Математика, эгерде биз элементардык түшүнүктөрдөн алыстасак, абстракттуу илим. Ошентип, бир-эки алмада сиз математиканын негизин түзгөн негизги операцияларды визуалдык түрдө элестете аласыз, бирок иш-аракет тегиздиги кеңейээри менен бул объекттер жетишсиз болуп калат. Кимдир бирөө алмалардагы чексиз көптүктөрдөгү операцияларды сүрөттөөгө аракет кылдыбы? Кеп ушунда, жок. Математика өз өкүмдөрүндө иштеген концепциялар канчалык татаал болсо, алардын түшүнүүнү жеңилдетүү үчүн иштелип чыккан визуалдык көрүнүшү ошончолук көйгөйлүү болуп көрүндү. Бирок азыркы студенттердин да, жалпы эле илимдин да бактысы үчүн Эйлер чөйрөлөрү алынган, алардын мисалдарын жана мүмкүнчүлүктөрүн биз төмөндө карап чыгабыз.
Бир аз тарых
1707-жылдын 17-апрелинде дүйнө илимге математикага, физикага, кеме курууга жана ал тургай музыка теориясына кошкон салымын баалоого мүмкүн болбогон көрүнүктүү окумуштуу Леонхард Эйлерди берген.
Илим бир орунда турбаганына карабастан, анын эмгектери дүйнө жүзү боюнча таанылып, бүгүнкү күнгө чейин суроо-талапка ээ. Эйлер мырзанын орустун жогорку математика мектебин түзүүгө түздөн-түз катышканы, өзгөчө тагдырдын буйругу менен мамлекетибизге эки жолу кайтып келгени өзгөчө кызыгууну туудурат. Окумуштуу логикасы боюнча ачык-айкын алгоритмдерди курууда уникалдуу жөндөмгө ээ болгон, ашыкча нерселердин баарын кесип, мүмкүн болушунча кыска убакытта жалпыдан өзгөчөгө өтчү. Биз анын бардык артыкчылыктарын санабайбыз, анткени бул бир топ убакытты талап кылат жана биз түздөн-түз макаланын темасына кайрылабыз. Ал көптүктөрдөгү операциялардын графикалык көрүнүшүн колдонууну сунуш кылган. Эйлердин чөйрөлөрү каалаган, атүгүл эң татаал маселенин чечилишин элестете алышат.
Бул эмнеде?
Практикада схемасы төмөндө көрсөтүлгөн Эйлер тегерекчелерин математикада гана колдонсо болот, анткени «көптүк» түшүнүгү бул дисциплинага гана мүнөздүү эмес. Ошентип, алар башкарууда ийгиликтүү колдонулат.
Жогорудагы диаграммада A (иррационал сандар), B (рационал сандар) жана C (натурал сандар) көптүктөрүнүн мамилелери көрсөтүлгөн. Тегерекчелер С топтому В топтомуна кирерин көрсөтүп турат, ал эми А топтому алар менен эч кандай жол менен кесилишкен эмес. Мисал эң жөнөкөй, бирок ал чексиздигинен улам гана реалдуу салыштыруу үчүн өтө абстракттуу болгон "көптүктөрдүн мамилелеринин" өзгөчөлүктөрүн так түшүндүрөт.
Логика алгебрасы
Бул аймакматематикалык логика чындык жана жалган болушу мүмкүн болгон билдирүүлөр менен иштейт. Мисалы, элементардан: 625 саны 25ке бөлүнөт, 625 саны 5ке бөлүнөт, 625 саны жай. Биринчи жана экинчи билдирүүлөр туура, ал эми акыркысы жалган. Албетте, иш жүзүндө баары татаал, бирок маңызы ачык-айкын көрсөтүлгөн. Жана, албетте, Эйлер чөйрөлөрү кайрадан чечимге тартылышат, аларды колдонуудагы мисалдар өтө ыңгайлуу жана көңүл бурбай коюуга визуалдык.
Бир аз теория:
- А жана В көптүктөрү бар жана бош эмес болсун, анда алар үчүн төмөнкү кесилиш, биригүү жана жокко чыгаруу амалдары аныкталат.
- А жана В топтомдорунун кесилиши бир эле учурда А жана В көптүгүнө тиешелүү элементтерден турат.
- А жана В топтомдорунун бирикмеси А же В көптүгүнө тиешелүү элементтерден турат.
- А көптүгүн жокко чыгаруу - А көптүгүнө кирбеген элементтерден турган көптүк.
Мунун баары кайрадан Эйлердин чөйрөлөрү тарабынан логикада сүрөттөлөт, анткени алардын жардамы менен ар бир тапшырма татаалдык даражасына карабастан ачык-айкын жана визуалдуу болуп калат.
Логика алгебранын аксиомалары
1 жана 0 бар жана А топтомунда аныкталган деп ойлойлу, анда:
- А көптүгүн жокко чыгарууну жокко чыгаруу А топтому;
- А көптүгү менен А эмес_бирлиги 1;
- А топтомунун 1 менен биригүүсү 1;
- А топтомунун өзү менен биригиши А көптүгү;
- комплекстин биригиши А0 менен A топтому бар;
- А топтомунун A эмес_ менен кесилиши 0;
- А топтомунун өзү менен кесилишкен жери А коюлган;
- А топтомунун 0 менен кесилиши 0;
- А топтомунун 1 менен кесилиши A коюлган.
Логика алгебранын негизги касиеттери
А жана В топтомдору бош эмес, бар болсун, анда:
- А жана В көптүктөрүнүн кесилиши жана биригиши үчүн алмаштыруу мыйзамы колдонулат;
- айкалуу мыйзамы А жана В көптүктөрүнүн кесилишине жана биригишине колдонулат;
- бөлүштүрүү мыйзамы А жана В көптүктөрүнүн кесилишине жана биригишине колдонулат;
- А жана В көптүктөрүнүн кесилишинин жокко чыгаруусу А жана В көптүктөрүнүн терс жактарынын кесилиши;
- А жана В көптүктөрүнүн биригүүсүнүн четке кагуусу А жана В көптүктөрүнүн жокко чыгарууларынын биригиши.
Төмөндө Эйлердин чөйрөлөрү, A, B жана C көптүктөрүнүн кесилишинин жана биригүүсүнүн мисалдары көрсөтүлгөн.
Перспективалар
Леонхард Эйлердин эмгектери негиздүү түрдө заманбап математиканын негизи болуп эсептелет, бирок азыр алар адам ишмердүүлүгүнүн салыштырмалуу жакында эле пайда болгон чөйрөлөрүндө ийгиликтүү колдонулууда, мисалы, корпоративдик башкарууну алсак: Эйлердин чөйрөлөрү, мисалдары жана графиктери анын механизмдерин сүрөттөйт. Орусча же англис-америкалык версиясы болсун.
