Геометрия сулуу, анткени алгебрадан айырмаланып, бул жерде сиз эмне деп ойлой турганыңыз жана эмне үчүн дайыма эле түшүнүктүү боло бербейт, ал объекттин көрүнө берет. Ар түрдүү денелерден турган бул керемет дүйнө кадимки көп кырдуулар менен кооздолгон.
Жөнөкөй көп жүздүүлөр жөнүндө жалпы маалымат
Көпчүлүктүн айтымында, кадимки көп кырдуулар же алар Платондук катуу заттар деп да аталат, уникалдуу касиеттерге ээ. Бул объектилер менен бир нече илимий гипотезалар байланышкан. Бул геометриялык денелерди изилдей баштаганда, сиз кадимки көп жүздүү түшүнүктөр жөнүндө дээрлик эч нерсе билбегениңизди түшүнөсүз. Мектепте бул предметтердин презентациясы дайыма эле кызыктуу боло бербейт, андыктан алардын эмне деп аталганын көпчүлүк эстеп да коюшпайт. Көпчүлүк адамдардын эсинде бир гана куб бар. Геометриядагы денелердин эч бири кадимки көп кырдуулардай кемчиликсиз эмес. Бул геометриялык денелердин бардык аттары Байыркы Грециядан келип чыккан. Алар жүздөрдүн санын билдирет: тетраэдр – төрт кырдуу, гексаэдр – алты кырдуу, октаэдр – октаэдр, додекаэдр – он эки жак, икосаэдр – жыйырма кыр. Бул бардык геометриялык денелерПлатондун аалам жөнүндөгү концепциясында маанилүү орунду ээлеген. Алардын төртөө элементтерди же объекттерди чагылдырган: тетраэдр - от, икосаэдр - суу, куб - жер, октаэдр - аба. Додекаэдр бар болгондун баарын камтыган. Бул ааламдын символу болгондуктан, негизгиси деп эсептелген.
Көп кырдуу түшүнүгүн жалпылоо
Көп бурчтук – бул чектүү сандагы көп бурчтуктардын жыйындысы, мындайча:
- көп бурчтуктардын ар бири бир эле учурда бир тараптагы башка бир гана көп бурчтуктун тарабы;
- көп бурчтуктардын ар биринен башкаларына ага жанындагы көп бурчтуктарды бойлото өтсөңүз болот.
Көп бурчтуктарды түзгөн көп бурчтуктар анын беттери, ал эми капталдары четтери. Көп кырдуулардын чокулары көп бурчтуктардын чокулары. Эгерде көп бурчтук түшүнүгү жалпак жабык сынык сызыктар деп түшүнүлсө, анда көп кырдуу бир аныктамага келет. Бул түшүнүк тегиздиктин үзүлгөн сызыктар менен чектелген бөлүгүн билдирген учурда, анда көп бурчтуу кесимдерден турган бетти түшүнүү керек. Томпок полиэдр - тегиздиктин бир капталында бетине жанаша жаткан дене.
Көп кырдуу жана анын элементтеринин дагы бир аныктамасы
Полиэдр – геометриялык денени чектеген көп бурчтуктардан турган бет. Алар:
- томпок эмес;
- томпок (туура жана туура эмес).
Кадимки көп жүздүү бул максималдуу симметриялуу томпок көп жактуу. Кадимки көп жүздүүлөрдүн элементтери:
- тетраэдр: 6 чети, 4 бети, 5 чокусу;
- гексаэдр (куб): 12, 6, 8;
- додекаэдр: 30, 12, 20;
- октаэдр: 12, 8, 6;
- икосаэдр: 30, 20, 12.
Эйлердин теоремасы
Бул топологиялык жактан сферага эквиваленттүү четтердин, чокулардын жана беттердин санынын ортосундагы байланышты орнотот. Ар кандай регулярдуу көп кырдуулардын чокуларынын жана беттеринин санын (B + D) кошуу жана аларды четтеринин саны менен салыштыруу менен бир үлгү түзүүгө болот: беттердин жана чокулардын санынын суммасы чектердин (P) көбөйгөн санына барабар. 2 боюнча. Сиз жөнөкөй формуланы чыгара аласыз:
B + D=R + 2
Бул формула бардык томпок көп кырдуулар үчүн туура.
Негизги аныктамалар
Регитимдүү көп кырдуу түшүнүгүн бир сүйлөм менен сүрөттөп берүү мүмкүн эмес. Бул дагы маңыздуу жана көлөмдүү. Орган ушундай деп таанылышы үчүн ал бир катар аныктамаларга жооп бериши керек. Демек, төмөнкү шарттар аткарылса, геометриялык дене нормалдуу көп жактуу болот:
- бул томпок;
- анын ар бир чокусунда бирдей сандагы четтер биригет;
- анын бардык беттери бирдей көп бурчтуктар;
- анын бардык эки бурчтуу бурчтары бирдей.
Кадимки көп жүздүүлөрдүн касиеттери
Кадимки көп жүздүүлөрдүн 5 түрү бар:
- Куб (гексаэдр) - анын үстү жагында 90° жалпак бурч бар. Анын 3 жактуу бурчу бар. Үстүндөгү жалпак бурчтардын суммасы 270°.
- Тетраэдр - үстү жагындагы жалпак бурч - 60°. Анын 3 жактуу бурчу бар. Үстүндөгү жалпак бурчтардын суммасы 180°.
- Октаэдр - тегиз чоку бурчу - 60°. Анын 4 жактуу бурчу бар. Үстүндөгү жалпак бурчтардын суммасы 240°.
- Додекаэдр - 108° чокусунда жалпак бурч. Анын 3 жактуу бурчу бар. Үстүндөгү жалпак бурчтардын суммасы 324°.
- Икосаэдр - анын үстү жагында жалпак бурч бар - 60°. Анын 5 жактуу бурчу бар. Үстүндөгү жалпак бурчтардын суммасы 300°.
Кадимки көп жүздүүлөрдүн аянты
Бул геометриялык телолордун бетинин аянты (S) кадимки көп бурчтуктун аянты катары анын беттеринин санына (G) көбөйтүлгөндөй эсептелет:
S=(a: 2) x 2G ctg π/б
Жөнөкөй көп жактуулардын көлөмү
Бул чоңдук негизинде туура көп бурчтук бар регулярдуу пирамиданын көлөмүн жүздөрдүн санына көбөйтүү жолу менен эсептелет, ал эми анын бийиктиги чегилген сферанын радиусу (r):
V=1: 3rS
Жөнөкөй көп жүздүүлөрдүн көлөмдөрү
Башка геометриялык денелер сыяктуу эле кадимки көп жүздүүлөрдүн көлөмү ар кандай. Төмөндө сиз аларды эсептей турган формулалар:
- тетраэдр: α x 3√2: 12;
- октаэдр: α x 3√2: 3;
- icosahedron; α x 3;
- гексаэдр (куб): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- додекаэдр: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Кадимки көп жүздүүлөрдүн элементтери
Гексадр жана октаэдр кош геометриялык денелер. Башкача айтканда, биринин бетинин оордук борбору экинчисинин чокусу катары алынса жана тескерисинче болсо, алар бири-биринен алынышы мүмкүн. Икосаэдр менен додекаэдр да кош болуп саналат. Бир гана тетраэдр өзүнө карата кош. Евклид ыкмасы боюнча, кубдун беттерине «крышаларды» куруу менен алты жүздөн додекаэдр алууга болот. Тетраэдрдин чокулары бир чети боюнча жуптар менен чектеш эмес кубдун каалаган 4 чокусу болот. Гексаэдрден (куб) башка кадимки көп жүздүүлөрдү алууга болот. Сансыз көп бурчтуу көп бурчтуктар бар экенине карабастан, 5 гана нормалдуу көп бурчтук бар.
Жөнөкөй көп бурчтуктардын радиусу
Бул геометриялык денелердин ар бири менен байланышкан 3 концентрдик шар бар:
- сүрөттөлгөн, анын чокуларынан өткөн;
- жазылган, анын ар бир бетине ортосуна тийип;
- медиана, ортодогу бардык четтерине тийип.
Сүрөттөлгөн чөйрөнүн радиусу төмөнкү формула менен эсептелет:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Чызылган шардын радиусу төмөнкү формула менен эсептелет:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
мында θ - чектеш беттердин ортосундагы эки жактуу бурч.
Орто шардын радиусун төмөнкү формула менен эсептесе болот:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/саат,
мында h мааниси=4, 6, 6, 10 же 10. Чектелген жана чегилген радиустардын катышы p жана qга карата симметриялуу. Itформула менен эсептелет:
R/r=tg π/p x tg π/q
Көп жүздүүлөрдүн симметриясы
Регулярдуу көп кырдуулардын симметриясы бул геометриялык телолорго негизги кызыгууну жаратат. Бул дененин мейкиндикте бирдей сандагы чокуларды, беттерди жана четтерди калтырган мындай кыймылы деп түшүнүлөт. Башкача айтканда, симметриянын өзгөрүшүнүн таасири астында кыр, чоку, бет же өзүнүн баштапкы абалын сактап калат же башка четтин, чокунун же беттин баштапкы абалына жылат.
Регитимдүү көп жүздүүлөрдүн симметриясынын элементтери мындай геометриялык денелердин бардык түрлөрүнө мүнөздүү. Бул жерде биз кандайдыр бир пунктту баштапкы абалында калтырган окшош трансформация жөнүндө сөз болуп жатат. Ошентип, көп бурчтуу призманы айлантканда, бир нече симметрияларды алууга болот. Алардын кайсынысы болбосун ой жүгүртүүнүн продуктусу катары көрсөтүлүшү мүмкүн. Жуп сандагы чагылуулардын көбөйтүндүсү болгон симметрия түз сызык деп аталат. Эгерде ал так сандагы чагылуулардын көбөйтүндүсү болсо, анда ал тескери деп аталат. Ошентип, бир сызыктын айланасындагы бардык айлануулар түз симметрия болуп саналат. Полиэдрдин ар кандай чагылышы тескери симметрия болуп саналат.
Кадимки көп жүздүүлөрдүн симметрия элементтерин жакшыраак түшүнүү үчүн тетраэдрди мисалга алсак болот. Бул геометриялык фигуранын чокуларынын бири жана борбору аркылуу өтө турган ар кандай түз сызык да ага карама-каршы келген беттин борбору аркылуу өтөт. Сызыктын тегерегиндеги 120° жана 240° бурулуштарынын ар бири көптүк санда болот.тетраэдрдин симметриясы. Анын 4 чокусу жана 4 бети бар болгондуктан, сегиз гана түз симметрия бар. Четтин ортосунан жана бул дененин борборунан өткөн сызыктардын кайсынысы болбосун анын карама-каршы четинин ортосунан өтөт. Түз сызыктын айланасында жарым айлануу деп аталган ар кандай 180° айлануу симметрия болуп саналат. Тетраэдрдин үч жуп кыры болгондуктан, дагы үч түз симметрия бар. Жогоруда айтылгандардын негизинде түз симметриялардын жалпы саны бирдей трансформацияны кошкондо он экиге жетет деген тыянак чыгарууга болот. Тетраэдрдин башка түз симметриялары жок, бирок анын 12 тескери симметриясы бар. Демек, тетраэдр жалпысынан 24 симметрия менен мүнөздөлөт. Түшүнүктүү болушу үчүн картондон кадимки тетраэдрдин моделин куруп, бул геометриялык денеде чындап эле 24 гана симметрия бар экенин текшерсеңиз болот.
Додекаэдр жана икосаэдр дененин сферасына эң жакын жайгашкан. Икосаэдр беттеринин эң көп санына, эң чоң эки жактуу бурчка ээ жана чегилген чөйрөгө эң катуу басылышы мүмкүн. Додекаэдрдин эң кичине бурчтук кемтиги, чокусунда эң чоң катуу бурч бар. Ал сүрөттөлгөн сфераны максималдуу түрдө толтура алат.
Көп жүздүүлөрдүн шыпырылышы
Бала кезибизде баарыбыз жабыштырган кадимки оролгон көп жүздүүлөрдүн көп түшүнүктөрү бар. Эгерде көп бурчтуктардын жыйындысы бар болсо, алардын ар бир тарабы көп кырдуулардын бир гана тарабы менен идентификацияланган, анда тараптардын идентификациясы эки шартка жооп бериши керек:
- ар бир көп бурчтуктан, бар көп бурчтуктарга өтсөңүз болотаныкталган тарап;
- аныкталган тараптардын узундугу бирдей болушу керек.
Бул шарттарды канааттандырган көп бурчтуктардын жыйындысы көп тараптуу өнүгүү деп аталат. Бул органдардын ар биринде алардын бир нечеси бар. Мисалы, бир кубда алардын 11и бар.
