Леонхард Эйлер (1707-1783) - белгилүү швейцариялык жана орусиялык математик, Санкт-Петербург Илимдер академиясынын мүчөсү, өмүрүнүн көпчүлүк бөлүгүн Орусияда өткөргөн. Математикалык анализде, статистикада, информатикада жана логикада эң атактуусу - бул Эйлердин айланасы (Эйлер-Венн диаграммасы), түшүнүктөрдүн алкагын жана элементтердин жыйындысын белгилөө үчүн колдонулат.
Джон Венн (1834-1923) - англис философу жана логикасы, Эйлер-Венн диаграммасынын авторлошу.
Туура келген жана туура келбеген түшүнүктөр
Түшүнүктүн алдында логикада бир тектүү объекттердин классынын маанилүү белгилерин чагылдырган ой жүгүртүү формасын билдирет. Алар бир же сөздөрдүн тобу менен белгиленет: “дүйнө картасы”, “доминант бешинчи-жетинчи аккорд”, “дүйшөмбү” ж.б.
Бир түшүнүктүн чөйрөсүнүн элементтери толук же жарым-жартылай башка бир түшүнүктүн чөйрөсүнө кирген учурда бири-бирине шайкеш түшүнүктөр жөнүндө сөз болот. Бирок, белгилүү бир түшүнүктүн чөйрөсүнүн бир дагы элементи башкасынын алкагына кирбесе, анда бизде бири-бирине дал келбеген түшүнүктөр бар.
Өз кезегинде концепциянын ар бир түрү мүмкүн болгон мамилелердин өзүнө тиешелүү. Шайкеш түшүнүктөр үчүн булар:
- томдордун окшоштугу (эквиваленттүүлүгү);
- кетүү (жарым-жартылай дал келүү)томдор;
- субординация (субординация).
Ийишпегендер үчүн:
- субординация (координация);
- каршы (карама-каршылык);
- каршылык (карама-каршылык).
Схемалык түрдө логикада түшүнүктөрдүн ортосундагы мамилелер адатта Эйлер-Венн тегерекчелери аркылуу белгиленет.
Эквиваленттүү мамилелер
Мында түшүнүктөр бир эле предметти билдирет. Демек, бул түшүнүктөрдүн көлөмү толугу менен бирдей. Мисалы:
A - Зигмунд Фрейд;
B – психоанализдин негиздөөчүсү.
Же:
A - квадрат;
B - тең жактуу тик бурчтук;
C - тең бурчтуу ромб.
Белгилөө үчүн толугу менен дал келген Эйлер чөйрөлөрү колдонулат.
Кесилиш (жарым-жартылай дал келүү)
Бул категория кесип өтүүгө байланыштуу жалпы элементтери бар түшүнүктөрдү камтыйт. Башкача айтканда, бир түшүнүктүн көлөмү жарым-жартылай экинчисинин көлөмүнө кирет:
A - мугалим;
B музыка сүйүүчү.
Бул мисалдан көрүнүп тургандай, түшүнүктөрдүн көлөмдөрү жарым-жартылай дал келет: мугалимдердин белгилүү бир тобу музыка сүйүүчүлөр болуп чыгышы мүмкүн, ал эми тескерисинче - музыка сүйүүчүлөрдүн арасында мугалимдик кесиптин өкүлдөрү болушу мүмкүн. Ушундай эле мамиле А түшүнүгү, мисалы, "жаран", ал эми В "айдоочу" болгондо да болот.
Субординация (субординация)
Схемалык түрдө ар кандай масштабдагы Эйлер тегерекчелери катары белгиленген. мамилелербул учурда түшүнүктөрдүн ортосунда багынуучу түшүнүктүн (көлөмү боюнча кичине) толук багынгычка (көлөмү боюнча чоңураак) кирүүсү менен мүнөздөлөт. Ошол эле учурда багынуучу түшүнүк баш ийүүчүнү толук түгөтпөйт.
Мисалы:
A - дарак;
B - карагай.
Б түшүнүгү А түшүнүгүнө баш ийет. Карагай дарактарга таандык болгондуктан, бул мисалдагы А түшүнүгү В түшүнүгүнүн чөйрөсүн «сиңирип» баш ийүүчү болуп калат.
Координация (координация)
Мамилеси бири-бирин жокко чыгарган, бирок белгилүү бир жалпы чөйрөгө таандык эки же андан көп түшүнүктөрдү мүнөздөйт. Мисалы:
A – кларнет;
B - гитара;
C - скрипка;
D - музыкалык аспап.
А, В, С түшүнүктөрү бири-бирине карата кесилишкен эмес, бирок алардын баары музыкалык аспаптар категориясына кирет (D түшүнүгү).
Таршы (тескерисинче)
Түшүнүктөр ортосундагы карама-каршы мамилелер бул түшүнүктөрдүн бир тукумга таандык экенин билдирет. Ошол эле учурда түшүнүктөрдүн бири белгилүү касиеттерге (белгилерге) ээ болсо, экинчиси аларды жокко чыгарып, табияттагы карама-каршылыктарга алмаштырат. Ошентип, биз антонимдер менен алектенебиз. Мисалы:
А - эргежээл;
B - гигант.
Түшүнүктөр ортосундагы карама-каршы мамилелер менен Эйлер чөйрөсүүч сегментке бөлүнөт, алардын биринчиси А түшүнүгүнө, экинчиси В түшүнүгүнө жана үчүнчүсү башка бардык мүмкүн болгон түшүнүктөргө туура келет.
Карама-каршылык (карама-каршылык)
Мында эки түшүнүк тең бир тукумдун түрлөрү. Мурунку мисалдагыдай эле, түшүнүктөрдүн бири белгилүү сапаттарды (өзгөчөлүктөрдү) көрсөтсө, экинчиси аларды четке кагат. Бирок карама-каршылыктардын катышынан айырмаланып, экинчи, карама-каршы түшүнүк четке кагылган касиеттерди башка, альтернативалуу нерселер менен алмаштырбайт. Мисалы:
А татаал иш;
B – оңой иш (A эмес).
Ушул түрдөгү түшүнүктөрдүн көлөмүн туюндуруу менен Эйлер тегерекчеси эки бөлүккө бөлүнөт – үчүнчү, аралык звено бул учурда жок. Ошентип, түшүнүктөр да антоним болуп саналат. Ошол эле учурда, алардын бири (А) оң (айрым белгини ырастоо), экинчиси (Б же А эмес) терс (тиешелүү белгини жокко чыгаруу) болуп калат: "ак кагаз" - "ак кагаз эмес", " улуттук тарых” – “чет элдик тарых” ж.б.
Ошентип, түшүнүктөрдүн көлөмүнүн бири-бирине болгон катышы Эйлердин чөйрөлөрүн аныктаган негизги мүнөздөмө болуп саналат.
Топтуктар ортосундагы мамилелер
Ошондой эле көлөмү Эйлер тегерекчелери менен көрсөтүлгөн элементтер жана көптүктөр түшүнүктөрүн айырмалоо керек. Көптүктөр түшүнүгү математика илиминен алынган жана кыйла кеңири мааниге ээ. Логика жана математикадагы мисалдар аны белгилүү бир объектилердин жыйындысы катары көрсөтөт. Объекттердин өздөрүбул топтомдун элементтери. "Көпчүлүк бир ойдо" (Георг Кантор, көптүк теориясынын негиздөөчүсү).
Топтуктар баш тамгалар менен белгиленет: A, B, C, D… ж.б., топтомдордун элементтери кичине тамгалар менен белгиленет: a, b, c, d… ж.б. бир класста, белгилүү текчедеги китептер (же, мисалы, кайсы бир китепканадагы бардык китептер), күндөлүктүн барактары, токойдогу мөмөлөр ж.б.
Өз кезегинде белгилүү бир көптүктө бир эле элемент жок болсо, анда ал бош деп аталат жана Ø белгиси менен белгиленет. Мисалы, параллель сызыктардын кесилишкен чекиттеринин жыйындысы, x2=-5.
теңдемесинин чечимдеринин жыйындысы.
Маселени чечүү
Эйлер чөйрөлөрү көп сандагы маселелерди чечүү үчүн активдүү колдонулат. Логикадагы мисалдар логикалык операциялар менен көптүктөр теориясынын ортосундагы байланышты ачык көрсөтүп турат. Бул учурда түшүнүктөрдүн чындык таблицалары колдонулат. Мисалы, А деп белгиленген тегерек чындык аймагын билдирет. Ошентип, айлананын сыртындагы аймак жалганды билдирет. Логикалык операция үчүн диаграмманын аянтын аныктоо үчүн Эйлердин айланасын аныктаган аймактарга көлөкө түшүрүү керек, анда анын А жана В элементтери үчүн маанилери туура болот.
Эйлер чөйрөлөрүнүн колдонулушу ар кандай тармактарда кеңири практикалык колдонууну тапты. Мисалы, кесиптик тандоо менен кырдаалда. Эгерде субъект келечектеги кесипти тандоого кызыкдар болсо, анда ал төмөнкү критерийлерди жетекчиликке алат:
W – мен эмне кылганды жакшы көрөм?
D – мен эмне кылып жатам?
Б– кантип жакшы акча таба алам?
Муну диаграмма катары тарталы: Эйлердин тегерекчелери (логикадагы мисалдар - кесилишкен мамилелер):
Натыйжада үч чөйрөнүн тең кесилишинде турган кесиптер болот.
Айлер-Венн тегерекчелери комбинацияларды жана касиеттерди эсептөөдө математикада (көптүк теориясы) өзүнчө орунду ээлейт. Элементтердин жыйындысынын Эйлер тегерекчелери универсалдуу көптүктү (U) билдирген тик бурчтуктун сүрөттөлүшүнө камтылган. Тегеректердин ордуна башка жабык фигуралар да колдонулушу мүмкүн, бирок мунун маңызы өзгөрбөйт. Фигуралар маселенин шартына ылайык (эң жалпы учурда) бири-бири менен кесилишет. Ошондой эле, бул сандар тиешелүү түрдө белгилениши керек. Каралып жаткан көптүктөрдүн элементтери диаграмманын ар кандай сегменттеринин ичинде жайгашкан чекиттер болушу мүмкүн. Анын негизинде белгилүү бир аймактарды көлөкө түшүрүп, ошону менен жаңы түзүлгөн топтомдорду белгилей аласыз.
Бул топтомдор менен негизги математикалык операцияларды аткарууга болот: кошуу (элементтердин жыйындысынын суммасы), кемитүү (айырма), көбөйтүү (көбөйтүү). Кошумчалай кетсек, Эйлер-Венн диаграммаларынын аркасында топтомдорду эсепке албаганда, алардын курамына кирген элементтердин саны боюнча салыштырууга болот.
