Призма – өтө жөнөкөй геометриялык үч өлчөмдүү фигура. Ошентсе да, кээ бир мектеп окуучулары анын негизги касиеттерин аныктоодо көйгөйлөр бар, анын себеби, эреже катары, туура эмес колдонулган терминология менен байланышкан. Бул макалада биз призмалар эмне экенин, алар эмне деп аталарын карап чыгабыз, ошондой эле туура төрт бурчтуу призманы майда-чүйдөсүнө чейин сүрөттөйбүз.
Геометриядагы призма
Үч өлчөмдүү фигураларды изилдөө стереометриянын милдети – мейкиндик геометриясынын маанилүү бөлүгү. Стереометрияда призма деп мейкиндикте белгилүү бир аралыкта каалаган жалпак көп бурчтуктун параллель которулушунан пайда болгон ушундай фигура түшүнүлөт. Параллель которуу көп бурчтуктун тегиздигине перпендикуляр огтун айланасында айлануу толугу менен жокко чыгарылган кыймылды билдирет.
Призманы алуунун сүрөттөлгөн ыкмасынын натыйжасында эки менен чектелген фигура пайда болотбирдей өлчөмдөгү, параллелдүү тегиздикте жаткан көп бурчтуктар жана белгилүү сандагы параллелограммдар. Алардын саны көп бурчтуктун капталдарынын (чокуларынын) санына дал келет. Бирдей көп бурчтуктар призманын негиздери деп аталат, ал эми алардын бетинин аянты негиздеринин аянты. Эки негизди бириктирген параллелограммдар каптал бетти түзөт.
Призма элементтери жана Эйлердин теоремасы
Каралып жаткан үч өлчөмдүү фигура көп жактуу болгондуктан, башкача айтканда, ал кесилишкен тегиздиктердин жыйындысынан түзүлгөндүктөн, ал чокулардын, четтердин жана беттердин белгилүү саны менен мүнөздөлөт. Алардын баары призманын элементтери.
18-кылымдын орто ченинде швейцариялык математик Леонхард Эйлер көп жактуу элементтердин санынын ортосундагы байланышты түзгөн. Бул байланыш төмөнкү жөнөкөй формула менен жазылган:
Кеттердин саны=чокулардын саны + беттердин саны - 2
Бардык призмалар үчүн бул теңдик чындык. Анын колдонулушуна бир мисал келтирели. Кадимки төрт бурчтуу призма бар дейли. Ал төмөндөгү сүрөттө.
Ал үчүн чокулардын саны 8 (ар бир төрт бурчтуу негиз үчүн 4) экенин көрүүгө болот. Капталдардын же беттердин саны 6 (2 негиз жана 4 каптал тик бурчтук). Анда анын четтеринин саны:
Кабыргалардын саны=8 + 6 - 2=12
Бир эле сүрөткө кайрылсаңыз, алардын баарын санап чыгууга болот. Сегиз чети негиздерде жатат, ал эми төрт чети бул негиздерге перпендикуляр.
Призмалардын толук классификациясы
Кийинчерээк терминологияда чаташтырбоо үчүн бул классификацияны түшүнүү маанилүү жана мисалы, фигуралардын бетинин аянтын же көлөмүн эсептөө үчүн туура формулаларды колдонуңуз.
Эркин формадагы ар кандай призмалар үчүн аны мүнөздөй турган 4 өзгөчөлүктү айырмалоого болот. Келгиле аларды тизмелейли:
- Көп бурчтуктун негизиндеги бурчтарынын саны боюнча: үч бурчтуу, беш бурчтуу, сегиз бурчтуу жана башкалар.
- Полигон түрү. Бул туура же туура эмес болушу мүмкүн. Мисалы, тик бурчтук туура эмес, ал эми тең жактуу үч бурчтук туура.
- Көп бурчтуктун томпоктугунун түрүнө ылайык. Ал ойгон же томпок болушу мүмкүн. Чоң призмалар эң кеңири таралган.
- Негиздер менен каптал параллелограммдардын ортосундагы бурчтарда. Эгерде бул бурчтардын баары 90o ге барабар болсо, анда алар туура призма жөнүндө айтышат, эгерде алардын баары туура болбосо, анда мындай фигура кыйгач деп аталат.
Ушул пункттардын ичинен акыркысына токтолгум келет. Түз призманы тик бурчтуу призма деп да аташат. Мунун себеби, ал үчүн параллелограммдар жалпы учурда тик бурчтук болуп саналат (айрым учурларда алар чарчы болушу мүмкүн).
Мисалы, жогорудагы сүрөттө беш бурчтуу тик бурчтуу же түз фигура көрсөтүлгөн.
Дайыма төрт бурчтуу призма
Бул призманын негизи нормалдуу төрт бурчтук, башкача айтканда квадрат. Жогорудагы сүрөттө бул призма кандай көрүнөрүн көрсөткөн. Анын эки квадратынан тышкарыүстүнкү жана асты чектейт, ал ошондой эле 4 тик бурчту камтыйт.
Келгиле, туура төрт бурчтуу призманын негизинин капталын а тамгасы менен белгилейли, анын каптал четинин узундугу с тамгасы менен белгиленет. Бул узундук да фигуранын бийиктиги болуп саналат. Ошондо бул призманын бүт бетинин аянты формула менен туюнтулат:
S=2a2+ 4ac=2a(a + 2c)
Бул жерде биринчи мүчө базалардын жалпы аянтка кошкон салымын чагылдырат, экинчи мүчө каптал бетинин аянты.
Караптардын узундугу үчүн киргизилген белгилерди эске алуу менен, каралып жаткан фигуранын көлөмүнүн формуласын жазабыз:
V=a2c
Башкача айтканда, көлөм чарчы негиздин аянты менен каптал четинин узундугунун көбөйтүндүсү катары эсептелет.
Куб формасы
Бул идеалдуу үч өлчөмдүү фигураны баары билет, бирок аз гана адамдар аны туура төрт бурчтуу призма деп ойлошкон, анын капталы квадраттык негиздин капталынын узундугуна барабар, башкача айтканда c=a.
Куб үчүн беттин жалпы аянтынын жана көлөмүнүн формулалары төмөнкү форманы алат:
S=6a2
V=a3
Куб 6 бирдей квадраттан турган призма болгондуктан, алардын каалаган параллелдүү жуптарын негиз катары кароого болот.
Куб – табиятта көптөгөн металлдык материалдардын жана иондук кристаллдардын кристалл торлору түрүндө ишке ашырылган өтө симметриялуу фигура. Мисалы, алтын, күмүш, жез жана үстөлдүн торлорутуздар куб.
