Мордол-Вейл концепциясына) жалпылап, аны кеңейткен. 1960-жылдары Берч жана Свиннертон-Дайердин гипотезасы пайда болуп, муну жана топту жана көп кырдуу зета функцияларын жакшыртат. Сандык далилдер бул гипотезаны колдойт.
Чечүү маселеси
Кандайдыр бир Диофантин теңдемесинин чечими бар же жок экенин аныктоо үчүн колдонула турган алгоритмди табуу маселеси. Коюлган маселенин маанилүү өзгөчөлүгү ар кандай теңсиздикке ылайыктуу универсалдуу ыкманы издөө болуп саналат. Мындай ыкма жогорудагы системаларды чечүүгө да мүмкүндүк берет, анткени ал P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 же p21+ ⋯ + P2K=0 эквиваленттүү. n12+⋯+pK2=0. Бүтүн сандардагы сызыктуу теңсиздиктердин чечимдерин табуу үчүн ушундай универсалдуу ыкманы табуу маселесин Д. Гилберт.
1950-жылдардын башында диофанттык теңдемелерди чечүү алгоритминин жок экендигин далилдөөгө багытталган биринчи изилдөөлөр пайда болгон. Ушул убакта Дэвис гипотезасы пайда болуп, ар кандай саналуу жыйындысы да грек окумуштуусуна таандык деген. Анткени алгоритмдик жактан чечилбеген топтомдордун мисалдары белгилүү, бирок рекурсивдүү санап чыгууга болот. Мындан Дэвис гипотезасынын туура экендиги жана бул теңдемелердин чечилүү маселеси келип чыгаттерс аткарылды.
Андан кийин, Дэвис гипотезасы үчүн, ошол эле учурда чечими бар (же болбогон) теңсиздикти түрлүрүү ыкмасы бар экенин далилдөө керек. Диофантин теңдемесинин мындай өзгөрүшү, эгерде ал жогорудагы эки касиетке ээ болсо, мүмкүн боло тургандыгы көрсөтүлдү: 1) бул түрдөгү каалаган чечимде v ≦ uu; 2) каалаган k үчүн экспоненциалдык өсүү менен аткаруу бар.
Бул класстагы сызыктуу диофанттык теңдеменин мисалы далилди толуктады. Рационал сандардагы бул теңсиздиктердин чечилиши жана таануу алгоритминин бар экендиги жөнүндөгү маселе дагы эле жетиштүү изилдене элек маанилүү жана ачык маселе катары каралууда.
